误差的分析与减少及Matlab解线性方程的四种方法

重光兰衣

1、误差的来源

     模型误差：数学模型与实际问题之间的误差

     观测误差：测量数据与实际数据的误差

     方法误差：数学模型的精确解与数值方法得到的数值解之间的误差

     舍入误差：对数据进行四舍五入后产生的误差

2、减少误差的几种方法

         现在，我们一般用计算机解决计算问题，使用最多的是Matlab软件。对实际问题进行数学建模时，可能存在模型误差，对数学模型进行数值求解时，我们使用的方法可能产生方法误差，我们输入计算机的数据一般是有测量误差的，计算机在运算过程的每一步又会产生舍入误差（十进制转化为二进制时可能产生舍入误差）。由此看来，解决一个问题，基本上会有以上四种四种误差。记得高中物理老师说过，错误是可以避免的，误差是不可避免的，我们只可以减少误差。下面我们就来介绍减少误差的几种方法：

1.避免两个相近的数相减

eg:当x=10003时，计算

的近似值。

如果使用6位十进制浮点运算，运算时取6位有效数字，结果如下：   

结果只有一位有效数字，与之前相比，损失了5位有效数字。

如果使用下面的方法：   

则结果有6位有效数字，与精确值0.00499912523117984……较为接近。

2. 防止重要的小数被大数吃掉

eg: 已知

求

如果按照

的顺序来求的话，由于x远大于y，在计算机中可能导致x+y=x的情况，因此我们可以按照

的顺序计算得到正确的结果。

避免除数的绝对值远小于被除数的绝对值

eg:用消去法解线性方程组

     

这个方程组的正确解为：

当我们用(1)/0.00003-(2)时，可以得到下面的化简和计算结果：

            

显然上述结果严重失真，产生了很大的误差。这就是由于除数的绝对值远小于被除数的绝对值造成的。

为了避免上述情况，我们可以用第二个方程消去第一个方程中的x1，即(2)*0.00003-(1)，得到如下表达式和结果：

将结果与正确解相比发现，这是一组相当好的近似解。              

3.注意算法的稳定性

所谓算法的稳定性是指，一个算法如果输入数据有误差，而在计算过程中误差不增长，那么称此算法是数值稳定的。

上面的部分基本上都来源于《数值分析》一书，讲的挺好的，这些减小误差的方法，我们平时需要多注意，在用c进行编程实现时需要注意，而用Matlab实现时，上面的问题都不是问题了，不过我们要学习的是这种方法和技巧。下面讲讲，在实现上述方法的Matlab的知识：1、精度控制；2、解线性方程组。

二、精度控制

     format  digits  vpa函数的使用

     format只用来控制显示精度的，并不控制计算精度，digits用来控制计算精度，vpa也是控制计算精度。

     digits必须与vpa配合使用，单独不起作用。

     vpa可单独控制计算精度

具体操作如下图：

1、format的操作

2、digits的操作

            

3、vpa的操作

     

三、解非齐次线性方程组

            

可以通过以下四种方法求解该方程组：

用矩阵表示上述的线性方程组如下：

求逆矩阵法

   

矩阵左除法

           

初等行变换     

      

卡莱姆法则

            

      

具体的程序实现如下：

运行结果如下图：

注意事项：当系数矩阵A不是方阵，或A的行列式为0时，逆矩阵法和克拉姆法则无法使用，而初等行变换能适用于各种线性方程组的求解。