[请教]一道数学分析习题

helloyupp

设f(x)在R上有定义，且
8 N1 O# \1 h, P1 A* t: W  d

& q6 h7 k# H- T- f; C: q（1）这种函数有几个？
（2）若f(x)为单调增加函数，问这种函数有几个？

: ~: Y! ?  C' Y- z, gps:北大《数学分析解题指南》里面的习题。自学分析，无奈书后答案不详，还望高手不吝赐教啊，先谢谢了！

87lv

第一题无穷多个，第二题只有一个
; t+ C" s6 E* B+ j! T: {% ~
解：记y=f（x） .. ………………1
4 z; ^  L0 u9 d/ v7 X/ \& b( o" e则有f（f（x））=f（y）=x ………2

* V+ E8 z  }- }: Z; P) d由1，2 两式有
+ e, i! P" H5 n# A1 w$ F: k
: s; M. `" v! \- ?f（x）=y……..3
& F7 M% |( O# @4 K5 Gf（y）=x………4
! _) y" p2 l7 g3 D
1 L5 B$ G7 Z' ?/ i若x=y，则有f（x）=x

/ T/ `. k8 B* {6 a9 S5 I若x不等于y，则
8 S- R4 m. H) g$ F# i4 M9 }; h
! M6 F' o6 I; B& a由3，4两式得

【f（x）- f（y）】/【x-y】=-1
" c7 i4 Z8 `) |2 _, z5 a3 e也就是f（x）的斜率恒等于-1，上式x趋向于y的时候相当于导函数
2 F. e+ p% a) }  \
8 c( I( f$ G% p7 l1 n0 @斜率恒等于-1就是f（x）=-x+a；a为任意常数
/ Z8 H1 k$ X* v) @9 g( C& F3 u
6 e" t; D# @# A# O所有这种函数有无穷多个，而只有f（x）=x是增函数，于是增函数就只有一个

helloyupp

回复 2# 87lv


+ Z4 Z; q: F! y    非常感谢！

zhoutao15935

严谨吗？。。。。。。。。。。。。。。。

mrx

不严谨，下面的函数亦可：
f(x)=\left\{\begin{matrix}
) E0 U0 Z- \, G! A: k. m2 sx,x= 0\\ \frac{1}{x},x\neq 0
\end{matrix}\right.

mrx

不严谨，下面的函数亦可：
8 R5 s# H1 S) }# x! g' q7 E, B[tex] f(x)=\left\{\begin{matrix} x,x= 0\\ \frac{1}{x},x\neq 0 \end{matrix}\right.[/tex]

mrx

“【f（x）- f（y）】/【x-y】=-1
9 E* T! ]( }9 E$ [也就是f（x）的斜率恒等于-1，上式x趋向于y的时候相当于导函数
斜率恒等于-1就是f（x）=-x+a；a为任意常数"
由此不可以得出斜率是-1的结论，因为x、y并不是f（x）函数上面的任意两点，此时y是x的函数，不符合导函数的定义。

BenCam

87lv 中答案错误,因为x和y是有内在联系的，不是任取的，所以不能说明所有点的斜率都为-1！
% M1 W' S& Y# Z
3 a1 y' A) I( O& V( }(1)有可数个.

(2)只有一个.因为存在反函数.

87lv

回复 7# mrx

/ T: E; v9 y+ }& k
, g' @$ w; L- |- K2 h    谢谢你，我考虑错了！！呵呵！！

彩虹天堂

回复 1# helloyupp

. K& f/ c$ \) r3 r4 u4 M
    先看看