[请教]一道数学分析习题

helloyupp

设f(x)在R上有定义，且
: f4 @" R+ x  m3 _9 K1 O

（1）这种函数有几个？
（2）若f(x)为单调增加函数，问这种函数有几个？
, l; l5 M8 _  k6 l' I3 Z/ Z" A) _
ps:北大《数学分析解题指南》里面的习题。自学分析，无奈书后答案不详，还望高手不吝赐教啊，先谢谢了！

87lv

第一题无穷多个，第二题只有一个
; c6 V7 K+ n" @
6 Q0 o; ?/ K& {6 R; |) F; i7 X, p解：记y=f（x） .. ………………1
  d, B" |- \6 W) _! {! {则有f（f（x））=f（y）=x ………2
6 |: |. T; s1 j5 E. M+ c
由1，2 两式有

7 I+ w5 O& p3 N, Rf（x）=y……..3
! [  u( s: \- |( sf（y）=x………4

) L, S. w; z  L! E. N( ?若x=y，则有f（x）=x

* v3 e/ v; {+ T7 b若x不等于y，则
% C6 c6 f( o5 h) j# t' u
由3，4两式得
4 h; I( A9 ~2 W8 J/ p2 }. T
& s( c* W- b/ k【f（x）- f（y）】/【x-y】=-1
4 T* n5 ^8 [% @! u# a5 g0 W也就是f（x）的斜率恒等于-1，上式x趋向于y的时候相当于导函数
/ y0 I+ A8 _+ z6 X5 m3 a
斜率恒等于-1就是f（x）=-x+a；a为任意常数
% }: Q; V4 P0 a9 F: }, L  m% `+ |
9 f) f% @# `, v所有这种函数有无穷多个，而只有f（x）=x是增函数，于是增函数就只有一个

helloyupp

回复 2# 87lv
! s. Q& b' T+ g& J
/ ^$ o# j  J  K1 I
! b+ N( [$ S1 a    非常感谢！

zhoutao15935

严谨吗？。。。。。。。。。。。。。。。

mrx

不严谨，下面的函数亦可：
1 ^  M; i4 E! K2 a; Y1 s7 O+ zf(x)=\left\{\begin{matrix}
x,x= 0\\ \frac{1}{x},x\neq 0
\end{matrix}\right.

mrx

不严谨，下面的函数亦可：
0 W; o# t$ _2 x" \( H+ K! {[tex] f(x)=\left\{\begin{matrix} x,x= 0\\ \frac{1}{x},x\neq 0 \end{matrix}\right.[/tex]

mrx

“【f（x）- f（y）】/【x-y】=-1
也就是f（x）的斜率恒等于-1，上式x趋向于y的时候相当于导函数
! c" F2 U* f2 l3 t斜率恒等于-1就是f（x）=-x+a；a为任意常数"
& h" z$ t% F& w4 c! l由此不可以得出斜率是-1的结论，因为x、y并不是f（x）函数上面的任意两点，此时y是x的函数，不符合导函数的定义。

BenCam

87lv 中答案错误,因为x和y是有内在联系的，不是任取的，所以不能说明所有点的斜率都为-1！
( n* `, p9 O  \
(1)有可数个.
: z* q8 T( y- @
(2)只有一个.因为存在反函数.

87lv

回复 7# mrx


( V" u% w" v# ]+ I    谢谢你，我考虑错了！！呵呵！！

彩虹天堂

回复 1# helloyupp


$ j+ _" y  q* h. U+ u2 c    先看看