[请教]一道数学分析习题

helloyupp

% V2 e+ D8 m+ o0 h) _6 G; N
. G9 |1 t- n0 m2 j, E  B6 n3 ^设f(x)在R上有定义，且
$ h- U0 e7 G9 B& d

: x9 ~/ f' s$ @（1）这种函数有几个？
2 ~! \5 Y6 e8 m* U" F（2）若f(x)为单调增加函数，问这种函数有几个？
/ m  _6 f3 x) m+ E6 X$ m/ t* ~
8 Q& R7 E# X. H1 f5 X2 c9 aps:北大《数学分析解题指南》里面的习题。自学分析，无奈书后答案不详，还望高手不吝赐教啊，先谢谢了！

87lv

第一题无穷多个，第二题只有一个

解：记y=f（x） .. ………………1
/ k9 _- q9 d0 u6 L8 \5 E5 g# r则有f（f（x））=f（y）=x ………2
& U7 C% Q" h1 Y. [2 q- }
; ^" o; o2 n4 d- S3 r由1，2 两式有
& p; G$ c' Q, Y/ p& J
" v; l( u; |8 g) l" L+ Q: K/ Nf（x）=y……..3
; o9 y7 o* K7 x* q: V9 o9 D- Zf（y）=x………4
: _! E  ]" q5 l% h1 \7 R! N1 t
) g3 Q& n' @$ c- U2 R$ D" p( l9 g若x=y，则有f（x）=x

! |  D% n+ C% t' I2 d# `若x不等于y，则

由3，4两式得
4 i9 z8 V3 H) W2 ]7 |
. q( k6 I8 P# `3 i9 a, t【f（x）- f（y）】/【x-y】=-1
也就是f（x）的斜率恒等于-1，上式x趋向于y的时候相当于导函数
# ?9 B$ N1 g  g/ ]: u/ i2 R' ~- @8 w
7 H6 a/ z7 _; ]; R  a; m斜率恒等于-1就是f（x）=-x+a；a为任意常数
5 M- u* a7 i1 P6 w+ Y8 S
所有这种函数有无穷多个，而只有f（x）=x是增函数，于是增函数就只有一个

helloyupp

回复 2# 87lv
- }9 [( Y; y2 V$ |  T' u8 `1 }
1 p0 y# l) K+ e# u. E2 C
% ^% Z) m8 s) Y    非常感谢！

zhoutao15935

严谨吗？。。。。。。。。。。。。。。。

mrx

不严谨，下面的函数亦可：
, v; w4 }6 c1 ^) Bf(x)=\left\{\begin{matrix}
x,x= 0\\ \frac{1}{x},x\neq 0
\end{matrix}\right.

mrx

不严谨，下面的函数亦可：
7 |. z: S% P5 |3 G8 V  r[tex] f(x)=\left\{\begin{matrix} x,x= 0\\ \frac{1}{x},x\neq 0 \end{matrix}\right.[/tex]

mrx

“【f（x）- f（y）】/【x-y】=-1
也就是f（x）的斜率恒等于-1，上式x趋向于y的时候相当于导函数
8 s$ f- R* [6 p- Q  i6 v$ `/ c斜率恒等于-1就是f（x）=-x+a；a为任意常数"
由此不可以得出斜率是-1的结论，因为x、y并不是f（x）函数上面的任意两点，此时y是x的函数，不符合导函数的定义。

BenCam

87lv 中答案错误,因为x和y是有内在联系的，不是任取的，所以不能说明所有点的斜率都为-1！
& ]7 g5 `& |: _/ D  y9 c8 Z* \
(1)有可数个.

(2)只有一个.因为存在反函数.

87lv

回复 7# mrx

$ c: }( z8 r% a) Y! Z& G; q5 A8 e
    谢谢你，我考虑错了！！呵呵！！

彩虹天堂

回复 1# helloyupp
1 L, ~5 }! E/ Q) [

7 ]) l" ?3 n( K/ L# r# A. S; t    先看看