[请教]一道数学分析习题

helloyupp

' k: s* R# ^/ e3 P3 @
* z9 N% |7 p9 ~: d2 c设f(x)在R上有定义，且

8 H/ C* n/ J6 Z6 v+ v1 ^, j
（1）这种函数有几个？
$ f1 S/ y, l' T1 `. Z（2）若f(x)为单调增加函数，问这种函数有几个？
' G" A/ }0 \1 X
ps:北大《数学分析解题指南》里面的习题。自学分析，无奈书后答案不详，还望高手不吝赐教啊，先谢谢了！

87lv

第一题无穷多个，第二题只有一个

( c+ L. D$ G5 N( H' G) k( x4 q解：记y=f（x） .. ………………1
) }& ]( I5 ?$ z! I则有f（f（x））=f（y）=x ………2
3 v# ]$ k; X$ u1 b5 M- g
由1，2 两式有

! u- D* x8 c( G" J. uf（x）=y……..3
6 {% l+ Y0 @8 ?' S) Kf（y）=x………4

4 q! r1 N' P# j7 E8 X1 z/ k/ L若x=y，则有f（x）=x
3 a# Y2 ]2 J1 P; E
若x不等于y，则

由3，4两式得

【f（x）- f（y）】/【x-y】=-1
+ C7 Y6 ]  n3 v' `7 v也就是f（x）的斜率恒等于-1，上式x趋向于y的时候相当于导函数
5 {' E# M" d- a8 ~7 }7 s. U
3 I' P: C; q( m- t斜率恒等于-1就是f（x）=-x+a；a为任意常数

$ B0 f  K2 n) m5 I' q: ], z, D% y$ H所有这种函数有无穷多个，而只有f（x）=x是增函数，于是增函数就只有一个

helloyupp

回复 2# 87lv
* u! @7 `: V1 l. h8 h. R5 e

; B' Y6 Z, i' j5 ~' T0 N# n    非常感谢！

zhoutao15935

严谨吗？。。。。。。。。。。。。。。。

mrx

不严谨，下面的函数亦可：
" R' h/ D% X' t/ {f(x)=\left\{\begin{matrix}
  \' F6 z2 ?. L) H1 H( W) lx,x= 0\\ \frac{1}{x},x\neq 0
\end{matrix}\right.

mrx

不严谨，下面的函数亦可：
5 x* `' G& [/ s1 D7 J[tex] f(x)=\left\{\begin{matrix} x,x= 0\\ \frac{1}{x},x\neq 0 \end{matrix}\right.[/tex]

mrx

“【f（x）- f（y）】/【x-y】=-1
! S1 n! V8 y+ c! y/ p1 y& j也就是f（x）的斜率恒等于-1，上式x趋向于y的时候相当于导函数
斜率恒等于-1就是f（x）=-x+a；a为任意常数"
由此不可以得出斜率是-1的结论，因为x、y并不是f（x）函数上面的任意两点，此时y是x的函数，不符合导函数的定义。

BenCam

87lv 中答案错误,因为x和y是有内在联系的，不是任取的，所以不能说明所有点的斜率都为-1！

(1)有可数个.

(2)只有一个.因为存在反函数.

87lv

回复 7# mrx
1 N/ W% R6 e' n6 G

3 n5 g! x4 C1 M# J    谢谢你，我考虑错了！！呵呵！！

彩虹天堂

回复 1# helloyupp
2 Q/ _- f3 M  @3 q# q: X

    先看看