[请教]一道数学分析习题

Galois.L

(1)有无数个，验证函数f（x）=-x+a，a为任意实数

sxhqjfl

回复 1# helloyupp
% N( |$ Y3 b$ w0 X. Y" w+ ~2 L
+ i+ Y4 X) A; T/ c8 G8 [  x; T  g( k
3 a) V) v, f. }/ L" R1 ~9 q0 Q  z8 c    题目是找一个定义在R上的函数，且这个函数的反函数是其自身。
" I. b# C$ D0 e$ p4 H/ ]  初看此题，感觉没有什么思路。知识凭感觉写出了：y=x  和y=-x 。
后来看了二楼的做法有点启发。在得出【f(x)-f(y)】/x-y=-1 后，不能说明斜率恒等于-1，因为y是x对应的函数值。只能说明：对于定义域R上的任意x，点（x，f(x)）和点（f(x),x）的连线的斜率是-1.   但是可以特殊化，假设斜率是恒等于-1的，就得到y=-x+a（a为任意值）。
于是有了问题：怎样推导出满足条件的所有初等函数函数表达式？
已经有例子,反比例函数。

sxhqjfl

# X" g( o% j$ s

可以根据基本初等函数来逐个分析构造：

（1）常值函数（也称常数函数） y =c（其中c 为常数）

　　（2）幂函数 y =x^a（其中a 为实常数）

　　（3）指数函数 y =a^x（a＞0,a≠1）

　　（4）对数函数 y =log a(x)（a＞0,a≠1）

　　（5）三角函数：

　　正弦函数 y =sin(x)

　　余弦函数 y =cos(x)

　　正切函数 y =tan(x)

　　余切函数 y =cot(x)

　　正割函数 y =sec(x)

　　余割函数 y =csc(x)

　　（6）反三角函数：

　　反正弦函数 y =arcsinx 或y=sin-1x

　　反余弦函数 y =arccosx 或y=cos-1x

　　反正切函数 y =arctanx 或y=tan-1x

　　反余切函数 y =arccotx 或y=cot-1x

（反正割函数、反余割函数一般不用）

3 R  X  I2 w) ]

; |  h. a4 G. j4 q" Q! a5 w

baggio25465

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! i7 J0 w+ b7 `$ Z; }6 O/ J
$ ?' j+ |2 U$ V' _4 I
: S& i- S4 ~1 ~  A* _8 x    精神可嘉

rivuletwj

第一题显然有无穷多个
第二题只有唯一一个f(x)=x
+ q' T7 O/ Z* s9 S) D* ]7 Z& D用反证法，假设存在x0使得f(x0)≠x0
# f% }! _& [" G1 u( y$ ]& q. ^若f(x0)>x0,由f的单增性可知f(f(x0))≧f(x0)>x0,这与f(f(x0))=x0矛盾
若f(x0)<x0,同理可得矛盾
因此对于任意的x都有f(x)=x
另一方面，f(x)=x也符合条件，所以符合条件的函数存在且唯一。
+ i! a! ]3 k1 Y# ^; O' [' q8 q4 Q! y

梦透明天

先看看再说

梦透明天

敢问可数个的结论怎么证明出来的