由圆周率\pi 而产生的联想 (尺规三等分任意角的逻辑原理)
尺规三等分任意角的逻辑原理Microsoft word 圆周率 的联想
尺规三等分任意角的逻辑原理
苏小光
2011年2月20日
一) 问题的提出
古希腊人在三大几何难题中提到,尺规能否三等分任意角.有人用代数的方法证明 角可用尺规分成三等份,而 角则因为代数方程
没有有理根,认为 角无法用尺规分成三等份,所以,三等分任意角是尺规作图不能解决的问题.也有人提出了质疑,却不能给出令人满意的逻辑证明.本人由圆周率 是圆周长与直径的比这一大家熟知的常识,经严格证明,得出尺规能三等分任意角.
二) 预备定理
定理1 设圆心角 ∠ABC=N,则半径R与弧长 存在
定理2 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么,它们所对应的其余各组量分别相等.
三) 问题的终结
定理3 若
则用直尺和圆规可得
. (1)
证明
在∠AOB一边AO上,取
以 为半径,O点为圆心作弧,交OA于点C,交OB于点D. ,
根据定理1,有
(2)
在AO上取点E,使
(3)
以点O为圆心,以 为半径作弧交OA于点E,交OB于点F,
根据定理1,(2)式,(3)式有
(4)
所以,在弧 上,以点E为圆心,以CD长为半径作弧交 于点G,以点G为圆心,以CD长为半径作弧交 于点H,以点H为圆心,以CD长为半径作弧交 于点K,连结EG,GH,HK,因为
CD=EG=GH=HK,
根据(4)式知K
、F共点,所以
EG=GH=HF, (5)
根据定理2,(5)式,有
.
即
. (6)
由(6)式知(1)式正确.证毕.
本文的理论基础是
若半径R扩大3倍,则圆周长相应扩大3倍.相信本文将是尺规三等分任意角的完美终结.
圆周率\pi 的联想
尺规三等分任意角的逻辑原理
苏小光
2011年2月20日
一) 问题的提出
古希腊人在三大几何难题中提到,尺规能否三等分任意角.有人用代数的方法证明 90度角可用尺规分成三等份,而60度 角则因为代数方程
8x^3-6x-1=0
没有有理根,认为60度 角无法用尺规分成三等份,所以,三等分任意角是尺规作图不能解决的问题.也有人提出了质疑,却不能给出令人满意的逻辑证明.本人由圆周率 \pi 是圆周长与直径的比这一大家熟知的常识,经严格证明,得出尺规能三等分任意角.
二) 预备定理
定理1 设圆心角 ∠ABC=N,则半径R与弧长 l 存在
l=NR\pi /180 .
定理2 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么,它们所对应的其余各组量分别相等.
三) 问题的终结
定理3 若 0<∠AOB<(或=)360度,
则用直尺和圆规可得
∠AOG=1/3 ∠AOB . (1)
证明 设∠AOB=N,则0<∠AOB<(或=)360度
在∠AOB一边AO上,取OC=R_(1)
以R_(1) 为半径,O点为圆心作弧,交OA于点C,交OB于点D.设CD的弧长为l_(1) ,
根据定理1,有
l_(1)=(NR_(1)\pi )/180 (2)
在AO上取点E,使
OE=R_(2)=3OC=3R_(1) (3)
以点O为圆心,以R_(2) 为半径作弧交OA于点E,交OB于点F, 设EF的弧长为l_(2),
根据定理1,(2)式,(3)式有
l_(2)=(NR_( 2)\pi )/180=(N3R_(1) \pi )/180=3 l_(1) (4)
所以,在弧 l_(2)上,以点E为圆心,以CD长为半径作弧交 l_(2)于点G,以点G为圆心,以CD长为半径作弧交 l_(2)于点H,以点H为圆心,以CD长为半径作弧交 l_(2) 于点K,连结EG,GH,HK,因为
CD=EG=GH=HK,
根据(4)式知K、F共点,所以
EG=GH=HF, (5)
根据定理2,(5)式,有
.∠EOG=∠GOH=∠HOF
即
∠EOG=1/3 ∠EOF (6)
由(6)式知(1)式正确.证毕.
本文的理论基础是
\pi = l /2R
若半径R扩大3倍,则圆周长 l 相应扩大3倍.相信本文将是尺规三等分任意角的完美终结.
感觉有点问题呢........... 楼主可以的话发PDF，这里看不到呢~ 回复 wujwu 的帖子
没事了，这里可以用latex看呵呵 感觉有点问题呢...........
很好很好和噶 呵呵呵和 永远支持中国数学建模
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