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由圆周率\pi 而产生的联想 (尺规三等分任意角的逻辑原理)

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    发表于 2011-2-20 13:14 |只看该作者 |倒序浏览
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    尺规三等分任意角的逻辑原理
    ( Z% o# g4 i) D  Y' B
    8 v# f# [$ C, i
    zan
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                       圆周率 的联想
    2 {0 R& K' \3 w3 u, d  c0 g  t                         尺规三等分任意角的逻辑原理
    & @* o) r3 J4 G. L+ ?/ _                        苏小光
    : u: N; N$ a( _8 e- l                      2011年2月20日2 B* J; H6 Z9 J, V+ E
         一)  问题的提出* c! d* g. N: y+ K' X
         古希腊人在三大几何难题中提到,尺规能否三等分任意角.有人用代数的方法证明 角可用尺规分成三等份,而 角则因为代数方程
    8 X- X! v+ E7 I* g8 z# z) I7 D8 t                  
    # Z1 g" ^) M* ?没有有理根,认为 角无法用尺规分成三等份,所以,三等分任意角是尺规作图不能解决的问题.也有人提出了质疑,却不能给出令人满意的逻辑证明.本人由圆周率 是圆周长与直径的比这一大家熟知的常识,经严格证明,得出尺规能三等分任意角.
    1 m1 H& I$ l. t9 h. f9 p6 G    二)  预备定理
    , u$ x! p& Z2 A/ }& ?( M2 W, V    定理1 设圆心角 ∠ABC=N,则半径R与弧长 存在: y4 `/ s$ Q1 Q: `  k) i
                     
    & H/ d% V- {0 i   定理2 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么,它们所对应的其余各组量分别相等.
    4 S6 ]0 @" a! `# \7 Q' ]- ~" N   三) 问题的终结% g2 z- k& h6 Q( b% Y4 t
       定理3 若3 D- |0 g5 w; {2 b
                $ n9 Q. K: H6 ]1 C2 C* x% z. a
    则用直尺和圆规可得, v* i% P! K6 A9 v1 [
                .          (1)        ' s; ~1 b: A9 X( x# k
        证明  ; ?9 R# I9 {8 R$ ]( y$ L! @
    在∠AOB一边AO上,取
    - v1 A1 K, f. b7 m7 [+ U              l. k4 V# ?  @( W
    以 为半径,O点为圆心作弧,交OA于点C,交OB于点D. ,1 @1 E1 B/ L8 P# J' e
    根据定理1,有
    + g' _4 P& P: ]5 x4 y* G- S( e                    (2)9 P0 u8 l3 o( c# V& R" v
    在AO上取点E,使
    & Y5 {* B' T$ G, p. u! M7 v. x            (3)% J2 \8 k5 \7 s, t+ E1 M# p7 v
    以点O为圆心,以 为半径作弧交OA于点E,交OB于点F,
    2 K) Q" f! J6 }. r; n7 `根据定理1,(2)式,(3)式有
    : ?2 W( h& u# A" x1 N) u             (4)
    / ~& c. K3 _. E4 l4 d所以,在弧 上,以点E为圆心,以CD长为半径作弧交 于点G,以点G为圆心,以CD长为半径作弧交 于点H,以点H为圆心,以CD长为半径作弧交 于点K,连结EG,GH,HK,因为
    1 s: l% g& f0 H1 M        CD=EG=GH=HK,7 N' F4 ?( L. _
    根据(4)式知K1 i  U, e/ j+ B& n1 L, |+ a( U: B5 a
    、F共点,所以
    / I/ |) _! O) [4 Z0 d5 V: g1 G        EG=GH=HF,         (5)- `* }0 Q! p5 K$ F5 S
    根据定理2,(5)式,有
    0 g# I# a/ S6 t- x        .
    & `: I) p! n6 p5 ]( k% V) L. J' K$ A
           .       (6)1 E- |& b0 p/ I5 j; v# W
    由(6)式知(1)式正确.证毕.
    ) v& y& ^1 N8 b6 G" k, _" y6 l2 e    本文的理论基础是
    & c# X; x) t$ h2 U  Y- r! F         
    " a% h9 J5 H+ e6 y5 Z2 S/ M若半径R扩大3倍,则圆周长相应扩大3倍.相信本文将是尺规三等分任意角的完美终结.
    6 ]1 u* C* \5 P* H
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                      圆周率\pi  的联想6 D' L7 h8 B5 D' `5 u, @
                             尺规三等分任意角的逻辑原理
      Y8 r& Z' G7 G                        苏小光
    2 E# `+ ]6 Y, x, ], o) Q                      2011年2月20日
    ) d# l9 u; @& u. C; Q2 p     一)  问题的提出
    9 ?+ A: P% ^- T9 `     古希腊人在三大几何难题中提到,尺规能否三等分任意角.有人用代数的方法证明 90度角可用尺规分成三等份,而60度 角则因为代数方程
    , G2 {# g; G& f/ {                  8x^3-6x-1=0 . \% l  _# h7 \/ G% y
    没有有理根,认为60度 角无法用尺规分成三等份,所以,三等分任意角是尺规作图不能解决的问题.也有人提出了质疑,却不能给出令人满意的逻辑证明.本人由圆周率 \pi 是圆周长与直径的比这一大家熟知的常识,经严格证明,得出尺规能三等分任意角.3 R$ d6 q0 ?4 ~; v
        二)  预备定理
    7 x4 r4 m' q6 _) p" d) D/ S3 \! V' Z' C    定理1 设圆心角 ∠ABC=N,则半径R与弧长 l 存在
    & m' l3 K" b7 x* }% ]5 a                 l=NR\pi /180 .( g: E6 L0 V0 b  w! Q
                     / t/ U/ }. F* |8 |4 l7 Y: s: N
       定理2 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么,它们所对应的其余各组量分别相等.! O: s4 L& w/ N9 W; d3 N
       三) 问题的终结
    4 f2 s0 L( T- K# N   定理3 若 0<∠AOB<(或=)360度,
    8 W% n2 v5 e7 `# U            ' y% X. G5 |7 S  B" d  p
    则用直尺和圆规可得
    4 j% M" s( `1 {       ∠AOG=1/3 ∠AOB    .          (1)        
    : h7 t" e3 i3 J! [/ F% Y    证明  设∠AOB=N,则0<∠AOB<(或=)360度3 h# K' t+ ?0 p' i1 s" e
    在∠AOB一边AO上,取OC=R_(1)
    ) e3 u/ I* v7 g# R( `* O  n            
    ! h: h8 k' k$ v$ D2 A+ o  k以R_(1) 为半径,O点为圆心作弧,交OA于点C,交OB于点D.设CD的弧长为l_(1) ,: S  L6 S! Y6 x& f# ]) v3 ^, s
    根据定理1,有
    / b/ S" b" j3 t    l_(1)=(NR_(1)\pi )/180                (2)
    2 F" u7 _1 p/ Z0 p. p, N/ j在AO上取点E,使) F: |( u  h0 F! h) c9 n8 k
    OE=R_(2)=3OC=3R_(1)           (3)
    / o% L5 W' E. G, _2 n以点O为圆心,以R_(2) 为半径作弧交OA于点E,交OB于点F, 设EF的弧长为l_(2),3 d- t+ j- }& w0 V  t9 X
    根据定理1,(2)式,(3)式有
    6 E$ Z/ m0 {0 z' h1 Q/ I) H& {4 U0 H          l_(2)=(NR_( 2)\pi )/180=(N3R_(1) \pi )/180=3 l_(1)      (4)  g8 @# w$ j, U+ ], D2 y
    所以,在弧 l_(2)上,以点E为圆心,以CD长为半径作弧交 l_(2)于点G,以点G为圆心,以CD长为半径作弧交 l_(2)于点H,以点H为圆心,以CD长为半径作弧交 l_(2) 于点K,连结EG,GH,HK,因为8 L9 e2 p2 L1 ~
            CD=EG=GH=HK,
    * u2 M$ k6 G! l0 K根据(4)式知K、F共点,所以
    : t2 I0 X6 s" C5 e5 b6 P7 N  x        EG=GH=HF,         (5)
    9 l" i- P% u7 b! u& J根据定理2,(5)式,有
    7 [( V& N. A- }' M' \  ^        .∠EOG=∠GOH=∠HOF3 @' r+ D) Z" ?7 p& }2 _
    ) Q. h! f' k7 R# }2 {
               ∠EOG=1/3 ∠EOF        (6)8 F* W+ H* |! w9 l
    由(6)式知(1)式正确.证毕.
    4 v6 D$ l( E) e6 E$ |1 [  F" l  u    本文的理论基础是
    2 v. W$ z3 k; X, l            \pi = l /2R
    $ Y1 @, m6 O7 E# I8 N. k& j# d若半径R扩大3倍,则圆周长 l 相应扩大3倍.相信本文将是尺规三等分任意角的完美终结.
    ' D; r  J* ~  L; R0 `
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