由圆周率\pi 而产生的联想 (尺规三等分任意角的逻辑原理)

数学1+1

尺规三等分任意角的逻辑原理
/ X4 U1 P) }3 o3 Q1 z

数学1+1

数学1+1

                   圆周率 的联想
# o( w, v( K7 W1 V                         尺规三等分任意角的逻辑原理
/ ^$ I' J5 d& X" K1 {! ~. g5 @                        苏小光
/ \" Y; W1 _* u* f( W4 y: L1 G0 h                      2011年2月20日
     一)  问题的提出
     古希腊人在三大几何难题中提到,尺规能否三等分任意角.有人用代数的方法证明 角可用尺规分成三等份,而 角则因为代数方程
                  
没有有理根,认为 角无法用尺规分成三等份,所以,三等分任意角是尺规作图不能解决的问题.也有人提出了质疑,却不能给出令人满意的逻辑证明.本人由圆周率 是圆周长与直径的比这一大家熟知的常识,经严格证明,得出尺规能三等分任意角.
: C9 |* O5 l- l9 R9 o/ d    二)  预备定理
    定理1 设圆心角 ∠ABC=N,则半径R与弧长 存在
                 
   定理2 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么,它们所对应的其余各组量分别相等.
   三) 问题的终结
   定理3 若
            
* u. i4 U" v7 X& @则用直尺和圆规可得
. g, ~4 m: V6 O- _4 o" v            .          (1)        
# y. [: r( n+ M6 U7 q' r4 e4 J    证明  
1 U, a; _5 y( C! X; T在∠AOB一边AO上,取
            
2 u9 m6 o0 V8 E( ?/ k8 R# a* ?6 _- n以 为半径,O点为圆心作弧,交OA于点C,交OB于点D. ,
, m. [0 K1 `  O. C# I根据定理1,有
* ~1 J7 X: ?) Q3 A; v" W) _# {                    (2)
在AO上取点E,使
            (3)
5 F8 D# E* N# d: V以点O为圆心,以 为半径作弧交OA于点E,交OB于点F,
7 E9 [& }3 n6 f/ D/ n& c; j" B根据定理1,(2)式,(3)式有
             (4)
2 j* p) p0 L4 Q$ j) s所以,在弧 上,以点E为圆心,以CD长为半径作弧交 于点G,以点G为圆心,以CD长为半径作弧交 于点H,以点H为圆心,以CD长为半径作弧交 于点K,连结EG,GH,HK,因为
        CD=EG=GH=HK,
根据(4)式知K
、F共点,所以
        EG=GH=HF,         (5)
6 u" s: D4 y4 w* Y' y9 E根据定理2,(5)式,有
        .
6 u, ?  S: q3 u/ R: t+ o; F; u即
7 o# ^8 r& z' O/ G8 E& E       .       (6)
由(6)式知(1)式正确.证毕.
! e, I3 o1 Z8 I& o. n    本文的理论基础是
' g5 {" m$ o+ r. H/ }! x) M         
# ]# W) f0 W# A& I6 p' z1 L- _: X8 w若半径R扩大3倍,则圆周长相应扩大3倍.相信本文将是尺规三等分任意角的完美终结.
/ B# O8 `) F+ K

数学1+1

                  圆周率\pi  的联想
                         尺规三等分任意角的逻辑原理
                        苏小光
4 {! y: b' A6 {) Q& v: r                      2011年2月20日
2 e, Y5 B  X) ~4 i     一)  问题的提出
* F- S7 t$ k# R     古希腊人在三大几何难题中提到,尺规能否三等分任意角.有人用代数的方法证明 90度角可用尺规分成三等份,而60度 角则因为代数方程
                  8x^3-6x-1=0
: Y# w3 J( i2 n4 I没有有理根,认为60度 角无法用尺规分成三等份,所以,三等分任意角是尺规作图不能解决的问题.也有人提出了质疑,却不能给出令人满意的逻辑证明.本人由圆周率 \pi 是圆周长与直径的比这一大家熟知的常识,经严格证明,得出尺规能三等分任意角.
4 t5 f) f# |! J3 t" z4 F2 }( j    二)  预备定理
( G1 r/ t2 |5 }1 Z    定理1 设圆心角 ∠ABC=N,则半径R与弧长 l 存在
                 l=NR\pi /180 .
, P! b0 Y+ v7 P9 S                 
   定理2 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么,它们所对应的其余各组量分别相等.
0 i4 _+ N8 V! P   三) 问题的终结
) d- L! z9 K) J, s( _   定理3 若 0<∠AOB<(或=)360度,
  x% {' u4 \& ^- |8 j7 E. h            
则用直尺和圆规可得
5 I2 ^! d! Z6 x6 R' ]" K       ∠AOG=1/3 ∠AOB    .          (1)        
3 [' a* C/ y( r4 d1 m3 ?* N' ~    证明  设∠AOB=N,则0<∠AOB<(或=)360度
8 e7 j9 j4 t) g在∠AOB一边AO上,取OC=R_(1)
7 o/ U+ @* n0 [9 t! Y9 g) U- w            
以R_(1) 为半径,O点为圆心作弧,交OA于点C,交OB于点D.设CD的弧长为l_(1) ,
根据定理1,有
: e: [& ]) u0 Z+ m" o2 ]* C    l_(1)=(NR_(1)\pi )/180                (2)
. i/ v- v# j) Z" D& A在AO上取点E,使
( ]" L" v( }# _! m, z OE=R_(2)=3OC=3R_(1)           (3)
3 g5 Z: }- K4 |8 S以点O为圆心,以R_(2) 为半径作弧交OA于点E,交OB于点F, 设EF的弧长为l_(2),
% I- C8 o. |" t. k  {根据定理1,(2)式,(3)式有
6 \6 D0 m+ W, r! G( G/ {          l_(2)=(NR_( 2)\pi )/180=(N3R_(1) \pi )/180=3 l_(1)      (4)
7 u5 V  T# P7 {+ F$ k所以,在弧 l_(2)上,以点E为圆心,以CD长为半径作弧交 l_(2)于点G,以点G为圆心,以CD长为半径作弧交 l_(2)于点H,以点H为圆心,以CD长为半径作弧交 l_(2) 于点K,连结EG,GH,HK,因为
        CD=EG=GH=HK,
根据(4)式知K、F共点,所以
        EG=GH=HF,         (5)
( N2 Z- Q: \: O# ^根据定理2,(5)式,有
* q' M. p) E; ?! ^5 x% Q        .∠EOG=∠GOH=∠HOF
即
  Q5 ^' W2 Q8 A! b           ∠EOG=1/3 ∠EOF        (6)
# i3 O, Z! ]+ r  N$ T! J由(6)式知(1)式正确.证毕.
0 y  _3 x: u& p* G0 h" `7 F- Y/ m5 l    本文的理论基础是
7 j2 c5 s$ q& J7 C' e            \pi = l /2R
$ G# j. u; `  j" M8 |% N' q若半径R扩大3倍,则圆周长 l 相应扩大3倍.相信本文将是尺规三等分任意角的完美终结.
+ A& U, H9 @( P3 B

葉_浅浅

感觉有点问题呢...........

wujwu

楼主可以的话发PDF，这里看不到呢~

wujwu

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% v0 }! J/ J( n" m* U
( ]% H# X& Y; P' ?7 F没事了，这里可以用latex看呵呵

唐伯虎

感觉有点问题呢...........
6 x: L3 h+ U! p& x

唐伯虎

很好很好和噶 呵呵呵和

唐伯虎

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