由圆周率\pi 而产生的联想 (尺规三等分任意角的逻辑原理)

数学1+1

尺规三等分任意角的逻辑原理
' x( A/ i" |: B7 t
+ j, B5 D  D- g6 t# r6 j  U6 T6 S

数学1+1

数学1+1

                   圆周率 的联想
4 |6 s9 k3 `3 ?. g                         尺规三等分任意角的逻辑原理
                        苏小光
; v+ D1 ^/ }" I                      2011年2月20日
2 B% ]% l% i1 S$ S- z8 {) l     一)  问题的提出
     古希腊人在三大几何难题中提到,尺规能否三等分任意角.有人用代数的方法证明 角可用尺规分成三等份,而 角则因为代数方程
; Z1 r) \0 h  a/ v7 V! o; ?+ F                  
2 u6 `+ D4 q$ v1 @5 W& I: e$ S没有有理根,认为 角无法用尺规分成三等份,所以,三等分任意角是尺规作图不能解决的问题.也有人提出了质疑,却不能给出令人满意的逻辑证明.本人由圆周率 是圆周长与直径的比这一大家熟知的常识,经严格证明,得出尺规能三等分任意角.
+ b! ~' S5 `0 g9 Y! c; a& k    二)  预备定理
$ _* z& l9 m+ \2 y, k) C3 f; y4 M5 e    定理1 设圆心角 ∠ABC=N,则半径R与弧长 存在
                 
   定理2 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么,它们所对应的其余各组量分别相等.
   三) 问题的终结
   定理3 若
            
( C6 r% D1 c6 I, V* `  _则用直尺和圆规可得
0 g* p5 \' r/ ?/ E/ |            .          (1)        
# s7 P/ c  U. r    证明  
# ^# k+ Q4 U- \在∠AOB一边AO上,取
            
# ~" F5 d  ^: c2 c- A以 为半径,O点为圆心作弧,交OA于点C,交OB于点D. ,
' J# ?* |* L' @根据定理1,有
                    (2)
+ g; W) n1 O/ ?9 T& a1 c) Z在AO上取点E,使
            (3)
; B& S- l+ f! C, c$ J) R以点O为圆心,以 为半径作弧交OA于点E,交OB于点F,
, M( ?, S: V, z根据定理1,(2)式,(3)式有
' t- f' y+ X+ ]- w) O' B  Z             (4)
+ D5 X3 V8 o) b" r$ k所以,在弧 上,以点E为圆心,以CD长为半径作弧交 于点G,以点G为圆心,以CD长为半径作弧交 于点H,以点H为圆心,以CD长为半径作弧交 于点K,连结EG,GH,HK,因为
, h/ R2 b; M+ ~, V        CD=EG=GH=HK,
% I' u. R2 J6 C2 E. |, F9 E" Y根据(4)式知K
- v4 X' P  H2 D0 l) u、F共点,所以
) o' i* K  I2 P4 j2 o        EG=GH=HF,         (5)
根据定理2,(5)式,有
        .
即
       .       (6)
由(6)式知(1)式正确.证毕.
5 q. [1 C' V' |- O    本文的理论基础是
: L- C/ ?1 X# {; V* F3 w* V  T% e         
若半径R扩大3倍,则圆周长相应扩大3倍.相信本文将是尺规三等分任意角的完美终结.
) I3 D4 ]4 p- ~! w3 z% E

数学1+1

                  圆周率\pi  的联想
                         尺规三等分任意角的逻辑原理
. |8 Q3 F! V& P, ]) g( ?: h                        苏小光
                      2011年2月20日
     一)  问题的提出
2 V# _9 u% x) E0 J     古希腊人在三大几何难题中提到,尺规能否三等分任意角.有人用代数的方法证明 90度角可用尺规分成三等份,而60度 角则因为代数方程
' \7 F: J$ P: H# M  s& k; C                  8x^3-6x-1=0
没有有理根,认为60度 角无法用尺规分成三等份,所以,三等分任意角是尺规作图不能解决的问题.也有人提出了质疑,却不能给出令人满意的逻辑证明.本人由圆周率 \pi 是圆周长与直径的比这一大家熟知的常识,经严格证明,得出尺规能三等分任意角.
1 }7 l) Y& ]5 Z. l' ?* w& b    二)  预备定理
    定理1 设圆心角 ∠ABC=N,则半径R与弧长 l 存在
9 Z: S- A& u1 L8 L9 m& i# P3 ^$ v: Y                 l=NR\pi /180 .
* G" I  }' l; O# o& ~5 W$ K0 z                 
   定理2 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么,它们所对应的其余各组量分别相等.
7 Q5 N. M8 C  {6 v4 m   三) 问题的终结
$ ~0 F/ N2 x5 {+ Z: U   定理3 若 0<∠AOB<(或=)360度,
            
" {& F& }! m' _; [/ H# S2 v; f则用直尺和圆规可得
       ∠AOG=1/3 ∠AOB    .          (1)        
4 e; U; K5 R* L0 ^+ ^: q$ ~    证明  设∠AOB=N,则0<∠AOB<(或=)360度
% o5 o! E7 D1 B0 B3 W5 D在∠AOB一边AO上,取OC=R_(1)
3 w/ U3 I8 F$ x) o            
, w5 A5 @* d. O0 S$ @/ V以R_(1) 为半径,O点为圆心作弧,交OA于点C,交OB于点D.设CD的弧长为l_(1) ,
根据定理1,有
8 Y; g" V. M) S- U8 s$ i    l_(1)=(NR_(1)\pi )/180                (2)
5 h6 M! k% J" s& M4 h在AO上取点E,使
OE=R_(2)=3OC=3R_(1)           (3)
4 E& I& x  O, g4 J1 X- u3 H以点O为圆心,以R_(2) 为半径作弧交OA于点E,交OB于点F, 设EF的弧长为l_(2),
" g: G+ g/ M. _9 W根据定理1,(2)式,(3)式有
          l_(2)=(NR_( 2)\pi )/180=(N3R_(1) \pi )/180=3 l_(1)      (4)
所以,在弧 l_(2)上,以点E为圆心,以CD长为半径作弧交 l_(2)于点G,以点G为圆心,以CD长为半径作弧交 l_(2)于点H,以点H为圆心,以CD长为半径作弧交 l_(2) 于点K,连结EG,GH,HK,因为
        CD=EG=GH=HK,
7 A/ G, u. q# g6 w# B: g: [根据(4)式知K、F共点,所以
        EG=GH=HF,         (5)
" {) |" c% Y# X$ o: p8 s根据定理2,(5)式,有
5 a3 z3 n( |. P* T4 A( ]$ ?        .∠EOG=∠GOH=∠HOF
即
5 v5 L- D9 i( K, _$ C2 I           ∠EOG=1/3 ∠EOF        (6)
5 |' ^% X; ^5 |' ?: h1 S7 X由(6)式知(1)式正确.证毕.
    本文的理论基础是
            \pi = l /2R
若半径R扩大3倍,则圆周长 l 相应扩大3倍.相信本文将是尺规三等分任意角的完美终结.
( v! J: e: V' m. T2 x7 I. t, E* O

葉_浅浅

感觉有点问题呢...........

wujwu

楼主可以的话发PDF，这里看不到呢~

wujwu

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  W" K' t7 n8 X0 D
没事了，这里可以用latex看呵呵

唐伯虎

感觉有点问题呢...........

唐伯虎

很好很好和噶 呵呵呵和

唐伯虎

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