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由圆周率\pi 而产生的联想 (尺规三等分任意角的逻辑原理)

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    发表于 2011-2-20 13:14 |只看该作者 |倒序浏览
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    尺规三等分任意角的逻辑原理
    " j% _# [0 n4 }
    7 W- c/ n- J5 y" x0 r0 R* C& s
    zan
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                       圆周率 的联想) H( X2 C! I: O. G4 r" D, r
                             尺规三等分任意角的逻辑原理2 z4 X" V- Z; e
                            苏小光
    ! E* L, U8 H% G" T% N& B                      2011年2月20日
    4 o9 h' F+ {4 c0 c( v$ R! C' I$ a     一)  问题的提出
    " k8 I) C  n+ _$ g$ {     古希腊人在三大几何难题中提到,尺规能否三等分任意角.有人用代数的方法证明 角可用尺规分成三等份,而 角则因为代数方程9 m$ Q; m+ p0 M
                         C2 [; h; V2 G- k" S
    没有有理根,认为 角无法用尺规分成三等份,所以,三等分任意角是尺规作图不能解决的问题.也有人提出了质疑,却不能给出令人满意的逻辑证明.本人由圆周率 是圆周长与直径的比这一大家熟知的常识,经严格证明,得出尺规能三等分任意角./ Q0 p5 z# C0 p" Z1 T% u
        二)  预备定理4 ~0 Z  C- R1 B
        定理1 设圆心角 ∠ABC=N,则半径R与弧长 存在: d# q( a& w. x% b. U* k: B8 b
                     6 T& v$ `+ i3 D" h, @) R
       定理2 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么,它们所对应的其余各组量分别相等.# p, \. X6 q) _0 Z
       三) 问题的终结( B7 Q( V" M9 o0 @" D
       定理3 若; Y) i4 q! G- b3 ^, P
                
      {7 o; h# Q5 ]. X则用直尺和圆规可得8 z$ h6 i. D* P3 l
                .          (1)        . z6 p$ ?3 T6 L. N
        证明  
    / |) f1 N7 J* \6 f在∠AOB一边AO上,取
    , O* \+ g$ x+ W) b/ }. p% w* e$ |            6 _; t' h. }- [0 i- l
    以 为半径,O点为圆心作弧,交OA于点C,交OB于点D. ,7 i. o7 [! U, b
    根据定理1,有3 p" }% O. ?1 P' D* K8 E3 M* e( O
                        (2)
    4 L9 s1 p1 n' k" n1 L0 E在AO上取点E,使
    0 G* Q1 A# s$ q! W  U            (3)
    . T9 ~* U$ u0 d5 T4 e: w以点O为圆心,以 为半径作弧交OA于点E,交OB于点F, , O: W1 ?9 m9 n  r; J6 F
    根据定理1,(2)式,(3)式有
    ' l! K( X0 f, C, i             (4)  C5 X/ o4 l/ n- `+ X
    所以,在弧 上,以点E为圆心,以CD长为半径作弧交 于点G,以点G为圆心,以CD长为半径作弧交 于点H,以点H为圆心,以CD长为半径作弧交 于点K,连结EG,GH,HK,因为
    9 D/ E' J+ b; E" L        CD=EG=GH=HK,* N" ?9 Y: ]! V9 o8 u# ~
    根据(4)式知K
    / L" a, [' @# J; q、F共点,所以$ i4 m0 F0 ^$ \+ O$ a& g8 i7 t- k
            EG=GH=HF,         (5)
    - y1 z* X) Y" F2 p根据定理2,(5)式,有
    6 _; i7 z( M& H1 ~( X. \        .9 @; w6 }$ b- h0 A/ H  }9 s1 H

    ) ?. y# X6 i0 L$ a- g2 f       .       (6); P1 Q( ]7 l+ ~  s% ?7 b
    由(6)式知(1)式正确.证毕.; @& ^3 q( w( w0 L$ ~$ r' v
        本文的理论基础是( x+ O/ D, a% f. D+ i) J& J. J
             
    % _5 P5 g2 t- P( x若半径R扩大3倍,则圆周长相应扩大3倍.相信本文将是尺规三等分任意角的完美终结.' v  H- \& D% _3 @) b
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                      圆周率\pi  的联想
    ' B) q7 M" I# U: [4 R( Z1 x                         尺规三等分任意角的逻辑原理  F. B9 ^; l# c9 b) |' w: q1 _) }0 I
                            苏小光, ~2 |# C( b$ o9 x0 w% ^9 b
                          2011年2月20日9 S& U' G( N' t' V8 M
         一)  问题的提出
    0 L5 |& T; M6 ~+ Y1 ~/ I) q     古希腊人在三大几何难题中提到,尺规能否三等分任意角.有人用代数的方法证明 90度角可用尺规分成三等份,而60度 角则因为代数方程
    " ]( Z; {8 s% j, d                  8x^3-6x-1=0
    9 C1 L: D% V: T( x. V, m! q没有有理根,认为60度 角无法用尺规分成三等份,所以,三等分任意角是尺规作图不能解决的问题.也有人提出了质疑,却不能给出令人满意的逻辑证明.本人由圆周率 \pi 是圆周长与直径的比这一大家熟知的常识,经严格证明,得出尺规能三等分任意角.
    " S8 A4 a  G% _2 d' c/ s7 _7 ^5 k    二)  预备定理
    9 `% n, \7 K* ]0 C5 f( v' }    定理1 设圆心角 ∠ABC=N,则半径R与弧长 l 存在
    5 f& \9 ^' y, {                 l=NR\pi /180 .
    ; w  E1 y2 E! f8 J                 
    ; t5 n: ]9 w/ s) k. \8 u   定理2 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么,它们所对应的其余各组量分别相等.  ^6 {/ g1 k' c$ `5 b: J
       三) 问题的终结& J  O3 q& _, j! h
       定理3 若 0<∠AOB<(或=)360度,
    0 O+ E0 t9 V6 k            + k& H+ f" e" X6 f" n
    则用直尺和圆规可得
    , j( Q2 \- {7 ?/ ~4 K& V! s. Y       ∠AOG=1/3 ∠AOB    .          (1)        6 b4 }1 _" B7 ]' B: R
        证明  设∠AOB=N,则0<∠AOB<(或=)360度
    2 B! W& q1 N) \在∠AOB一边AO上,取OC=R_(1)
    + e7 W8 ^2 _  j4 @/ V5 T            6 F! ^& i  x  K3 L6 r
    以R_(1) 为半径,O点为圆心作弧,交OA于点C,交OB于点D.设CD的弧长为l_(1) ,; |/ `9 E* W, R) N1 S! ^0 @4 y
    根据定理1,有/ X' i# _4 d- m
        l_(1)=(NR_(1)\pi )/180                (2)% k( W# R* U2 r$ R
    在AO上取点E,使
    ) f+ F# v! i' B$ j OE=R_(2)=3OC=3R_(1)           (3)* \- f0 g5 R2 u9 Z: d1 Q$ Q
    以点O为圆心,以R_(2) 为半径作弧交OA于点E,交OB于点F, 设EF的弧长为l_(2),0 Q6 T2 g& l& Y1 R( z, p) T
    根据定理1,(2)式,(3)式有
    . p' R, d/ V. p          l_(2)=(NR_( 2)\pi )/180=(N3R_(1) \pi )/180=3 l_(1)      (4)
    ( y9 x$ z4 r  ^, a所以,在弧 l_(2)上,以点E为圆心,以CD长为半径作弧交 l_(2)于点G,以点G为圆心,以CD长为半径作弧交 l_(2)于点H,以点H为圆心,以CD长为半径作弧交 l_(2) 于点K,连结EG,GH,HK,因为
    2 J: Z$ h# |/ L! R  I! R        CD=EG=GH=HK,% h8 H9 v" w$ e  u5 i! L4 G
    根据(4)式知K、F共点,所以% s7 D- F  c/ P& |! O5 E
            EG=GH=HF,         (5)
    ) F, }9 ]) q6 |# K根据定理2,(5)式,有! h3 d' q, y7 H4 g; g* i
            .∠EOG=∠GOH=∠HOF3 p! ?$ K( c$ T0 Y1 ~0 g0 A
    ; }$ k7 p9 z5 `3 W
               ∠EOG=1/3 ∠EOF        (6)2 ]+ a% l8 f% J# F3 {# [
    由(6)式知(1)式正确.证毕.9 h' X8 q: R. P  _& G  }
        本文的理论基础是% x" h. y6 ^- c+ J' Z
                \pi = l /2R1 X- g" [, a2 G7 v, m- m6 S
    若半径R扩大3倍,则圆周长 l 相应扩大3倍.相信本文将是尺规三等分任意角的完美终结.  q8 P6 [$ ]- _
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