由圆周率\pi 而产生的联想 (尺规三等分任意角的逻辑原理)

数学1+1

尺规三等分任意角的逻辑原理
- V6 u/ W; Z8 Q" x) w
1 G0 I6 N2 S' L9 h3 s( l! D

数学1+1

数学1+1

                   圆周率 的联想
                         尺规三等分任意角的逻辑原理
                        苏小光
                      2011年2月20日
     一)  问题的提出
     古希腊人在三大几何难题中提到,尺规能否三等分任意角.有人用代数的方法证明 角可用尺规分成三等份,而 角则因为代数方程
1 ]" P' Z' l/ v+ M3 A                  
没有有理根,认为 角无法用尺规分成三等份,所以,三等分任意角是尺规作图不能解决的问题.也有人提出了质疑,却不能给出令人满意的逻辑证明.本人由圆周率 是圆周长与直径的比这一大家熟知的常识,经严格证明,得出尺规能三等分任意角.
    二)  预备定理
: G1 F! p* M& e9 M( w    定理1 设圆心角 ∠ABC=N,则半径R与弧长 存在
                 
   定理2 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么,它们所对应的其余各组量分别相等.
7 B% E* `8 n# R! n% p! Y+ Q   三) 问题的终结
   定理3 若
            
# e3 c* b! L6 b& p0 a则用直尺和圆规可得
  {# t  \) J* K. g# k            .          (1)        
( o) n, W7 I+ l. O8 G    证明  
在∠AOB一边AO上,取
            
/ P: U& O2 u+ @! L* }! Z% Q* ~0 g以 为半径,O点为圆心作弧,交OA于点C,交OB于点D. ,
根据定理1,有
                    (2)
在AO上取点E,使
            (3)
0 {$ f& I' e: a* y: O以点O为圆心,以 为半径作弧交OA于点E,交OB于点F,
9 f! T7 L8 E% q/ y  }/ b2 x9 R根据定理1,(2)式,(3)式有
1 u5 y  N: m9 k  W; ~: A3 \9 j             (4)
所以,在弧 上,以点E为圆心,以CD长为半径作弧交 于点G,以点G为圆心,以CD长为半径作弧交 于点H,以点H为圆心,以CD长为半径作弧交 于点K,连结EG,GH,HK,因为
" D5 j8 o/ ^& o2 R7 }7 h9 o        CD=EG=GH=HK,
根据(4)式知K
/ ~$ ~0 V# y3 ^0 r6 L6 e、F共点,所以
        EG=GH=HF,         (5)
根据定理2,(5)式,有
        .
即
       .       (6)
由(6)式知(1)式正确.证毕.
    本文的理论基础是
         
- _$ O$ o! g) h. [, h若半径R扩大3倍,则圆周长相应扩大3倍.相信本文将是尺规三等分任意角的完美终结.

数学1+1

                  圆周率\pi  的联想
                         尺规三等分任意角的逻辑原理
                        苏小光
! U2 c1 J+ F. X  l                      2011年2月20日
' C9 E/ h' A9 Z     一)  问题的提出
8 }) h) F0 N0 G% B. f     古希腊人在三大几何难题中提到,尺规能否三等分任意角.有人用代数的方法证明 90度角可用尺规分成三等份,而60度 角则因为代数方程
                  8x^3-6x-1=0
( b& A/ C2 \+ _% S没有有理根,认为60度 角无法用尺规分成三等份,所以,三等分任意角是尺规作图不能解决的问题.也有人提出了质疑,却不能给出令人满意的逻辑证明.本人由圆周率 \pi 是圆周长与直径的比这一大家熟知的常识,经严格证明,得出尺规能三等分任意角.
. n, h  T' g8 G" n3 _' N/ L    二)  预备定理
    定理1 设圆心角 ∠ABC=N,则半径R与弧长 l 存在
+ U- w% `- I5 a% a4 `  G$ G' ~                 l=NR\pi /180 .
/ L) ?/ @" C! o8 r                 
% {! _/ q6 b! D* W   定理2 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么,它们所对应的其余各组量分别相等.
! r4 ?+ q/ d# ]2 i: D" i2 R   三) 问题的终结
   定理3 若 0<∠AOB<(或=)360度,
# \( V; q) Q9 q3 @# Q: [            
则用直尺和圆规可得
7 T" w- m6 m* Z1 u- r       ∠AOG=1/3 ∠AOB    .          (1)        
' G  H. ]) q' |    证明  设∠AOB=N,则0<∠AOB<(或=)360度
在∠AOB一边AO上,取OC=R_(1)
            
0 }; K; ~2 T, j+ _5 U$ \1 y以R_(1) 为半径,O点为圆心作弧,交OA于点C,交OB于点D.设CD的弧长为l_(1) ,
- }# b5 b) ^; C  ?1 j! c: p' d  l+ C根据定理1,有
% n6 Y% L* d% c5 n' g' B    l_(1)=(NR_(1)\pi )/180                (2)
& r; [, T9 [1 Y' {在AO上取点E,使
1 }, u3 x, f  x5 s5 q* ` OE=R_(2)=3OC=3R_(1)           (3)
5 x$ @! ^+ X. G7 c2 [; i以点O为圆心,以R_(2) 为半径作弧交OA于点E,交OB于点F, 设EF的弧长为l_(2),
3 v$ H9 k+ v& w0 ~& B! Q根据定理1,(2)式,(3)式有
          l_(2)=(NR_( 2)\pi )/180=(N3R_(1) \pi )/180=3 l_(1)      (4)
( \( F  s1 U1 @! w2 U所以,在弧 l_(2)上,以点E为圆心,以CD长为半径作弧交 l_(2)于点G,以点G为圆心,以CD长为半径作弧交 l_(2)于点H,以点H为圆心,以CD长为半径作弧交 l_(2) 于点K,连结EG,GH,HK,因为
" g% t, x* z$ E2 k8 i7 p        CD=EG=GH=HK,
( L+ ~. X- U& I根据(4)式知K、F共点,所以
: S# W6 o' o; b; M. Q. s- b/ _+ ]        EG=GH=HF,         (5)
根据定理2,(5)式,有
        .∠EOG=∠GOH=∠HOF
, a" n6 ]$ _3 o2 I  y# ?7 @即
5 v$ Y9 W% M- \0 }7 d7 m( P           ∠EOG=1/3 ∠EOF        (6)
+ Y6 }* ?! e  e1 M3 z由(6)式知(1)式正确.证毕.
1 ^* V" d; C  D$ b- @) A    本文的理论基础是
            \pi = l /2R
若半径R扩大3倍,则圆周长 l 相应扩大3倍.相信本文将是尺规三等分任意角的完美终结.
2 b0 `  h6 ?) }& x% \; n1 D

葉_浅浅

感觉有点问题呢...........

wujwu

楼主可以的话发PDF，这里看不到呢~

wujwu

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9 q  p& H: V  M& P
2 ]2 Y1 t+ N0 h3 T1 L( O没事了，这里可以用latex看呵呵

唐伯虎

感觉有点问题呢...........

唐伯虎

很好很好和噶 呵呵呵和

唐伯虎

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