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由圆周率\pi 而产生的联想 (尺规三等分任意角的逻辑原理)

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    发表于 2011-2-20 13:14 |只看该作者 |倒序浏览
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    尺规三等分任意角的逻辑原理
    - V6 u/ W; Z8 Q" x) w
    1 G0 I6 N2 S' L9 h3 s( l! D
    zan
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                       圆周率 的联想- K' a! S6 W) H7 @  x# I
                             尺规三等分任意角的逻辑原理! T3 m' _& V, Y" p, w7 ?
                            苏小光. a3 G$ X  p+ J/ L) o6 p; z/ w
                          2011年2月20日7 ?- @7 ]& m$ U4 N
         一)  问题的提出9 a0 e7 @/ }" L! Z* t' B
         古希腊人在三大几何难题中提到,尺规能否三等分任意角.有人用代数的方法证明 角可用尺规分成三等份,而 角则因为代数方程
    1 ]" P' Z' l/ v+ M3 A                   3 b& u: t8 m: ^$ h! A3 y2 b
    没有有理根,认为 角无法用尺规分成三等份,所以,三等分任意角是尺规作图不能解决的问题.也有人提出了质疑,却不能给出令人满意的逻辑证明.本人由圆周率 是圆周长与直径的比这一大家熟知的常识,经严格证明,得出尺规能三等分任意角.4 X7 P8 Z- H& c& f/ P% y
        二)  预备定理
    : G1 F! p* M& e9 M( w    定理1 设圆心角 ∠ABC=N,则半径R与弧长 存在! b7 I( P& N+ G1 `
                     $ C. N$ G6 S" e) M  ?
       定理2 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么,它们所对应的其余各组量分别相等.
    7 B% E* `8 n# R! n% p! Y+ Q   三) 问题的终结7 ^% _5 L' v; j" n$ O
       定理3 若. d, U/ E7 b( g1 U) c  a, s- y# O: s
                
    # e3 c* b! L6 b& p0 a则用直尺和圆规可得
      {# t  \) J* K. g# k            .          (1)        
    ( o) n, W7 I+ l. O8 G    证明  8 H9 d% Q' D( X0 G& i) d
    在∠AOB一边AO上,取4 W* s6 w" ~. Q. f! ^7 `: q
                
    / P: U& O2 u+ @! L* }! Z% Q* ~0 g以 为半径,O点为圆心作弧,交OA于点C,交OB于点D. ,. y9 U) H6 g3 P* j& l1 u* \2 C
    根据定理1,有/ X/ k& ^9 o6 q$ G/ `  U  H
                        (2)' o' j$ ^; A( z! x' y; y
    在AO上取点E,使3 c% E0 ^' G6 G- q
                (3)
    0 {$ f& I' e: a* y: O以点O为圆心,以 为半径作弧交OA于点E,交OB于点F,
    9 f! T7 L8 E% q/ y  }/ b2 x9 R根据定理1,(2)式,(3)式有
    1 u5 y  N: m9 k  W; ~: A3 \9 j             (4). D8 N( I% u$ A0 B- \0 K3 S- g( w3 M7 l
    所以,在弧 上,以点E为圆心,以CD长为半径作弧交 于点G,以点G为圆心,以CD长为半径作弧交 于点H,以点H为圆心,以CD长为半径作弧交 于点K,连结EG,GH,HK,因为
    " D5 j8 o/ ^& o2 R7 }7 h9 o        CD=EG=GH=HK," y, b  N2 }3 w
    根据(4)式知K
    / ~$ ~0 V# y3 ^0 r6 L6 e、F共点,所以. x6 \& G. a0 }, ?
            EG=GH=HF,         (5)" {2 T- ~1 G) q% M
    根据定理2,(5)式,有9 `, s- v  t5 ]' f2 f" O0 ^. ~
            ., j1 w# [; f3 `' ^, q" n- A4 H) X
    & q: N- r) H$ n6 b
           .       (6), p1 ~% T+ H" g/ H3 `' d
    由(6)式知(1)式正确.证毕.0 g& B. L. ^! j% b
        本文的理论基础是% `) q& y6 S+ Y7 _3 n/ ~
             
    - _$ O$ o! g) h. [, h若半径R扩大3倍,则圆周长相应扩大3倍.相信本文将是尺规三等分任意角的完美终结.( s1 Z! V; A+ r: }4 R
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                      圆周率\pi  的联想3 ?' C* w) t7 J; x  `% L
                             尺规三等分任意角的逻辑原理- E' k; m) S8 R! }/ \/ q: g
                            苏小光
    ! U2 c1 J+ F. X  l                      2011年2月20日
    ' C9 E/ h' A9 Z     一)  问题的提出
    8 }) h) F0 N0 G% B. f     古希腊人在三大几何难题中提到,尺规能否三等分任意角.有人用代数的方法证明 90度角可用尺规分成三等份,而60度 角则因为代数方程% ~# c7 h, F+ ?4 @& P) U- J
                      8x^3-6x-1=0
    ( b& A/ C2 \+ _% S没有有理根,认为60度 角无法用尺规分成三等份,所以,三等分任意角是尺规作图不能解决的问题.也有人提出了质疑,却不能给出令人满意的逻辑证明.本人由圆周率 \pi 是圆周长与直径的比这一大家熟知的常识,经严格证明,得出尺规能三等分任意角.
    . n, h  T' g8 G" n3 _' N/ L    二)  预备定理. [" p9 `" D1 a9 Y- o
        定理1 设圆心角 ∠ABC=N,则半径R与弧长 l 存在
    + U- w% `- I5 a% a4 `  G$ G' ~                 l=NR\pi /180 .
    / L) ?/ @" C! o8 r                 
    % {! _/ q6 b! D* W   定理2 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么,它们所对应的其余各组量分别相等.
    ! r4 ?+ q/ d# ]2 i: D" i2 R   三) 问题的终结& P+ y1 ]- Y/ q1 Q
       定理3 若 0<∠AOB<(或=)360度,
    # \( V; q) Q9 q3 @# Q: [            " {/ G, u$ }% _( a4 Y" d: m
    则用直尺和圆规可得
    7 T" w- m6 m* Z1 u- r       ∠AOG=1/3 ∠AOB    .          (1)        
    ' G  H. ]) q' |    证明  设∠AOB=N,则0<∠AOB<(或=)360度2 s6 l+ F8 I7 s6 i
    在∠AOB一边AO上,取OC=R_(1)0 y, [# L3 @% ~! n
                
    0 }; K; ~2 T, j+ _5 U$ \1 y以R_(1) 为半径,O点为圆心作弧,交OA于点C,交OB于点D.设CD的弧长为l_(1) ,
    - }# b5 b) ^; C  ?1 j! c: p' d  l+ C根据定理1,有
    % n6 Y% L* d% c5 n' g' B    l_(1)=(NR_(1)\pi )/180                (2)
    & r; [, T9 [1 Y' {在AO上取点E,使
    1 }, u3 x, f  x5 s5 q* ` OE=R_(2)=3OC=3R_(1)           (3)
    5 x$ @! ^+ X. G7 c2 [; i以点O为圆心,以R_(2) 为半径作弧交OA于点E,交OB于点F, 设EF的弧长为l_(2),
    3 v$ H9 k+ v& w0 ~& B! Q根据定理1,(2)式,(3)式有- z1 s; w3 k+ w) I3 h2 [
              l_(2)=(NR_( 2)\pi )/180=(N3R_(1) \pi )/180=3 l_(1)      (4)
    ( \( F  s1 U1 @! w2 U所以,在弧 l_(2)上,以点E为圆心,以CD长为半径作弧交 l_(2)于点G,以点G为圆心,以CD长为半径作弧交 l_(2)于点H,以点H为圆心,以CD长为半径作弧交 l_(2) 于点K,连结EG,GH,HK,因为
    " g% t, x* z$ E2 k8 i7 p        CD=EG=GH=HK,
    ( L+ ~. X- U& I根据(4)式知K、F共点,所以
    : S# W6 o' o; b; M. Q. s- b/ _+ ]        EG=GH=HF,         (5)8 X7 a) [# Z- g5 X4 }! r
    根据定理2,(5)式,有9 r9 {( n) Q: j- G0 w" E. v: D
            .∠EOG=∠GOH=∠HOF
    , a" n6 ]$ _3 o2 I  y# ?7 @
    5 v$ Y9 W% M- \0 }7 d7 m( P           ∠EOG=1/3 ∠EOF        (6)
    + Y6 }* ?! e  e1 M3 z由(6)式知(1)式正确.证毕.
    1 ^* V" d; C  D$ b- @) A    本文的理论基础是6 ~% ?! _9 u3 a
                \pi = l /2R5 v3 {, C, G" w  w% O! |
    若半径R扩大3倍,则圆周长 l 相应扩大3倍.相信本文将是尺规三等分任意角的完美终结.
    2 b0 `  h6 ?) }& x% \; n1 D
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