由圆周率\pi 而产生的联想 (尺规三等分任意角的逻辑原理)

数学1+1

尺规三等分任意角的逻辑原理
( Z% o# g4 i) D  Y' B
8 v# f# [$ C, i

数学1+1

数学1+1

                   圆周率 的联想
2 {0 R& K' \3 w3 u, d  c0 g  t                         尺规三等分任意角的逻辑原理
& @* o) r3 J4 G. L+ ?/ _                        苏小光
: u: N; N$ a( _8 e- l                      2011年2月20日
     一)  问题的提出
     古希腊人在三大几何难题中提到,尺规能否三等分任意角.有人用代数的方法证明 角可用尺规分成三等份,而 角则因为代数方程
8 X- X! v+ E7 I* g8 z# z) I7 D8 t                  
# Z1 g" ^) M* ?没有有理根,认为 角无法用尺规分成三等份,所以,三等分任意角是尺规作图不能解决的问题.也有人提出了质疑,却不能给出令人满意的逻辑证明.本人由圆周率 是圆周长与直径的比这一大家熟知的常识,经严格证明,得出尺规能三等分任意角.
1 m1 H& I$ l. t9 h. f9 p6 G    二)  预备定理
, u$ x! p& Z2 A/ }& ?( M2 W, V    定理1 设圆心角 ∠ABC=N,则半径R与弧长 存在
                 
& H/ d% V- {0 i   定理2 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么,它们所对应的其余各组量分别相等.
4 S6 ]0 @" a! `# \7 Q' ]- ~" N   三) 问题的终结
   定理3 若
            
则用直尺和圆规可得
            .          (1)        
    证明  
在∠AOB一边AO上,取
- v1 A1 K, f. b7 m7 [+ U            
以 为半径,O点为圆心作弧,交OA于点C,交OB于点D. ,
根据定理1,有
+ g' _4 P& P: ]5 x4 y* G- S( e                    (2)
在AO上取点E,使
& Y5 {* B' T$ G, p. u! M7 v. x            (3)
以点O为圆心,以 为半径作弧交OA于点E,交OB于点F,
2 K) Q" f! J6 }. r; n7 `根据定理1,(2)式,(3)式有
: ?2 W( h& u# A" x1 N) u             (4)
/ ~& c. K3 _. E4 l4 d所以,在弧 上,以点E为圆心,以CD长为半径作弧交 于点G,以点G为圆心,以CD长为半径作弧交 于点H,以点H为圆心,以CD长为半径作弧交 于点K,连结EG,GH,HK,因为
1 s: l% g& f0 H1 M        CD=EG=GH=HK,
根据(4)式知K
、F共点,所以
/ I/ |) _! O) [4 Z0 d5 V: g1 G        EG=GH=HF,         (5)
根据定理2,(5)式,有
0 g# I# a/ S6 t- x        .
& `: I) p! n6 p5 ]( k即
       .       (6)
由(6)式知(1)式正确.证毕.
) v& y& ^1 N8 b6 G" k, _" y6 l2 e    本文的理论基础是
& c# X; x) t$ h2 U  Y- r! F         
" a% h9 J5 H+ e6 y5 Z2 S/ M若半径R扩大3倍,则圆周长相应扩大3倍.相信本文将是尺规三等分任意角的完美终结.
6 ]1 u* C* \5 P* H

数学1+1

                  圆周率\pi  的联想
                         尺规三等分任意角的逻辑原理
  Y8 r& Z' G7 G                        苏小光
2 E# `+ ]6 Y, x, ], o) Q                      2011年2月20日
) d# l9 u; @& u. C; Q2 p     一)  问题的提出
9 ?+ A: P% ^- T9 `     古希腊人在三大几何难题中提到,尺规能否三等分任意角.有人用代数的方法证明 90度角可用尺规分成三等份,而60度 角则因为代数方程
, G2 {# g; G& f/ {                  8x^3-6x-1=0
没有有理根,认为60度 角无法用尺规分成三等份,所以,三等分任意角是尺规作图不能解决的问题.也有人提出了质疑,却不能给出令人满意的逻辑证明.本人由圆周率 \pi 是圆周长与直径的比这一大家熟知的常识,经严格证明,得出尺规能三等分任意角.
    二)  预备定理
7 x4 r4 m' q6 _) p" d) D/ S3 \! V' Z' C    定理1 设圆心角 ∠ABC=N,则半径R与弧长 l 存在
& m' l3 K" b7 x* }% ]5 a                 l=NR\pi /180 .
                 
   定理2 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么,它们所对应的其余各组量分别相等.
   三) 问题的终结
4 f2 s0 L( T- K# N   定理3 若 0<∠AOB<(或=)360度,
8 W% n2 v5 e7 `# U            
则用直尺和圆规可得
4 j% M" s( `1 {       ∠AOG=1/3 ∠AOB    .          (1)        
: h7 t" e3 i3 J! [/ F% Y    证明  设∠AOB=N,则0<∠AOB<(或=)360度
在∠AOB一边AO上,取OC=R_(1)
) e3 u/ I* v7 g# R( `* O  n            
! h: h8 k' k$ v$ D2 A+ o  k以R_(1) 为半径,O点为圆心作弧,交OA于点C,交OB于点D.设CD的弧长为l_(1) ,
根据定理1,有
/ b/ S" b" j3 t    l_(1)=(NR_(1)\pi )/180                (2)
2 F" u7 _1 p/ Z0 p. p, N/ j在AO上取点E,使
OE=R_(2)=3OC=3R_(1)           (3)
/ o% L5 W' E. G, _2 n以点O为圆心,以R_(2) 为半径作弧交OA于点E,交OB于点F, 设EF的弧长为l_(2),
根据定理1,(2)式,(3)式有
6 E$ Z/ m0 {0 z' h1 Q/ I) H& {4 U0 H          l_(2)=(NR_( 2)\pi )/180=(N3R_(1) \pi )/180=3 l_(1)      (4)
所以,在弧 l_(2)上,以点E为圆心,以CD长为半径作弧交 l_(2)于点G,以点G为圆心,以CD长为半径作弧交 l_(2)于点H,以点H为圆心,以CD长为半径作弧交 l_(2) 于点K,连结EG,GH,HK,因为
        CD=EG=GH=HK,
* u2 M$ k6 G! l0 K根据(4)式知K、F共点,所以
: t2 I0 X6 s" C5 e5 b6 P7 N  x        EG=GH=HF,         (5)
9 l" i- P% u7 b! u& J根据定理2,(5)式,有
7 [( V& N. A- }' M' \  ^        .∠EOG=∠GOH=∠HOF
即
           ∠EOG=1/3 ∠EOF        (6)
由(6)式知(1)式正确.证毕.
4 v6 D$ l( E) e6 E$ |1 [  F" l  u    本文的理论基础是
2 v. W$ z3 k; X, l            \pi = l /2R
$ Y1 @, m6 O7 E# I8 N. k& j# d若半径R扩大3倍,则圆周长 l 相应扩大3倍.相信本文将是尺规三等分任意角的完美终结.
' D; r  J* ~  L; R0 `

葉_浅浅

感觉有点问题呢...........

wujwu

楼主可以的话发PDF，这里看不到呢~

wujwu

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8 X% d; }+ _% u  r6 P
没事了，这里可以用latex看呵呵

唐伯虎

感觉有点问题呢...........

唐伯虎

很好很好和噶 呵呵呵和

唐伯虎

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