由圆周率\pi 而产生的联想 (尺规三等分任意角的逻辑原理)

数学1+1

尺规三等分任意角的逻辑原理

) `2 w7 m* r  q$ s* x, x

数学1+1

数学1+1

                   圆周率 的联想
                         尺规三等分任意角的逻辑原理
                        苏小光
3 D/ _# s0 |/ i3 {( {* d                      2011年2月20日
     一)  问题的提出
     古希腊人在三大几何难题中提到,尺规能否三等分任意角.有人用代数的方法证明 角可用尺规分成三等份,而 角则因为代数方程
9 ^/ f5 q) O# C9 A( W                  
没有有理根,认为 角无法用尺规分成三等份,所以,三等分任意角是尺规作图不能解决的问题.也有人提出了质疑,却不能给出令人满意的逻辑证明.本人由圆周率 是圆周长与直径的比这一大家熟知的常识,经严格证明,得出尺规能三等分任意角.
    二)  预备定理
9 k. w: Z; ?8 B    定理1 设圆心角 ∠ABC=N,则半径R与弧长 存在
                 
$ ~( d3 Z* P* X' b   定理2 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么,它们所对应的其余各组量分别相等.
   三) 问题的终结
, C; J$ m" ~: Z3 |   定理3 若
4 r$ K- @  X8 J% a1 C7 N            
则用直尺和圆规可得
  e7 ~5 `1 J( B" r7 n            .          (1)        
9 _! A% ~' W' G! u+ z    证明  
在∠AOB一边AO上,取
9 k: X% Y" G# m  A% T            
5 ?* Q2 n' l( G2 z  \3 x以 为半径,O点为圆心作弧,交OA于点C,交OB于点D. ,
, [# d  N( h' r  ~" ]" Q根据定理1,有
                    (2)
在AO上取点E,使
& P* P( X$ a% @+ E5 q  z4 j            (3)
9 Q0 a9 P: b5 |& s1 r: `$ J以点O为圆心,以 为半径作弧交OA于点E,交OB于点F,
& B( [+ N2 J3 S. X) z: _) I根据定理1,(2)式,(3)式有
. D2 H6 ~3 e" V' P4 s             (4)
- @0 J) p- d3 S( R( T3 A所以,在弧 上,以点E为圆心,以CD长为半径作弧交 于点G,以点G为圆心,以CD长为半径作弧交 于点H,以点H为圆心,以CD长为半径作弧交 于点K,连结EG,GH,HK,因为
* B( @, o4 _1 h1 t( c        CD=EG=GH=HK,
+ {3 ]' t7 o; D' h根据(4)式知K
、F共点,所以
        EG=GH=HF,         (5)
根据定理2,(5)式,有
0 _+ y$ I: E7 `6 G/ q9 J        .
即
. z; T4 p6 M0 \5 a       .       (6)
+ q3 [# F$ u7 z/ O6 h. ~由(6)式知(1)式正确.证毕.
/ ?: }% o  l% E* F+ |    本文的理论基础是
1 D# |0 a9 h0 a6 i( D! p% L3 x         
若半径R扩大3倍,则圆周长相应扩大3倍.相信本文将是尺规三等分任意角的完美终结.
8 x8 `6 q0 g- L* C; N7 i% }

数学1+1

                  圆周率\pi  的联想
" _3 A+ B- C. a% q6 }                         尺规三等分任意角的逻辑原理
                        苏小光
                      2011年2月20日
! s: N% w1 t& }# C; j9 Y5 l     一)  问题的提出
3 r; w( r" }3 F4 J& O     古希腊人在三大几何难题中提到,尺规能否三等分任意角.有人用代数的方法证明 90度角可用尺规分成三等份,而60度 角则因为代数方程
& y& {& p, |) }% k9 n: E                  8x^3-6x-1=0
7 o1 b; e. X' E& ~- e5 ]: d" w$ g没有有理根,认为60度 角无法用尺规分成三等份,所以,三等分任意角是尺规作图不能解决的问题.也有人提出了质疑,却不能给出令人满意的逻辑证明.本人由圆周率 \pi 是圆周长与直径的比这一大家熟知的常识,经严格证明,得出尺规能三等分任意角.
9 Q! Q2 h* p! R5 f    二)  预备定理
; ]& E! t' ]5 r( C0 N- \1 u    定理1 设圆心角 ∠ABC=N,则半径R与弧长 l 存在
  G4 @' w, r4 Z3 \* U! D; _/ X; [3 d                 l=NR\pi /180 .
                 
" k8 M3 E' Q2 h% z8 g   定理2 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么,它们所对应的其余各组量分别相等.
4 a( b, O* D" h  B3 q% c   三) 问题的终结
4 V; k5 D/ T1 u  ?" r8 U! T   定理3 若 0<∠AOB<(或=)360度,
0 Q; ^& k( L5 w/ Y6 @            
则用直尺和圆规可得
0 t5 M) m! [6 i) X/ c4 v, g       ∠AOG=1/3 ∠AOB    .          (1)        
# W4 s" Q5 e% j  b+ G# c! E3 o+ @    证明  设∠AOB=N,则0<∠AOB<(或=)360度
# ?1 ~  }6 J1 R' n0 i+ q/ S6 |4 e在∠AOB一边AO上,取OC=R_(1)
( @; W0 ^: I  \& c            
% z5 F& o+ }# {- s$ f6 Y" i' I以R_(1) 为半径,O点为圆心作弧,交OA于点C,交OB于点D.设CD的弧长为l_(1) ,
根据定理1,有
    l_(1)=(NR_(1)\pi )/180                (2)
在AO上取点E,使
OE=R_(2)=3OC=3R_(1)           (3)
以点O为圆心,以R_(2) 为半径作弧交OA于点E,交OB于点F, 设EF的弧长为l_(2),
根据定理1,(2)式,(3)式有
          l_(2)=(NR_( 2)\pi )/180=(N3R_(1) \pi )/180=3 l_(1)      (4)
, S* {9 L- z% a所以,在弧 l_(2)上,以点E为圆心,以CD长为半径作弧交 l_(2)于点G,以点G为圆心,以CD长为半径作弧交 l_(2)于点H,以点H为圆心,以CD长为半径作弧交 l_(2) 于点K,连结EG,GH,HK,因为
        CD=EG=GH=HK,
根据(4)式知K、F共点,所以
        EG=GH=HF,         (5)
: a' x* B  R7 O6 Y5 q5 y根据定理2,(5)式,有
5 n1 ?' D2 r' X2 S        .∠EOG=∠GOH=∠HOF
即
9 N  @. ]8 B1 U* n+ B. J           ∠EOG=1/3 ∠EOF        (6)
( H, ^8 V4 g+ Z1 [3 \" e) b由(6)式知(1)式正确.证毕.
    本文的理论基础是
: ?9 p* g: x* C5 s# W) R& E% ?            \pi = l /2R
若半径R扩大3倍,则圆周长 l 相应扩大3倍.相信本文将是尺规三等分任意角的完美终结.
. z2 P. Z* k) k2 ]& R  \9 o3 r' f

葉_浅浅

感觉有点问题呢...........

wujwu

楼主可以的话发PDF，这里看不到呢~

wujwu

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: u, d- a9 Y- b# [! L. `
没事了，这里可以用latex看呵呵

唐伯虎

感觉有点问题呢...........
8 b* e6 J. Q% }$ p; Y: g

唐伯虎

很好很好和噶 呵呵呵和

唐伯虎

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