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由圆周率\pi 而产生的联想 (尺规三等分任意角的逻辑原理)

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    发表于 2011-2-20 13:14 |只看该作者 |倒序浏览
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    尺规三等分任意角的逻辑原理" N9 G0 u, a: G' }# A+ J' u
    : J1 H' A9 V& g) u
    zan
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                       圆周率 的联想
    % k9 E& l% i  z% \6 y- e" `                         尺规三等分任意角的逻辑原理
    4 ]$ g& z( H9 |( X7 K' c+ f# g                        苏小光
    ' J; m2 m0 d5 x7 j. ?# }7 g! _# A( y                      2011年2月20日
    3 Y' ?0 s1 o/ i0 M, h/ {8 k+ H     一)  问题的提出
    . c4 b, t7 {# Q  \, x6 Z  ^     古希腊人在三大几何难题中提到,尺规能否三等分任意角.有人用代数的方法证明 角可用尺规分成三等份,而 角则因为代数方程  u7 S0 ?: L0 M5 S- h- c
                       + b- a& K; g) r7 c! H3 O
    没有有理根,认为 角无法用尺规分成三等份,所以,三等分任意角是尺规作图不能解决的问题.也有人提出了质疑,却不能给出令人满意的逻辑证明.本人由圆周率 是圆周长与直径的比这一大家熟知的常识,经严格证明,得出尺规能三等分任意角.
    / e  D* ?3 s% A: O% n- q! s    二)  预备定理
    2 j2 H$ k+ V# Z1 J5 o    定理1 设圆心角 ∠ABC=N,则半径R与弧长 存在
    ; d- X3 Z! z. _                 
    ( y) J2 j" J* K/ h7 S( @   定理2 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么,它们所对应的其余各组量分别相等.8 P$ }' |6 a" z$ Y
       三) 问题的终结
    4 F% }0 s0 E" w1 G8 m( M2 j  h# G   定理3 若! y+ O* [  k  C5 ?4 p5 C' w
                
    1 G5 E# r" l: @* G" Z) U8 a; J0 m则用直尺和圆规可得
    % v( ^/ _0 x! H8 f" [5 ]            .          (1)        
    7 N! ~! O: M: y! A; ~/ k1 L7 v7 n4 C    证明  
    7 k0 f' z" @, L+ x$ Z5 M( }" ^在∠AOB一边AO上,取) s' q3 A( @$ O% p' K1 G) X6 a) D
                
    ' O# G- C- k2 i0 E0 t* a以 为半径,O点为圆心作弧,交OA于点C,交OB于点D. ,3 s% x1 A( s1 {0 K' `, F& z
    根据定理1,有: G8 `6 Y6 G8 |( r' K" h
                        (2)0 r8 D1 E! \# I2 j
    在AO上取点E,使
    2 L! J# Q( t$ `' U0 i4 Z! _            (3)
    0 X/ u& C: L+ a以点O为圆心,以 为半径作弧交OA于点E,交OB于点F, 7 D) u2 V8 ]6 s, a; d
    根据定理1,(2)式,(3)式有
    & b! `" J8 {5 c$ n: S/ t4 m             (4)/ ?* G" F, j  Z( N/ a
    所以,在弧 上,以点E为圆心,以CD长为半径作弧交 于点G,以点G为圆心,以CD长为半径作弧交 于点H,以点H为圆心,以CD长为半径作弧交 于点K,连结EG,GH,HK,因为( d* x) G. H  N. P6 I: }+ c) J
            CD=EG=GH=HK,
    4 \" J. x& i% N6 Z4 R/ A4 Y根据(4)式知K/ N2 t! g! @7 a
    、F共点,所以% ?2 U  i( W" ^; G; P
            EG=GH=HF,         (5)0 C! [+ _0 |7 j. B7 J% }# O
    根据定理2,(5)式,有3 H) W. U4 H( L1 N
            .
    . S5 `8 M8 o) |! @* j
    # |2 }8 }) s* x* d7 r) o       .       (6)
    / X: C( p  Y, p7 w# L由(6)式知(1)式正确.证毕.6 ~" D3 v# b! [& S$ S5 j
        本文的理论基础是2 e( i4 d" N* L* y" Z+ N( _
             
    4 P9 I6 ?: n$ x; Q  t" J  x若半径R扩大3倍,则圆周长相应扩大3倍.相信本文将是尺规三等分任意角的完美终结.  k) r; {& Y4 O# m% _3 `" I9 o
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                      圆周率\pi  的联想
    + c2 `1 [2 W' K/ l3 }                         尺规三等分任意角的逻辑原理
    ! z6 r; b" Y+ v# i" H2 e* Y                        苏小光
      h' ?9 F& F2 N  [                      2011年2月20日
    ; @! S1 E' _1 Z* v- [/ r     一)  问题的提出
    7 G1 n/ _' P# _     古希腊人在三大几何难题中提到,尺规能否三等分任意角.有人用代数的方法证明 90度角可用尺规分成三等份,而60度 角则因为代数方程2 P" U* Y! t$ R4 \
                      8x^3-6x-1=0 ( \0 U9 ^: [) U  v: i1 t
    没有有理根,认为60度 角无法用尺规分成三等份,所以,三等分任意角是尺规作图不能解决的问题.也有人提出了质疑,却不能给出令人满意的逻辑证明.本人由圆周率 \pi 是圆周长与直径的比这一大家熟知的常识,经严格证明,得出尺规能三等分任意角.
      O* J9 E! V% @; n- e( z% h    二)  预备定理
    8 ^9 Y& q9 c9 l& P+ O7 f7 P% W    定理1 设圆心角 ∠ABC=N,则半径R与弧长 l 存在' u; h3 l+ g$ X1 v
                     l=NR\pi /180 ., O2 g* B$ P. G, E. m& g
                     
    ( J# M* J* c2 Z# N  d. J$ Z   定理2 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么,它们所对应的其余各组量分别相等.
    " L) i8 t1 H) z$ }* i+ v   三) 问题的终结
    3 A6 A- c% z: h   定理3 若 0<∠AOB<(或=)360度,, W8 }0 Q0 ^5 I2 K, X7 K) r
                
    $ h% x1 k4 y. ^& W5 E) j( u则用直尺和圆规可得+ t: @& ?: f* [8 T
           ∠AOG=1/3 ∠AOB    .          (1)        
    : q" ^. J* y. n0 {6 X: ~    证明  设∠AOB=N,则0<∠AOB<(或=)360度9 a0 b9 @: G1 A" w9 X
    在∠AOB一边AO上,取OC=R_(1)6 @1 S7 |6 Q3 B7 Y! ?
                
    7 w1 K0 j" T) Z7 X2 h* ^, E" i: w以R_(1) 为半径,O点为圆心作弧,交OA于点C,交OB于点D.设CD的弧长为l_(1) ,8 d5 `. ]' o6 G$ w" p! J7 G  O" K" y
    根据定理1,有5 d6 g' o! \5 U& J+ L2 P
        l_(1)=(NR_(1)\pi )/180                (2)3 Z& v8 }- M% m; i* p
    在AO上取点E,使
    : l/ k9 V. e2 n% u" \ OE=R_(2)=3OC=3R_(1)           (3)/ G9 p* A4 Z/ z( @4 h
    以点O为圆心,以R_(2) 为半径作弧交OA于点E,交OB于点F, 设EF的弧长为l_(2),/ ?1 L1 \& h: C2 N1 e3 r5 V% z
    根据定理1,(2)式,(3)式有
    + h; V# J+ g! t$ O/ h! m          l_(2)=(NR_( 2)\pi )/180=(N3R_(1) \pi )/180=3 l_(1)      (4)
    + x7 F* x# w8 q& \所以,在弧 l_(2)上,以点E为圆心,以CD长为半径作弧交 l_(2)于点G,以点G为圆心,以CD长为半径作弧交 l_(2)于点H,以点H为圆心,以CD长为半径作弧交 l_(2) 于点K,连结EG,GH,HK,因为
    % J7 j/ t1 B* R7 ^        CD=EG=GH=HK,3 r& e3 `5 d$ w
    根据(4)式知K、F共点,所以# \+ A# j7 t- T0 _" v8 k6 o
            EG=GH=HF,         (5)
    ) R0 M2 Z3 D& z, j% \; F8 o+ ^" G  Q根据定理2,(5)式,有! B0 \1 ^- N- {
            .∠EOG=∠GOH=∠HOF  w  Q0 Z, v6 l+ r
      q8 m% @: b# |1 K0 P, Q" A/ E7 c
               ∠EOG=1/3 ∠EOF        (6)6 {/ z; I, P) L- p5 A' B- v
    由(6)式知(1)式正确.证毕.& H, J+ j7 ]9 X
        本文的理论基础是+ G! [6 o+ G% s. s
                \pi = l /2R
    / G+ {% c5 P& e- b2 @* K若半径R扩大3倍,则圆周长 l 相应扩大3倍.相信本文将是尺规三等分任意角的完美终结.
    3 \& s$ b( P- L/ W* g
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