典型同态映射的实例
三．典型同态映射的实例
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例11.21 (1) G1=<Z,+>是整数加群,G2=<Zn,>是模n的整数加群。令
???????????：Z→Zn,(x)=(x)mod n
则是G1到G2的同态。因为x,y∈Z有
????(x+y)=(x+y)mod n =(x)mod n(y)mod n =(x)(y)
??(2) 设G1=<R,+>是实数加群,G2=<R*,·>是非零实数关于普通乘法构成的群。令
???????????：R→R*,(x)= ex
则是G1到G2的同态,因为x,y∈R有
????(x+y)= ex+y = ex·ey = (x)·(y)
?(3) 设G1,G2是群,e2是G2的单位元。令
?????????：G1→G2,(a) = e2,a∈G1
则是G1到G2的同态,称为零同态。因为a,b∈G1有
?????????(ab)= e2 = e2e2 = (a)(b)
??例11.21 (1)中的同态是满同态,这是也可以说模n整数加群是整数加群的同态像。（2）中的同态是单同态。由于ran=R+,同态像是<R+,·>。这两个同态都不是同构。
例11.22 设G=<Zn,>是模n整数加群,可以证明恰含有n个G的自同态,即
???????：Zn→Zn, (x)=(px)mod n,p=0,1,…,n-1
例11.23 设G为群,a∈G。令
????????：G→G, (x)=axa-1,x∈G
则是G的自同构,称为G的内自同构。
? 证 x,y∈G有
??????(xy)=a(xy)a-1=(axa-1)(aya-1)=(x)(y)
所以是G的自同态。
任取y∈G,则a-1ya∈G,且满足
??????????(a-1ya)=a(a-1ya)a-1=y
所以是满射的。?
假若(x)=(y),即axa-1=aya-1,由G中的消去律必有x=y。从而证明了是单射的。
综合上述,是G的自同构。
??如果G是阿贝尔群。对于上面的内自同构必有
??????????(x)=axa-1=aa-1x=x
这说明阿贝尔群的内自同构只有一个,就是恒等映射。
??考虑模3整数加群<Z3,>,根据例11.22,Z3有3个自同态,即p=(px)mod3,p=0,1,2.
???????p=0, 0={<0,0>, <1,0>, <2,0>}
???????p=1, 1={<0,0>, <1,1>, <2,2>}
???????p=2, 2={<0,0>, <1,2>, <2,1>}
在这三个自同态中,1和2 是 Z3的自同构,其中1是内自同构。0是零同态。
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例11.25 设G={e,a,b,c}是Klein四元群。试给出G的所有自同构。
? 解 设是G的自同构,则(e)=e,且是双射。因此满足这些条件的映射只有以下六个：
??????1：e e, a a, b b, c c
??????2：e e, a a, b c, c b
??????3：e e, a b, b c, c a
??????4：e e, a b, b a, c c
??????5：e e, a c, b b, c a
??????6：e e, a c, b a, c b
根据同态定义,不难验证x,y∈G都有
??? ?i(xy)=i(x)i(y),i=1,2,…,6
成立。所以上述的1,2,…,6是G上的全体自同构。
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