典型同态映射的实例

lilianjie

/ L9 t( ?) E- g* `
三．典型同态映射的实例
9 C  {" j% ?( }

3 m2 ~% J& O9 ^$ u( v. M' j
--------------------------------------------------------------------------------

例11.21 (1) G1=<Z,+>是整数加群,G2=<Zn,>是模n的整数加群。令
% H+ h/ z6 Z0 f6 {7 I9 r  z+ _???????????：Z→Zn,(x)=(x)mod n
; ?: T; j' o9 _7 w; h则是G1到G2的同态。因为x,y∈Z有
9 J2 a! V! {1 T& ~$ @6 @????(x+y)=(x+y)mod n =(x)mod n(y)mod n =(x)(y)
??(2) 设G1=<R,+>是实数加群,G2=<R*,·>是非零实数关于普通乘法构成的群。令
???????????：R→R*,(x)= ex
5 L7 K  m/ B4 ]2 F则是G1到G2的同态,因为x,y∈R有
      ????(x+y)= ex+y = ex·ey = (x)·(y)

?(3) 设G1,G2是群,e2是G2的单位元。令
2 I- X) ]9 O5 u) I?????????：G1→G2,(a) = e2,a∈G1
则是G1到G2的同态,称为零同态。因为a,b∈G1有
/ W- z6 y; f) a/ N; u) C, T: v, O8 S?????????(ab)= e2 = e2e2 = (a)(b)
) [4 N; {% Z2 k8 g$ |5 U1 [9 M
$ W1 B8 ^5 a+ l8 b! m/ f??例11.21 (1)中的同态是满同态,这是也可以说模n整数加群是整数加群的同态像。（2）中的同态是单同态。由于ran=R+,同态像是<R+,·>。这两个同态都不是同构。
5 l0 o6 n6 d5 Q% ^7 g4 o8 M
例11.22 设G=<Zn,>是模n整数加群,可以证明恰含有n个G的自同态,即
???????：Zn→Zn,  (x)=(px)mod n,p=0,1,…,n-1
; d4 H  Z' n- l; q
0 U- C  N3 I/ T) I# T/ j" X

* g% U( A  J5 R, @ 例11.23 设G为群,a∈G。令
7 R- z" b+ w& y( I/ |; V????????：G→G, (x)=axa-1,x∈G
4 u2 \& d4 ~$ \3 ^" [则是G的自同构,称为G的内自同构。

/ x! e, d$ A+ z9 G$ M& b7 w3 n( ]2 l? 证 x,y∈G有
??????(xy)=a(xy)a-1=(axa-1)(aya-1)=(x)(y)
0 |4 ?, p3 q2 ]9 I
. J0 U) Z' \6 G/ ~0 |% q所以是G的自同态。

, j/ f2 Y4 ^4 ]' Y5 I   任取y∈G,则a-1ya∈G,且满足
??????????(a-1ya)=a(a-1ya)a-1=y
& n. N$ C- s- g7 @3 i  O所以是满射的。?
- H5 H2 c1 [' x& z. [! g
   假若(x)=(y),即axa-1=aya-1,由G中的消去律必有x=y。从而证明了是单射的。
% b* i0 ]( g* z2 s$ y
   综合上述,是G的自同构。

! v& t; I7 S- b+ i! u: J- V: [8 d??如果G是阿贝尔群。对于上面的内自同构必有
??????????(x)=axa-1=aa-1x=x
这说明阿贝尔群的内自同构只有一个,就是恒等映射。

??考虑模3整数加群<Z3,>,根据例11.22,Z3有3个自同态,即p=(px)mod3,p=0,1,2.
???????p=0,  0={<0,0>, <1,0>, <2,0>}
???????p=1,  1={<0,0>, <1,1>, <2,2>}
8 B& d$ ^+ c- P5 Q3 G; q7 G0 ]6 F???????p=2,  2={<0,0>, <1,2>, <2,1>}
在这三个自同态中,1和2 是 Z3的自同构,其中1是内自同构。0是零同态。
5 g  K$ R1 I  A. Z: {7 m* D9 [4 H
--------------------------
% A' E0 S* `$ G& I
) B' b' J9 ]3 T 例11.25 设G={e,a,b,c}是Klein四元群。试给出G的所有自同构。
( J$ p# [+ k' N
? 解 设是G的自同构,则(e)=e,且是双射。因此满足这些条件的映射只有以下六个：

2 r/ @3 p  I+ ~7 U5 z1 Y4 E??????1：e  e,  a  a,  b  b,  c  c
! d( i, C. q. J2 x+ f
, z- i0 E4 J' x" W8 z??????2：e  e,  a  a,  b  c,  c  b
* q& w0 F/ l! ~9 \% y
??????3：e  e,  a  b,  b  c,  c  a
  h+ ]3 R" l/ g1 ?" P
% {6 m7 l% b" E6 Q??????4：e  e,  a  b,  b  a,  c  c

9 @2 f4 i( d$ |7 ~. y2 G??????5：e  e,  a  c,  b  b,  c  a

??????6：e  e,  a  c,  b  a,  c  b

根据同态定义,不难验证x,y∈G都有

???    ?i(xy)=i(x)i(y),i=1,2,…,6
. w  J  x3 _4 k
成立。所以上述的1,2,…,6是G上的全体自同构。