典型同态映射的实例

lilianjie

4 |2 x$ I# a/ z  [三．典型同态映射的实例

! c  x4 ~% s" l" ]' u. n
0 W) ]" |- r( ~
- k' L* d8 r$ x--------------------------------------------------------------------------------

' w$ E# P/ S  V) D" S* G 例11.21 (1) G1=<Z,+>是整数加群,G2=<Zn,>是模n的整数加群。令
# w) _3 b% b6 m8 \% f???????????：Z→Zn,(x)=(x)mod n
' n* N% D6 \! x" `5 [- m, Y# @  Q则是G1到G2的同态。因为x,y∈Z有
% k" y9 }, Q) i2 j6 j" B% b/ Y2 a????(x+y)=(x+y)mod n =(x)mod n(y)mod n =(x)(y)
' N8 d5 U7 P9 S??(2) 设G1=<R,+>是实数加群,G2=<R*,·>是非零实数关于普通乘法构成的群。令
???????????：R→R*,(x)= ex
则是G1到G2的同态,因为x,y∈R有
: u/ x+ Z: L. W: l      ????(x+y)= ex+y = ex·ey = (x)·(y)
2 Q' d( r4 y+ S: Y" `9 H4 m
?(3) 设G1,G2是群,e2是G2的单位元。令
8 k6 J  j0 i9 w( r?????????：G1→G2,(a) = e2,a∈G1
8 z! h6 S2 l- y# J- S3 K: }则是G1到G2的同态,称为零同态。因为a,b∈G1有
# l$ R8 o& ], @: P3 ~" ^?????????(ab)= e2 = e2e2 = (a)(b)

/ V* n+ L: ~8 `% @??例11.21 (1)中的同态是满同态,这是也可以说模n整数加群是整数加群的同态像。（2）中的同态是单同态。由于ran=R+,同态像是<R+,·>。这两个同态都不是同构。
) Y5 U9 A8 o7 f0 h; M* K+ U& t; T
例11.22 设G=<Zn,>是模n整数加群,可以证明恰含有n个G的自同态,即
???????：Zn→Zn,  (x)=(px)mod n,p=0,1,…,n-1

, `" M" {/ `9 p  y+ t

例11.23 设G为群,a∈G。令
: J7 l9 P* }) X, V* ^????????：G→G, (x)=axa-1,x∈G
& F/ F/ h8 |( @# K则是G的自同构,称为G的内自同构。

? 证 x,y∈G有
& k, ^! r+ G2 j??????(xy)=a(xy)a-1=(axa-1)(aya-1)=(x)(y)
0 R* i* a9 v7 A. V( z* ]( @! N
所以是G的自同态。

: a3 c3 Q4 x. R9 P$ S   任取y∈G,则a-1ya∈G,且满足
??????????(a-1ya)=a(a-1ya)a-1=y
! {! [9 c" Y: X$ t所以是满射的。?

   假若(x)=(y),即axa-1=aya-1,由G中的消去律必有x=y。从而证明了是单射的。
' i3 E0 l, x9 k3 ?  M$ S& y
# H3 x$ X0 e5 G% F. D   综合上述,是G的自同构。
& k/ V' O  Y/ N
: [2 B7 b+ p6 g. H9 u: A5 c6 w??如果G是阿贝尔群。对于上面的内自同构必有
/ K7 T, b5 Y7 ?5 Z9 E# _7 H# k??????????(x)=axa-1=aa-1x=x
这说明阿贝尔群的内自同构只有一个,就是恒等映射。
: o7 N4 U  G) n
+ ]: ]! h: G7 y2 q??考虑模3整数加群<Z3,>,根据例11.22,Z3有3个自同态,即p=(px)mod3,p=0,1,2.
6 V5 K$ p# v. ]0 K???????p=0,  0={<0,0>, <1,0>, <2,0>}
???????p=1,  1={<0,0>, <1,1>, <2,2>}
???????p=2,  2={<0,0>, <1,2>, <2,1>}
% l2 f% b: s" B1 |" ]在这三个自同态中,1和2 是 Z3的自同构,其中1是内自同构。0是零同态。

' S* A/ b  l2 J( b0 |--------------------------

例11.25 设G={e,a,b,c}是Klein四元群。试给出G的所有自同构。

? 解 设是G的自同构,则(e)=e,且是双射。因此满足这些条件的映射只有以下六个：
# @/ `& U/ U. d* ?- Z  k9 t
# J+ l8 D2 T9 S: D) j1 M3 c??????1：e  e,  a  a,  b  b,  c  c
7 Y5 e6 {$ a6 \( O7 ~. k
??????2：e  e,  a  a,  b  c,  c  b

1 U$ R+ C. p- C; u/ f??????3：e  e,  a  b,  b  c,  c  a

  N/ [# M& I! k( v! I- j??????4：e  e,  a  b,  b  a,  c  c

??????5：e  e,  a  c,  b  b,  c  a
& ]6 B( p! G6 a  [% f7 l) |, [
, z; u" O2 c$ j8 W* l' K??????6：e  e,  a  c,  b  a,  c  b

+ D& A8 q. X( q( Q8 g' I根据同态定义,不难验证x,y∈G都有

???    ?i(xy)=i(x)i(y),i=1,2,…,6
( v: z& k- t. e" b* Y& p2 {( T2 \
成立。所以上述的1,2,…,6是G上的全体自同构。
1 a- L; ~% @/ }' L! H0 f( x& W