典型同态映射的实例

lilianjie

6 U' M* `7 j3 `$ T$ w三．典型同态映射的实例
; F# c2 t3 _. w1 R$ i
6 `) ~( I2 x3 }& q

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4 o  P/ p, u4 ?! E) W
1 s9 |" w8 z# G8 G# A/ e5 j 例11.21 (1) G1=<Z,+>是整数加群,G2=<Zn,>是模n的整数加群。令
$ \) K: ?5 T5 a- B+ ^) j4 {+ J1 N' [???????????：Z→Zn,(x)=(x)mod n
8 L7 R* S' j; Y* v; J, T则是G1到G2的同态。因为x,y∈Z有
! ~2 y$ |% f+ x1 t????(x+y)=(x+y)mod n =(x)mod n(y)mod n =(x)(y)
1 g& b6 Z# W% h2 F??(2) 设G1=<R,+>是实数加群,G2=<R*,·>是非零实数关于普通乘法构成的群。令
0 b$ K- p* s% l1 m???????????：R→R*,(x)= ex
则是G1到G2的同态,因为x,y∈R有
      ????(x+y)= ex+y = ex·ey = (x)·(y)
/ z3 {' Z, N' N& H
' B' t+ G  W$ y, Y6 V) t, c?(3) 设G1,G2是群,e2是G2的单位元。令
?????????：G1→G2,(a) = e2,a∈G1
则是G1到G2的同态,称为零同态。因为a,b∈G1有
?????????(ab)= e2 = e2e2 = (a)(b)

: V: ~, I/ E4 Y4 Y( t/ q??例11.21 (1)中的同态是满同态,这是也可以说模n整数加群是整数加群的同态像。（2）中的同态是单同态。由于ran=R+,同态像是<R+,·>。这两个同态都不是同构。

例11.22 设G=<Zn,>是模n整数加群,可以证明恰含有n个G的自同态,即
???????：Zn→Zn,  (x)=(px)mod n,p=0,1,…,n-1



例11.23 设G为群,a∈G。令
* }" C7 U1 Q' m: c; Y6 ?????????：G→G, (x)=axa-1,x∈G
( B6 f/ @# e& Z) z3 I3 U+ i则是G的自同构,称为G的内自同构。
7 l: p& \$ `; q: E5 o
? 证 x,y∈G有
# Z" c8 y) h# u8 v1 W  h??????(xy)=a(xy)a-1=(axa-1)(aya-1)=(x)(y)

所以是G的自同态。

   任取y∈G,则a-1ya∈G,且满足
# j4 \2 U' M1 f& u??????????(a-1ya)=a(a-1ya)a-1=y
( R+ I& z7 |) _& C. W: g所以是满射的。?

5 f& q- K4 r6 y7 o  x8 D. e6 D   假若(x)=(y),即axa-1=aya-1,由G中的消去律必有x=y。从而证明了是单射的。

% B& w7 E& m+ A1 `   综合上述,是G的自同构。

6 d: }8 p6 _6 u! c, B??如果G是阿贝尔群。对于上面的内自同构必有
  x" c6 |; l. R& Q( s??????????(x)=axa-1=aa-1x=x
8 ~+ e% H) T9 R! ?* n- T这说明阿贝尔群的内自同构只有一个,就是恒等映射。
. B0 a4 n0 n' ~$ T4 Z
& s5 ]) e; b  h3 D7 |??考虑模3整数加群<Z3,>,根据例11.22,Z3有3个自同态,即p=(px)mod3,p=0,1,2.
???????p=0,  0={<0,0>, <1,0>, <2,0>}
???????p=1,  1={<0,0>, <1,1>, <2,2>}
: O( W$ Y; c1 Q# |# }???????p=2,  2={<0,0>, <1,2>, <2,1>}
; S) t9 w6 T# x$ O1 O8 B在这三个自同态中,1和2 是 Z3的自同构,其中1是内自同构。0是零同态。
+ s9 }. m' S, S1 \
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! \3 r$ a1 g/ f' C 例11.25 设G={e,a,b,c}是Klein四元群。试给出G的所有自同构。
7 b. }& y3 }; J
? 解 设是G的自同构,则(e)=e,且是双射。因此满足这些条件的映射只有以下六个：

- {" \8 [+ X: g1 B??????1：e  e,  a  a,  b  b,  c  c

??????2：e  e,  a  a,  b  c,  c  b

1 I& t' Y4 ^) {- d??????3：e  e,  a  b,  b  c,  c  a
/ S/ `2 v0 P$ s) f0 H: F
??????4：e  e,  a  b,  b  a,  c  c

- r, Q2 v" |- B. R9 {??????5：e  e,  a  c,  b  b,  c  a

; Z5 r, g& r: P. E0 S& f??????6：e  e,  a  c,  b  a,  c  b
$ h/ t; |3 Z! ~: K: O, N
7 T+ v% X, \2 e  I1 g; t! S; g. B# z根据同态定义,不难验证x,y∈G都有

???    ?i(xy)=i(x)i(y),i=1,2,…,6
5 L7 t3 T  Z+ T  W. e- w
0 E# X9 ?4 V: J# c" z成立。所以上述的1,2,…,6是G上的全体自同构。