典型同态映射的实例

lilianjie

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$ i* e) Q! T! `1 _7 {, g
/ v* F5 p. j& M2 d: @& `; Y1 y三．典型同态映射的实例
% c. o& T& I' p6 }5 E" B" K- Q1 Q


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, q/ G; r) j+ M4 j9 A% J4 A
% ^  F- m$ l' i+ J" F& c 例11.21 (1) G1=<Z,+>是整数加群,G2=<Zn,>是模n的整数加群。令
2 I5 ^) L9 n4 E0 o/ n???????????：Z→Zn,(x)=(x)mod n
) D9 s5 @- n. Y# \则是G1到G2的同态。因为x,y∈Z有
6 z1 ~& t- S1 U) x????(x+y)=(x+y)mod n =(x)mod n(y)mod n =(x)(y)
8 \  b3 S+ P1 k% c4 R& W+ K??(2) 设G1=<R,+>是实数加群,G2=<R*,·>是非零实数关于普通乘法构成的群。令
  t% e' X' y! ^- A: [* `( }/ ]+ C???????????：R→R*,(x)= ex
' J9 ^& o, a& Y: k则是G1到G2的同态,因为x,y∈R有
3 K0 F4 W: x+ D* o      ????(x+y)= ex+y = ex·ey = (x)·(y)

: D( A/ L$ B2 h4 _' p?(3) 设G1,G2是群,e2是G2的单位元。令
' V/ L" g5 h7 ^  |?????????：G1→G2,(a) = e2,a∈G1
则是G1到G2的同态,称为零同态。因为a,b∈G1有
?????????(ab)= e2 = e2e2 = (a)(b)
9 i; i! u5 I& H( |8 [' m
??例11.21 (1)中的同态是满同态,这是也可以说模n整数加群是整数加群的同态像。（2）中的同态是单同态。由于ran=R+,同态像是<R+,·>。这两个同态都不是同构。

6 B* h$ a6 |, F6 Z4 Y) A# r. @ 例11.22 设G=<Zn,>是模n整数加群,可以证明恰含有n个G的自同态,即
2 d5 H# n, ^# y! H% C" |! A???????：Zn→Zn,  (x)=(px)mod n,p=0,1,…,n-1


. f$ s2 Z/ ]2 O
例11.23 设G为群,a∈G。令
????????：G→G, (x)=axa-1,x∈G
则是G的自同构,称为G的内自同构。
* p1 e+ A1 p3 o
* X5 X& [! _2 d* {& I+ T) c1 R, s? 证 x,y∈G有
??????(xy)=a(xy)a-1=(axa-1)(aya-1)=(x)(y)

所以是G的自同态。
0 y, Z7 _: d3 d( W
   任取y∈G,则a-1ya∈G,且满足
??????????(a-1ya)=a(a-1ya)a-1=y
所以是满射的。?

   假若(x)=(y),即axa-1=aya-1,由G中的消去律必有x=y。从而证明了是单射的。

$ i) }: ~/ I. w- e  O   综合上述,是G的自同构。

??如果G是阿贝尔群。对于上面的内自同构必有
??????????(x)=axa-1=aa-1x=x
4 i* E! R! |! K/ R$ Y  Y这说明阿贝尔群的内自同构只有一个,就是恒等映射。

; R5 J7 e9 S4 i7 x* b??考虑模3整数加群<Z3,>,根据例11.22,Z3有3个自同态,即p=(px)mod3,p=0,1,2.
; [! C  q0 J; f8 ?1 ~???????p=0,  0={<0,0>, <1,0>, <2,0>}
# h! @  m* Q# B/ x???????p=1,  1={<0,0>, <1,1>, <2,2>}
3 g( _' d* N! i???????p=2,  2={<0,0>, <1,2>, <2,1>}
  `* T; I% k1 z$ _  @在这三个自同态中,1和2 是 Z3的自同构,其中1是内自同构。0是零同态。
2 Y- \+ j" ]# d+ e
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例11.25 设G={e,a,b,c}是Klein四元群。试给出G的所有自同构。

) c. ^; ?& Z& R0 n0 H* |4 z8 x? 解 设是G的自同构,则(e)=e,且是双射。因此满足这些条件的映射只有以下六个：

# n' b' j& ]  g8 {0 k??????1：e  e,  a  a,  b  b,  c  c

??????2：e  e,  a  a,  b  c,  c  b
. s. E- ~- }9 F7 G4 a1 j4 P
??????3：e  e,  a  b,  b  c,  c  a

: o# ^* d# O- X' X/ g??????4：e  e,  a  b,  b  a,  c  c
( ]6 y* i8 i; S, ]- P5 M) D! Z
% W( x; u* N1 u??????5：e  e,  a  c,  b  b,  c  a
: X3 |- ]3 L( B5 `+ N2 }, Y
+ l4 j5 g( g/ J* ]. t2 H??????6：e  e,  a  c,  b  a,  c  b

根据同态定义,不难验证x,y∈G都有

???    ?i(xy)=i(x)i(y),i=1,2,…,6

" L/ y/ `4 w$ z( m, j1 y9 _成立。所以上述的1,2,…,6是G上的全体自同构。