尺规三点分60°角的代数模型(pdf)
尺规三点分60°角的代数模型(pdf)苏小光
一 背景资料
尺规能否三等分任意角，是古希腊人提出来的一个几何难題。有人证明尺规不能三等分任意角，是因为
cos\alpha =4cos^{3}\frac{\alpha }{3}-3cos\frac{\alpha }{3}
当 \alpha =60°,cos\frac{\alpha }{3}=x时，
8x^{3}-6x-1=0,
这个方程没有有理根，认定尺规不能三等分60°角，从而推导出尺规不能三等分任意角。
要否证尺规不能三等分任意角，就必须证明尺规能三等分60°角。若尺规能作出
\gamma =20°,
则尺规能三等分60°角.
二 代数模型
tan\theta =\frac{sin\beta }\left ( \right {1-sin^{2}\beta })^{2}}
当sin\beta =\frac{1}{6} 时,
tan\theta = 0.1763265306
所以 \theta=10°, 显然 2\theta=\gamma, 所以尺规能三等分60°角。
三 代数模型的几何解释(或作图)
作线段BC=n,AC=6n,∠B=90°，得到Rt△ABC，令\beta =∠BAC, 则
sin\beta =\frac{BC}{AC}=\frac{n}{6n}=\frac{1}{6},
Rt△ABC绕AB边旋转一周得到的圆锥体，其底面圆周长
l=2n\pi,
圆锥体的侧面展开图为扇形，圆锥体的底面圆周长与扇形的弧长相等，扇形的半径R=AC,设扇形的圆心角为a,则
l=\frac{aR\pi }{180},
即
2n\pi =\frac{6na\pi }{180},
所以，a =60°.
在Rt△ABC中，
cos\beta =\sqrt{1-sin^{2}\beta },
所以
AB=6n\sqrt{1-sin^{2}\beta }.
以AB为斜边, ∠BAD=\beta,∠ADB=90°, 作Rt△ADB,则
AD=ABcos\beta= 6n\left ( 1-sin^{2}\beta \right ).
以AD为斜边, ∠DAE=\beta,,∠AED=90°, 作Rt△AED, 则
AE=AD cos\beta=6n\left ( 1-sin^{2}\beta \right ) \sqrt{1-sin^{2}\beta }
以AE为斜边, ∠EAF=\beta,∠AFE=90°, 作Rt△AFE, 则
AF=AE cos\beta=6n\left ( 1-sin^{2}\beta \right )^{2}
以AF=6n\left ( 1-sin^{2}\beta \right )^{2}, FG=n, ∠AFG=90°, 作Rt△AFG,
令∠FAG=\theta,则
tan\theta =\frac{n}{6n\left ( 1-sin^{2}\beta \right )^{2}}.
注: 初等几何研究，朱德祥编，高等教育出版社，1985年2月，177-179.
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