尺规三点分60°角的代数模型(pdf)

数学1+1

                                        尺规三点分60°角的代数模型(pdf)
% g+ x. U; ]+ d5 k                                                      苏小光
             一  背景资料
/ B0 |; p7 n! N- |+ d  尺规能否三等分任意角，是古希腊人提出来的一个几何难題。有人证明尺规不能三等分任意角，是因为
         cos\alpha =4cos^{3}\frac{\alpha }{3}-3cos\frac{\alpha }{3}
       当 \alpha =60°,cos\frac{\alpha }{3}=x时，
- H' f# H4 y  V4 O7 Q         8x^{3}-6x-1=0,
这个方程没有有理根，认定尺规不能三等分60°角，从而推导出尺规不能三等分任意角。[1]
要否证尺规不能三等分任意角，就必须证明尺规能三等分60°角。若尺规能作出
        \gamma =20°,
则尺规能三等分60°角.
二  代数模型
      tan\theta =\frac{sin\beta }\left (  \right {1-sin^{2}\beta })^{2}}
当sin\beta =\frac{1}{6} 时,
' N: B+ U" y, i( H5 w! W  tan\theta = 0.1763265306
所以  \theta=10°, 显然  2\theta=\gamma, 所以尺规能三等分60°角。
三 代数模型的几何解释(或作图)
作线段BC=n,AC=6n,∠B=90°，得到Rt△ABC，令\beta =∠BAC, 则
sin\beta =\frac{BC}{AC}=\frac{n}{6n}=\frac{1}{6},
' k. I. N* z) z9 A4 YRt△ABC绕AB边旋转一周得到的圆锥体，其底面圆周长
  l=2n\pi,
' s- ~$ w; J/ D+ W9 o2 ]! W) X  ?圆锥体的侧面展开图为扇形，圆锥体的底面圆周长与扇形的弧长相等，扇形的半径R=AC,设扇形的圆心角为a,则
l=\frac{aR\pi }{180},
即
    2n\pi =\frac{6na\pi }{180},
所以，a =60°.
% U8 M3 ?- e- c5 k+ M2 C在Rt△ABC中，
; v) Q* l$ |: Y, H3 c/ D" k- a& Bcos\beta =\sqrt{1-sin^{2}\beta },
* {- D4 F+ o$ p0 R2 t2 o* B; C所以
AB=6n\sqrt{1-sin^{2}\beta }.
3 S) |" @6 e- @! N以AB为斜边, ∠BAD=\beta,∠ADB=90°, 作Rt△ADB,则
AD=ABcos\beta= 6n\left ( 1-sin^{2}\beta  \right ).
以AD为斜边, ∠DAE=\beta,,∠AED=90°, 作Rt△AED, 则
  AE=AD cos\beta=6n\left ( 1-sin^{2}\beta  \right ) \sqrt{1-sin^{2}\beta }
以AE为斜边, ∠EAF=\beta,∠AFE=90°, 作Rt△AFE, 则
! F$ f3 m- J$ k7 K1 w( v* d0 mAF=AE cos\beta=6n\left ( 1-sin^{2}\beta  \right )^{2}
4 r& b2 y9 M4 F* t以AF=6n\left ( 1-sin^{2}\beta  \right )^{2}, FG=n, ∠AFG=90°, 作Rt△AFG,
+ i5 e1 L, c- [3 [/ X5 p令∠FAG=\theta,则
- X9 n3 T6 K& F2 ftan\theta =\frac{n}{6n\left ( 1-sin^{2}\beta  \right )^{2}}.
注[1]: 初等几何研究，朱德祥编，高等教育出版社，1985年2月，177-179.
8 }+ Q$ t3 F/ M5 _  N5 Y

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