尺规三点分60°角的代数模型(pdf)

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                                        尺规三点分60°角的代数模型(pdf)
                                                      苏小光
' [) k$ e5 v8 L* z1 x  n2 O2 K             一  背景资料
  尺规能否三等分任意角，是古希腊人提出来的一个几何难題。有人证明尺规不能三等分任意角，是因为
         cos\alpha =4cos^{3}\frac{\alpha }{3}-3cos\frac{\alpha }{3}
       当 \alpha =60°,cos\frac{\alpha }{3}=x时，
         8x^{3}-6x-1=0,
这个方程没有有理根，认定尺规不能三等分60°角，从而推导出尺规不能三等分任意角。[1]
- U, S+ G* a6 X4 J+ P要否证尺规不能三等分任意角，就必须证明尺规能三等分60°角。若尺规能作出
        \gamma =20°,
: {/ }  V; E( E& J+ M/ _- {5 a则尺规能三等分60°角.
# T% R# m' {. v: p7 b二  代数模型
      tan\theta =\frac{sin\beta }\left (  \right {1-sin^{2}\beta })^{2}}
- A0 q8 I  R$ G- U- c2 O当sin\beta =\frac{1}{6} 时,
5 p$ V8 x. Z; d7 d0 s" _0 R  tan\theta = 0.1763265306
所以  \theta=10°, 显然  2\theta=\gamma, 所以尺规能三等分60°角。
三 代数模型的几何解释(或作图)
7 I" h. w/ ^; _) e1 c1 [% n# X作线段BC=n,AC=6n,∠B=90°，得到Rt△ABC，令\beta =∠BAC, 则
% O) a6 ^0 [1 U+ K8 \5 ?8 ]sin\beta =\frac{BC}{AC}=\frac{n}{6n}=\frac{1}{6},
% L& B+ x/ ~% E; T! J( wRt△ABC绕AB边旋转一周得到的圆锥体，其底面圆周长
  l=2n\pi,
圆锥体的侧面展开图为扇形，圆锥体的底面圆周长与扇形的弧长相等，扇形的半径R=AC,设扇形的圆心角为a,则
* I9 L) }( ?- B' zl=\frac{aR\pi }{180},
即
    2n\pi =\frac{6na\pi }{180},
  S0 w$ o& [' ?0 o5 w所以，a =60°.
在Rt△ABC中，
/ y/ _) M1 J* F! ~' wcos\beta =\sqrt{1-sin^{2}\beta },
所以
! m+ K" r4 v1 u2 u( }0 ~AB=6n\sqrt{1-sin^{2}\beta }.
以AB为斜边, ∠BAD=\beta,∠ADB=90°, 作Rt△ADB,则
  i$ z8 w- ]$ W9 g; bAD=ABcos\beta= 6n\left ( 1-sin^{2}\beta  \right ).
; O7 h% G% r1 u/ ~7 c以AD为斜边, ∠DAE=\beta,,∠AED=90°, 作Rt△AED, 则
  AE=AD cos\beta=6n\left ( 1-sin^{2}\beta  \right ) \sqrt{1-sin^{2}\beta }
以AE为斜边, ∠EAF=\beta,∠AFE=90°, 作Rt△AFE, 则
/ Z, f" c1 ^% bAF=AE cos\beta=6n\left ( 1-sin^{2}\beta  \right )^{2}
以AF=6n\left ( 1-sin^{2}\beta  \right )^{2}, FG=n, ∠AFG=90°, 作Rt△AFG,
令∠FAG=\theta,则
+ T9 [7 l* O$ U. \8 Stan\theta =\frac{n}{6n\left ( 1-sin^{2}\beta  \right )^{2}}.
' ?- V, K8 |) J9 ?, r$ K, S/ A注[1]: 初等几何研究，朱德祥编，高等教育出版社，1985年2月，177-179.
0 Q) a  [  R' j: ^8 `) n; \

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