数学建模之图论
数学建模之图论概览
问题引入与分析
图论的基本概念
最短路问题及算法
最小生成树及算法
旅行售货员问题
模型建立与求解
1. 问题引入与分析
1） 98年全国大学生数学建模竞赛B题“最佳灾情巡视路线”中的前两个问题是这样的：
今年(1998年)夏天某县遭受水灾. 为考察灾情、组织自救，县领导决定，带领有关部门负责人到全县各乡（镇）、村巡视. 巡视路线指从县政府所在地出发，走遍各乡（镇）、村，又回到县政府所在地的路线.
a. 若分三组（路）巡视，试设计总路程最短且各组尽可能均衡的巡视路线。
b. 假定巡视人员在各乡（镇）停留时间T=2小时，在各村停留时间t=1小时，汽车行驶速度V =35公里/小时. 要在24小时内完成巡视，至少应分几组；给出这种分组下最佳的巡视路线.
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公路边的数字为该路段的公里。
2) 问题分析：
本题给出了某县的公路网络图，要求的是在不同的条件下，灾情巡视的最佳分组方案和路线.
将每个乡（镇）或村看作一个图的顶点，各乡镇、村之间的公路看作此图对应顶点间的边，各条公路的长度（或行驶时间）看作对应边上的权，所给公路网就转化为加权网络图，问题就转化图论中一类称之为旅行售货员问题，即在给定的加权网络图中寻找从给定点O出发，行遍所有顶点至少一次
再回到点O，使得总权（路程或时间）最小.
本题是旅行售货员问题的延伸－多旅行售货员问题.
本题所求的分组巡视的最佳路线，也就是m条经过同一点并覆盖所有其他顶点又使边权之和达到最小的闭链（闭迹）.
如第一问是三个旅行售货员问题，第二问是四个旅行售货员问题.
众所周知，旅行售货员问题属于NP完全问题，即求解没有多项式时间算法.
显然本问题更应属于NP完全问题. 有鉴于此，一定要针对问题的实际特点寻找简便方法，想找到解决此类问题的一般方法是不现实的，对于规模较大的问题可使用近似算法来求得近似最优解.
2. 图论的基本概念
图的概念
赋权图与子图
图的矩阵表示
图的顶点度
路和连通
1) 图的概念
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3. 最短路
Dijkstra算法
略
Floyd算法
算法的基本思想
直接在图的带权邻接矩阵中用插入顶点的方法依次构造出ν 个矩阵D(1)、D(2)、…、D(ν) D(1)、 D(2)、 … 、D(ν)D(1)、D(2)、…、D(ν)，使最后得到的矩阵 D(ν) D(ν )D(ν)成为图的距离矩阵，同时也求出插入点矩阵以便得到两点间的最短路径。
（I）求距离矩阵的方法.
（II）求路径矩阵的方法.
（III）查找最短路路径的方法.
Floyd有两个矩阵，一个是D矩阵（代表距离），一个是R矩阵（代表中介点）
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在这里相当于v1 v_1v
1
被打通了，此时v1 v_1v
1
就可以作为中介点连接。
于是遍历和v1 v_1v
1
连接的点，例如此时遍历到v2 v_2v
2
。
然后再以v2 v_2v
2
为基准，遍历和v1 v_1v
1
连接的点。
所有遍历到的点都尝试一下是否可以变化距离矩阵，如果可以变化，那么再他们的中介点矩阵上打入"1"的标记。
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这里的逻辑是这样的:
最小生成树
（略）
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