市场营销问题 （三）：机票的销售策略
某航空公司每天有三个航班服务于 A ,B ,C, H四个城市，其中城市H 是可供转机使用的。三个航班的出发地－目的地分别为 AH ,HB, HC ，可搭乘旅客的大数量分别为120人，100人，110人，机票的价格分头等舱和经济舱两类。经过市场调 查，公司销售部得到了每天旅客的相关信息，见表10。该公司应该在每条航线上分别分配多少头等舱和经济舱的机票？https://img-blog.csdnimg.cn/20190420101055229.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzI5ODMxMTYz,size_16,color_FFFFFF,t_70
（1）问题分析
公司的目标应该是使销售收入最大化，由于头等舱的机票价格大于对应的经济舱的 机票价格，很容易让人想到先满足所有头等舱的顾客需求：这样 AH 上的头等舱数量 =33+24+12=69，HB上的头等舱数量=24+44=68，HC 上的头等舱数量=12+16=28， 等等，但这种贪婪算法是否一定得到好的销售计划？
（2）模型建立
考虑5个起终点航线AH ,AB ,AC,HB ，HC依次编号为i（i=1,2,..,5），相应的头等舱需求记为 https://private.codecogs.com/gif.latex?%5Cdpi%7B150%7D%20%5Csmall%20a_%7Bi%7D ，价格记为 https://private.codecogs.com/gif.latex?%5Cdpi%7B150%7D%20%5Csmall%20p_%7Bi%7D；相应的经济舱需求记为 https://private.codecogs.com/gif.latex?%5Cdpi%7B150%7D%20%5Csmall%20b_%7Bi%7D ，价格记为https://private.codecogs.com/gif.latex?%5Cdpi%7B150%7D%20%5Csmall%20q_%7Bi%7D 。此外，三个航班AH ,HB, HC的顾客容量分别是 https://private.codecogs.com/gif.latex?%5Cdpi%7B150%7D%20%5Csmall%20c_%7B1%7D =120 ，https://private.codecogs.com/gif.latex?%5Cdpi%7B150%7D%20%5Csmall%20c_%7B2%7D =100 ， https://private.codecogs.com/gif.latex?%5Cdpi%7B150%7D%20%5Csmall%20c_%7B3%7D= 110 。这就是例中给出的全部数据。
设航线i（i =1,2,...,5 ）上销售的头等舱机票数为https://private.codecogs.com/gif.latex?%5Cdpi%7B150%7D%20%5Csmall%20x_%7Bi%7D ，销售的经济舱机票数为 https://private.codecogs.com/gif.latex?%5Cdpi%7B150%7D%20%5Csmall%20y_%7Bi%7D，这就是决策变量。 显然，目标函数应该是
https://img-blog.csdnimg.cn/20190420101150621.png （ 1 ）
约束条件有以下两类：
i）三个航班上的容量限制
例如，航班 AH 上的乘客应当是购买 AH ,AB ,AC 机票的所有旅客，所以
https://img-blog.csdnimg.cn/20190420101201434.png
（ 2 ）
同理，有
https://img-blog.csdnimg.cn/20190420101215195.png （ 3 ）
ii）每条航线上的需求限制
https://img-blog.csdnimg.cn/20190420101226778.png （ 4 ）
（3）模型求解
MODEL:
TITLE 机票销售计划;
SETS:
route /AH,AB,AC,HB,HC/:a,b,p,q,x,y;
ENDSETS
DATA:
a p b q=
33 190 56 90
24 244 43 193
12 261 67 199
44 140 69 80
16 186 17 103 ;
c1 c2 c3 = 120 100 110;
ENDDATA
Max = @SUM(route: p*x+q*y );
@SUM(route(i)|i#ne#4#and#i#ne#5:x(i)+y(i)) < c1;
@SUM(route(i)|i#eq#2#or#i#eq#4:x(i)+y(i)) < c2;
@SUM(route(i)|i#eq#3#or#i#eq#5:x(i)+y(i)) < c3;
@FOR(route: @bnd(0,x,a);@bnd(0,y,b) );
END
计算结果为，航线AH ,AB ,AC,HB,HC 上分别销售33，10，12，44，16张头等舱机票，分别销售0，0，65，46，17张经济舱机票，总销售收入为39344元。从三 个约束的松弛/剩余（slack or surplus）均为0可知，机上已经全部满员。
（4）结果讨论
按道理，机票张数还应该有整数约束。这里直接按连续线性规划解，得到的解已经 都是整数，所以也就没有必要再加上整数约束了。 后我们指出：最优解中 AB 线路上头等舱的需求（24人）并没有全部得到满足， 所以本节开始时介绍的贪婪算法的思想是不能保证求到最优解的。事实上，读者不难求出贪婪算法得到的解对应的总销售额是38854元，小于这里的优值39344元。
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