面试顺序问题：用数学建模优化生产与服务运作中的管理问题
例题： 有 4 名同学到一家公司参加三个阶段的面试：公司要求每个同学都必须首先 找公司秘书初试，然后到部门主管处复试，最后到经理处参加面试，并且不允许插队（即 在任何一个阶段 4 名同学的顺序是一样的）。由于 4 名同学的专业背景不同，所以每人 在三个阶段的面试时间也不同，如表 5 所示。这 4 名同学约定他们全部面试完以后一起离开公司。假定现在时间是早晨 8:00，请问他们最早何时能离开公司？https://img-blog.csdnimg.cn/20190418205144315.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzI5ODMxMTYz,size_16,color_FFFFFF,t_70
1 建立模型
实际上，这个问题就是要安排 4 名同学的面试顺序，使完成全部面试所花费的时 间最少。
记https://private.codecogs.com/gif.latex?t_%7Bij%7D 为第i名同学参加第 j 阶段面试需要的时间（已知），令 https://private.codecogs.com/gif.latex?x_%7Bij%7D表示第i名同学参加第 j 阶段面试的开始时间（不妨记早上 8:00 面试开始为 0 时刻） （i=1,2,3,4 ; j =1,2,3），T 为完成全部面试所花费的最少时间。
优化目标为 https://private.codecogs.com/gif.latex?min%20T%3D%5Cleft%20%5C%7B%20%5Ctextup%7Bmax%7D_%7Bi%7D%20%5Cleft%20%28%20x_%7Bi3%7D%20+t_%7Bi3%7D%20%5Cright%20%29%20%5Cright%20%5C%7D （1）
约束条件：
1）时间先后次序约束（每人只有参加完前一个阶段的面试后才能进入下一个阶段）： https://img-blog.csdnimg.cn/2019041820571898.png （2）
2 ）每个阶段 j 同一时间只能面试 1 名同学：用 0− 1 变量 表示第k 名同学是否 排在第i名同学前面（1 表示“是”，0 表示“否”），则
https://img-blog.csdnimg.cn/20190418205853488.png （3）
可以将上述非线性的优化目标（1） 改写为如下线性优化目标：
https://private.codecogs.com/gif.latex?%5Ctextup%7Bmin%7D%20%5C%3A%20%5C%3A%20T%5C%5C%20%5C%3A%20%5C%3A%20%5C%3A%5Ctextup%7B%20s.t.%7D%5C%3A%20%5C%3A%20T%5Cgeq%20x_%7Bi3%7D%20+t_%7Bi3%7D%2C%5C%3A%20i%3D1%2C2%2C3%2C4 （4）
式（2）～（4）就是这个问题的 0−1 非线性规划模型（当然所有变量还有非负约束，变量 https://private.codecogs.com/gif.latex?y_%7Bik%7D还有 0− 1约束）。
2 求解模型
编写 LINGO 程序如下：
model:
Title 面试问题;
SETS: Person/1..4/;
Stage/1..3/;
PXS(Person,Stage): T, X;
PXP(Person,Person)|&1 #LT# &2: Y;
ENDSETS
DATA:
T=13, 15, 20, 10 , 20 , 18, 20, 16, 10, 8, 10, 15;
ENDDATA
min=MAXT;
MAXT>= @max(PXS(i,j)|j#EQ#@size(stage):x(i,j)+t(i,j));
! 只有参加完前一个阶段的面试后才能进入下一个阶段;
@for(PXS(i,j)|j#LT#@size(stage):x(i,j)+t(i,j)<x(i,j+1));
! 同一时间只能面试1名同学;
@for(Stage(j):
@for(PXP(i,k):x(i,j)+t(i,j)-x(k,j)<MAXT*Y(i,k));
@for(PXP(i,k):x(k,j)+t(k,j)-x(i,j)<MAXT*(1-Y(i,k))));
@for(PXP: @bin(y));
end
计算结果为，所有面试完成至少需要 84min，面试顺序为 4－1－2－3（丁－甲－ 乙－丙）。早上 8:00 面试开始，最早 9:24 面试可以全部结束。
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