面试顺序问题：用数学建模优化生产与服务运作中的管理问题

浅夏110

例题： 有 4 名同学到一家公司参加三个阶段的面试：公司要求每个同学都必须首先 找公司秘书初试，然后到部门主管处复试，最后到经理处参加面试，并且不允许插队（即 在任何一个阶段 4 名同学的顺序是一样的）。由于 4 名同学的专业背景不同，所以每人 在三个阶段的面试时间也不同，如表 5 所示。这 4 名同学约定他们全部面试完以后一起离开公司。假定现在时间是早晨 8:00，请问他们最早何时能离开公司？


/ L( c5 `- K" }6 m$ P' A+ q
1 建立模型
. d; G# D' v8 P$ L- b. Z6 a   实际上，这个问题就是要安排 4 名同学的面试顺序，使完成全部面试所花费的时 间最少。

! o4 c, M- R  I- v/ `% o记  为第i名同学参加第 j 阶段面试需要的时间（已知），令   表示第i名同学参加第 j 阶段面试的开始时间（不妨记早上 8:00 面试开始为 0 时刻） （i=1,2,3,4 ; j =1,2,3），T 为完成全部面试所花费的最少时间。

优化目标为                            （1）
( w4 w' {; k# N- c/ n& j3 C( Q
: a9 B6 O/ y+ z1 I3 z; Z约束条件：
2 b3 V; a) J. I* z* p  W$ K
- u2 k3 v: ]: P/ Y1）时间先后次序约束（每人只有参加完前一个阶段的面试后才能进入下一个阶段）：                                （2）
; ^. v& t) \. k9 R" {  I4 W8 A
7 V/ B: p0 {$ ]+ l6 f+ E( m3 A2 _+ A2 ）每个阶段 j 同一时间只能面试 1 名同学：用  0− 1 变量  表示第k 名同学是否 排在第i名同学前面（1 表示“是”，0 表示“否”），则
' i+ ]1 @/ k$ z9 ]+ I) r! q( u
    （3）
  P/ R& f' H, d- b
可以将上述非线性的优化目标（1） 改写为如下线性优化目标：

                   （4）

式（2）～（4）就是这个问题的  0−1  非线性规划模型（当然所有变量还有非负约束，变量   还有  0− 1约束）。

2  求解模型
9 j4 ]# Q3 s, z  D/ ^6 s编写 LINGO 程序如下：

$ D) M3 j5 T6 p2 m0 \4 lmodel:
Title 面试问题;
! \% c6 a& c' T# KSETS: Person/1..4/;
Stage/1..3/;
/ o# f4 W$ L5 RPXS(Person,Stage): T, X;
PXP(Person,Person)|&1 #LT# &2: Y;
ENDSETS
DATA:
T=13, 15, 20, 10 , 20 , 18, 20, 16, 10, 8, 10, 15;
ENDDATA
1 B" m( G, j( g/ T. Z8 _5 f[obj] min=MAXT;
7 A5 X0 ~, L( V) G* sMAXT>= @max(PXS(i,j)|j#EQ#@size(stage):x(i,j)+t(i,j));
6 Y3 V3 {- v& v; h/ x! 只有参加完前一个阶段的面试后才能进入下一个阶段;
@for(PXS(i,j)|j#LT#@size(stage):[ORDER]x(i,j)+t(i,j)<x(i,j+1));
% i" \9 M! o4 L4 p! ~" t! 同一时间只能面试1名同学;
: O1 U5 K( k- y+ n7 }@for(Stage(j):   
0 S- q. ?. W% T  _  V: C) \    @for(PXP(i,k):[SORT1]x(i,j)+t(i,j)-x(k,j)<MAXT*Y(i,k));  
. |7 S4 r; h- c    @for(PXP(i,k):[SORT2]x(k,j)+t(k,j)-x(i,j)<MAXT*(1-Y(i,k))));
, Y5 {1 P3 p! P8 q3 l" h9 w: T. O@for(PXP: @bin(y));
1 J& i' j3 L3 p: tend
计算结果为，所有面试完成至少需要 84min，面试顺序为 4－1－2－3（丁－甲－ 乙－丙）。早上 8:00 面试开始，最早 9:24 面试可以全部结束。
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