面试顺序问题：用数学建模优化生产与服务运作中的管理问题

浅夏110

例题： 有 4 名同学到一家公司参加三个阶段的面试：公司要求每个同学都必须首先 找公司秘书初试，然后到部门主管处复试，最后到经理处参加面试，并且不允许插队（即 在任何一个阶段 4 名同学的顺序是一样的）。由于 4 名同学的专业背景不同，所以每人 在三个阶段的面试时间也不同，如表 5 所示。这 4 名同学约定他们全部面试完以后一起离开公司。假定现在时间是早晨 8:00，请问他们最早何时能离开公司？

" Y3 H2 A' A9 v+ m: n  U& O) L5 S5 [

1 建立模型
" J: m, V  A& U* X  W" Y. h$ ]3 e   实际上，这个问题就是要安排 4 名同学的面试顺序，使完成全部面试所花费的时 间最少。

% ?5 c* E- C8 v) X8 e# h记  为第i名同学参加第 j 阶段面试需要的时间（已知），令   表示第i名同学参加第 j 阶段面试的开始时间（不妨记早上 8:00 面试开始为 0 时刻） （i=1,2,3,4 ; j =1,2,3），T 为完成全部面试所花费的最少时间。
9 e# h( h. A! L+ c0 u* \
优化目标为                            （1）

约束条件：

4 ?9 F6 `. m4 `: U+ y1）时间先后次序约束（每人只有参加完前一个阶段的面试后才能进入下一个阶段）：                                （2）

7 U7 x8 `4 q3 `# m2 ）每个阶段 j 同一时间只能面试 1 名同学：用  0− 1 变量  表示第k 名同学是否 排在第i名同学前面（1 表示“是”，0 表示“否”），则
# l1 R) s; h6 k: C7 G& I
    （3）

3 ]) E- B: c0 p  ~4 @1 L可以将上述非线性的优化目标（1） 改写为如下线性优化目标：

                   （4）
% G1 _$ q4 Y7 N6 I
# K& Y" v, F+ K  o式（2）～（4）就是这个问题的  0−1  非线性规划模型（当然所有变量还有非负约束，变量   还有  0− 1约束）。

2  求解模型
9 f' L2 ?5 d* y5 J* n& Q# P" m' ~编写 LINGO 程序如下：

model:
Title 面试问题;
+ U" i3 v, Y1 L8 j% v$ n- XSETS: Person/1..4/;
Stage/1..3/;
. M1 c# d$ Z& f+ w* ePXS(Person,Stage): T, X;
! \5 h! O: E) P0 N0 ePXP(Person,Person)|&1 #LT# &2: Y;
) r* G' J7 L& F7 n8 aENDSETS
( Y" {" X- {- h0 G3 kDATA:
T=13, 15, 20, 10 , 20 , 18, 20, 16, 10, 8, 10, 15;
1 l- Y: }3 g+ |9 WENDDATA
2 H; F3 ?2 r, j9 R0 x% R% h[obj] min=MAXT;
MAXT>= @max(PXS(i,j)|j#EQ#@size(stage):x(i,j)+t(i,j));
( \; w  j8 }1 z- d8 l2 o! I! 只有参加完前一个阶段的面试后才能进入下一个阶段;
* r$ X" p: D& |: `@for(PXS(i,j)|j#LT#@size(stage):[ORDER]x(i,j)+t(i,j)<x(i,j+1));
4 l7 @7 B% _! }" L! 同一时间只能面试1名同学;
, x0 f- h, j% k5 y! N( W@for(Stage(j):   
& o# y: V+ v+ H! D* w1 L    @for(PXP(i,k):[SORT1]x(i,j)+t(i,j)-x(k,j)<MAXT*Y(i,k));  
* a9 a$ ^/ }' R    @for(PXP(i,k):[SORT2]x(k,j)+t(k,j)-x(i,j)<MAXT*(1-Y(i,k))));
! t  D7 B8 U9 Z@for(PXP: @bin(y));
9 \9 L' j# K3 \end
计算结果为，所有面试完成至少需要 84min，面试顺序为 4－1－2－3（丁－甲－ 乙－丙）。早上 8:00 面试开始，最早 9:24 面试可以全部结束。
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