面试顺序问题：用数学建模优化生产与服务运作中的管理问题

浅夏110

例题： 有 4 名同学到一家公司参加三个阶段的面试：公司要求每个同学都必须首先 找公司秘书初试，然后到部门主管处复试，最后到经理处参加面试，并且不允许插队（即 在任何一个阶段 4 名同学的顺序是一样的）。由于 4 名同学的专业背景不同，所以每人 在三个阶段的面试时间也不同，如表 5 所示。这 4 名同学约定他们全部面试完以后一起离开公司。假定现在时间是早晨 8:00，请问他们最早何时能离开公司？

) F$ U  `8 e" i" X( N1 \

1 建立模型
- g& ^% B6 ~. ~) S   实际上，这个问题就是要安排 4 名同学的面试顺序，使完成全部面试所花费的时 间最少。
$ m+ C: ^! I' |( \2 }* H, ?
& {1 y; [* B/ p3 ~  f. A记  为第i名同学参加第 j 阶段面试需要的时间（已知），令   表示第i名同学参加第 j 阶段面试的开始时间（不妨记早上 8:00 面试开始为 0 时刻） （i=1,2,3,4 ; j =1,2,3），T 为完成全部面试所花费的最少时间。

/ u, j, c" }; J 优化目标为                            （1）

. t2 A* T6 X1 K  {5 P% g) g约束条件：
# m9 F4 A6 T0 V# z- I7 K$ J, A3 _) k' U9 H
3 L# T; T: {: K1）时间先后次序约束（每人只有参加完前一个阶段的面试后才能进入下一个阶段）：                                （2）
& I( w/ N' _  N% ^8 O* \
9 u; x. u7 [  n. q0 E0 y5 n2 ）每个阶段 j 同一时间只能面试 1 名同学：用  0− 1 变量  表示第k 名同学是否 排在第i名同学前面（1 表示“是”，0 表示“否”），则

    （3）

可以将上述非线性的优化目标（1） 改写为如下线性优化目标：

: g: L  h$ c+ W! R                   （4）

% x+ C& H1 d/ Y8 {1 r0 P式（2）～（4）就是这个问题的  0−1  非线性规划模型（当然所有变量还有非负约束，变量   还有  0− 1约束）。
. p" Q2 z  d3 Q
' |8 v8 ^: S' e" {2 B2  求解模型
% ]+ R8 l+ U/ E. v: ^# h编写 LINGO 程序如下：
' y$ ~- r$ E/ _6 D2 c  C/ C$ z% j- Q
* y" i- |, _% X" X  p8 ^" zmodel:
Title 面试问题;
SETS: Person/1..4/;
" J- Z: L4 i. P( DStage/1..3/;
3 f! W9 K& h. J$ JPXS(Person,Stage): T, X;
% t6 G1 R4 @4 ?: `/ w: uPXP(Person,Person)|&1 #LT# &2: Y;
ENDSETS
DATA:
( E" F% a1 a7 g  @T=13, 15, 20, 10 , 20 , 18, 20, 16, 10, 8, 10, 15;
* u9 i( i- u# @: iENDDATA
[obj] min=MAXT;
2 _% ~* L+ }4 _- Q, cMAXT>= @max(PXS(i,j)|j#EQ#@size(stage):x(i,j)+t(i,j));
! 只有参加完前一个阶段的面试后才能进入下一个阶段;
6 s4 ~+ _6 U/ n' ?7 u0 w+ F) W@for(PXS(i,j)|j#LT#@size(stage):[ORDER]x(i,j)+t(i,j)<x(i,j+1));
! 同一时间只能面试1名同学;
@for(Stage(j):   
    @for(PXP(i,k):[SORT1]x(i,j)+t(i,j)-x(k,j)<MAXT*Y(i,k));  
" ?$ W3 l3 m, P/ I8 i) ]4 \    @for(PXP(i,k):[SORT2]x(k,j)+t(k,j)-x(i,j)<MAXT*(1-Y(i,k))));
@for(PXP: @bin(y));
end
计算结果为，所有面试完成至少需要 84min，面试顺序为 4－1－2－3（丁－甲－ 乙－丙）。早上 8:00 面试开始，最早 9:24 面试可以全部结束。
6 J3 ~6 r: t  t! b+ @% R: v7 ~————————————————
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* ~5 N: z  U7 T