面试顺序问题：用数学建模优化生产与服务运作中的管理问题

浅夏110

例题： 有 4 名同学到一家公司参加三个阶段的面试：公司要求每个同学都必须首先 找公司秘书初试，然后到部门主管处复试，最后到经理处参加面试，并且不允许插队（即 在任何一个阶段 4 名同学的顺序是一样的）。由于 4 名同学的专业背景不同，所以每人 在三个阶段的面试时间也不同，如表 5 所示。这 4 名同学约定他们全部面试完以后一起离开公司。假定现在时间是早晨 8:00，请问他们最早何时能离开公司？
2 E& N# ]5 }! b; U) T! D


1 建立模型
   实际上，这个问题就是要安排 4 名同学的面试顺序，使完成全部面试所花费的时 间最少。
1 P8 k2 t, v1 L4 I
7 @4 e' q) T8 [# g, Z+ U6 _记  为第i名同学参加第 j 阶段面试需要的时间（已知），令   表示第i名同学参加第 j 阶段面试的开始时间（不妨记早上 8:00 面试开始为 0 时刻） （i=1,2,3,4 ; j =1,2,3），T 为完成全部面试所花费的最少时间。
& a9 M. G# B7 Q' j! e7 m! }
& |5 h/ A( m* J1 v. X, U3 p4 p 优化目标为                            （1）
' q3 D; l- v& g' C1 X. L' S
$ m/ u% v; z9 s- A. s约束条件：

9 f* F' f/ _2 s1 M2 r. ?1）时间先后次序约束（每人只有参加完前一个阶段的面试后才能进入下一个阶段）：                                （2）

) C, {% s4 L3 H6 M' ^$ q' j; |& c( E2 ）每个阶段 j 同一时间只能面试 1 名同学：用  0− 1 变量  表示第k 名同学是否 排在第i名同学前面（1 表示“是”，0 表示“否”），则

    （3）
) m, W. e. K, ^1 }4 @1 ?4 [' v( `
7 M0 `" B! p, n5 s! K6 F- m1 X( q可以将上述非线性的优化目标（1） 改写为如下线性优化目标：
' C, k  Z1 m7 n( L
                   （4）
7 }/ ]3 G* B0 N. W9 z
式（2）～（4）就是这个问题的  0−1  非线性规划模型（当然所有变量还有非负约束，变量   还有  0− 1约束）。

) P& h$ s0 k- s; [( k2  求解模型
编写 LINGO 程序如下：

model:
Title 面试问题;
SETS: Person/1..4/;
7 C4 {; e. n" H' kStage/1..3/;
PXS(Person,Stage): T, X;
PXP(Person,Person)|&1 #LT# &2: Y;
ENDSETS
DATA:
T=13, 15, 20, 10 , 20 , 18, 20, 16, 10, 8, 10, 15;
ENDDATA
[obj] min=MAXT;
MAXT>= @max(PXS(i,j)|j#EQ#@size(stage):x(i,j)+t(i,j));
! 只有参加完前一个阶段的面试后才能进入下一个阶段;
@for(PXS(i,j)|j#LT#@size(stage):[ORDER]x(i,j)+t(i,j)<x(i,j+1));
2 W1 g1 O/ [  j. C. c5 _! 同一时间只能面试1名同学;
@for(Stage(j):   
5 c9 c5 w* m# R: t* ]: K) g. d    @for(PXP(i,k):[SORT1]x(i,j)+t(i,j)-x(k,j)<MAXT*Y(i,k));  
9 h8 ]+ w/ v1 A6 r$ L4 @  V    @for(PXP(i,k):[SORT2]x(k,j)+t(k,j)-x(i,j)<MAXT*(1-Y(i,k))));
@for(PXP: @bin(y));
end
计算结果为，所有面试完成至少需要 84min，面试顺序为 4－1－2－3（丁－甲－ 乙－丙）。早上 8:00 面试开始，最早 9:24 面试可以全部结束。
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