全国大学生数学竞赛学习笔记（非数学专业组）
0. 写在前面这次参加全国大学生数学竞赛（非数学专业组），本来是抱着重在参与的想法报名的。准备的过程大概不到一个月吧，挺仓促的，好在学校竞赛培训的老师很负责，做的辅导课件帮了我很大的忙。最后很幸运地获得了北京市数竞的二等奖和全国数竞的二等奖，算是一个不大不小的惊喜吧。在这里把我的学习笔记（参考我校培训老师的课件）分享出来，大家可以对照着查缺补漏，希望对参加数竞的小伙伴们有帮助。（文中截图出自我校数竞培训老师的课件）整体竞赛难度怎么说呢，还是看运气 年份，今年的题就比较简单。不过万变不离其宗吧，掌握好基础的知识点，才能应变越来越花里胡哨的题目。
1. 求极限问题
1.1 洛必达
没啥好说的。
1.2 等价无穷小
1.3 Taylor公式
熟记公式~
1.4 两个重要极限
有关ln和e的极限，背下几个常见极限就好。
1.5 利用导数或微分定义
看到函数题干中有f’(a)的值（不为0常数）和f(a)的值（为0），就联想到是否可以联系导数定义解题。
1.6 微分中值定理
遇到求f(a)=a的a存在性证明，考虑零点定理
遇到形如求f’(b)=2bf(b)的存在性证明，考虑用前一问和题干中的零点构造出罗尔定理的两个相等点。构造函数往往带有e^x
1.7 夹逼定理、单调有界原理证明存在性
有这个思想就行。
1.8 利用积分
看到含f’(x) 的不等式，就要想到对两边积分，这样一边可以得到f(x)
把不等式的一边先等价无穷小化简，再不等式通过两边取积分，化简的一边化为这样的形式（另一边是导数积分完为f(x)），方便判断收敛性：
2. 导数的计算
2.1 分段点或特殊点处求导：直接利用定义
如有x值使得函数f(x)=0，求该点导数。
2.2 隐函数求导 对数求导
当幂数为f(x)等形式时考虑对数求导，消除幂数中的f(x)
2.3 参数方程确定的函数求导
理解过程。
2.4 高阶函数
Leibniz公式
常见高阶导数
3. 导数的应用3.1 一元函数应用3.1.1 函数单调性、极值、最值没啥好说的。
3.1.2 不等式的证明
[*]利用函数的单调性证明
3.1.3 确定方程实根个数利用零点定理（至少有一个零点）+单调性（导数）（至多一个零点）来确定方程实根个数。
[*]存在性：零点定理
[*]唯一性：单调性/Rolle定理反证
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