QQ登录

只需要一步,快速开始

 注册地址  找回密码
查看: 3517|回复: 0
打印 上一主题 下一主题

全国大学生数学竞赛学习笔记(非数学专业组)

[复制链接]
字体大小: 正常 放大

907

主题

66

听众

18万

积分

  • TA的每日心情
    开心
    2023-3-15 17:49
  • 签到天数: 224 天

    [LV.7]常住居民III

    社区QQ达人 邮箱绑定达人 元老勋章 发帖功臣 新人进步奖 优秀斑竹奖 金点子奖 原创写作奖 最具活力勋章 助人为乐奖 风雨历程奖

    跳转到指定楼层
    1#
    发表于 2021-11-13 18:18 |只看该作者 |倒序浏览
    |招呼Ta 关注Ta
    0. 写在前面+ f6 v. w/ y" k# {- U
    这次参加全国大学生数学竞赛(非数学专业组),本来是抱着重在参与的想法报名的。准备的过程大概不到一个月吧,挺仓促的,好在学校竞赛培训的老师很负责,做的辅导课件帮了我很大的忙。最后很幸运地获得了北京市数竞的二等奖和全国数竞的二等奖,算是一个不大不小的惊喜吧。在这里把我的学习笔记(参考我校培训老师的课件)分享出来,大家可以对照着查缺补漏,希望对参加数竞的小伙伴们有帮助。(文中截图出自我校数竞培训老师的课件)整体竞赛难度怎么说呢,还是看运气 年份,今年的题就比较简单。不过万变不离其宗吧,掌握好基础的知识点,才能应变越来越花里胡哨的题目。
      _1 H2 w& \0 f1 i' p' A. o  L
    6 N, B; P, E+ }! ]3 s0 |6 p
    0 i0 U: }; y/ g% C  x1. 求极限问题8 X3 D6 v+ `5 j& x+ V
    1.1 洛必达
    ! ?7 f+ N( u# C" q  w没啥好说的。/ L% t6 t) J/ w# f

    , ?" g' I6 t. g+ R2 v' y4 H3 w9 }% J9 M1 r  G, n
    1.2 等价无穷小
    ( P  L5 m: H, P) N 1.png
    2 c3 A% C# O6 U+ ]# w
    ' X# P4 @! X; K+ Y: H0 S1.3 Taylor公式
    % Q9 Q) l2 [0 |0 S4 P: D; D熟记公式~: \6 `' G2 c6 W. ~& z6 O; p
    & A$ \" q6 r( V

      y- C$ U/ |1 m! ^& r# ?1.4 两个重要极限
    . _+ V& R5 L1 m* s, k8 k3 Q$ Q有关ln和e的极限,背下几个常见极限就好。+ M7 M0 o! O! X, N
    4 p' p* x. D3 Z4 I; ]
    8 D4 I+ Y. t: a
    1.5 利用导数或微分定义8 h! I% n. I: R6 l
    看到函数题干中有f’(a)的值(不为0常数)和f(a)的值(为0),就联想到是否可以联系导数定义解题。; m7 a7 R  k* n6 A3 O# @2 B% O
    0 |7 }" e1 T6 l; W2 \
    " @) P( p. ]1 ]1 O- |
    1.6 微分中值定理3 T4 f9 W  |# v* O
    遇到求f(a)=a的a存在性证明,考虑零点定理
    7 ]) i. z. Q2 x3 T' C( g: _4 C' r: z! e: P3 @4 T+ V
    遇到形如求f’(b)=2bf(b)的存在性证明,考虑用前一问和题干中的零点构造出罗尔定理的两个相等点。构造函数往往带有e^x  u2 i/ u5 Z7 f
    2 }  E" S! ]0 C( o, A1 k
    1.7 夹逼定理、单调有界原理证明存在性
    & d9 q; |7 ^  p$ j% }有这个思想就行。
    0 C' M* D- j5 o, m. X
    0 Q6 j7 |1 q, S- r$ `6 g  {! t  F
    1.8 利用积分: A/ x7 r3 R( T8 D9 R
    看到含f’(x) 的不等式,就要想到对两边积分,这样一边可以得到f(x)
    / B+ `! V2 G/ d5 V
    0 {2 w4 |1 n$ }' y7 |把不等式的一边先等价无穷小化简,再不等式通过两边取积分,化简的一边化为这样的形式(另一边是导数积分完为f(x)),方便判断收敛性:
    4 u# G9 m6 q2 r# O* r/ [' @; ?7 W4 \- B: t
    2.png
    4 T( p4 _4 L2 c, J, [
    9 w) `. e7 z) |+ z: X. Z2 x 3.png
    ' H3 R; E1 z3 N3 n2. 导数的计算
    # u& {0 _, C! i% I2.1 分段点或特殊点处求导:直接利用定义
    2 g% X/ J+ D& o6 f* M7 Q) |如有x值使得函数f(x)=0,求该点导数。
    9 u. u# H. s1 B" [' ^8 V9 [0 P$ c1 z
    7 V2 O0 \7 j* m
    : F' r4 B; r/ m) |. Z1 K, n2.2 隐函数求导 对数求导
    & ?$ R& b, s4 x" k当幂数为f(x)等形式时考虑对数求导,消除幂数中的f(x)+ Z2 a6 r$ N7 p6 K: Z! F

    7 _# A2 \2 u  H+ _' @: n$ \: q6 k* P% W4 e8 R
    2.3 参数方程确定的函数求导3 I1 U2 v9 D! o+ v( P
    理解过程。2 C8 g# B0 m- S+ G% b% @
    : K. k  d* `+ a  L% u2 {9 V' y. R' [
    , A: T) j( [, ]) r4 X4 C
    2.4 高阶函数! C+ g( Z* {0 }/ F4 T2 e, T
    Leibniz公式. C0 \* O2 f. w4 N9 W4 j+ ]5 L

    / \" V; F3 S: \* ~, E
    + [/ ]2 g" I0 \/ M常见高阶导数4 R3 _4 B: I3 a+ N- m% F
    4.png
    1 T# o- V; C# A! F! `7 l/ m2 z! C( u$ [- y1 j
    5.png ' v% S6 j, L5 Q* q0 X
    6.png # I& k* \- ?# x) E6 G
    3. 导数的应用3.1 一元函数应用3.1.1 函数单调性、极值、最值

    没啥好说的。/ D3 c- E0 M' G: w# P) C8 E. n- T

    ) d* l& I' |5 j; b3 O* F  s: V

    3.1.2 不等式的证明
    • 利用函数的单调性证明
      % A; T+ u) J! y# C8 E) N" \* t* J
    7.png . V0 b4 Y; t# F3 y7 A. q
    2 Z- m7 C, m1 `
    3.1.3 确定方程实根个数

    利用零点定理(至少有一个零点)+单调性(导数)(至多一个零点)来确定方程实根个数。

    • 存在性:零点定理
    • 唯一性:单调性/Rolle定理反证
      % `/ ]2 a; E7 V# E" V! O: B
    8.png
    ( U7 G2 T2 p8 L* q* e2 V( ` 9.png 3 r$ U/ h$ O# S2 c- u
    10.png ; f& V# F$ N! _9 y8 `& o- Q
    11.png
    0 w- V$ `$ o  n! H 12.png 9 }/ Z; |$ n+ q! e- q1 D' T
    13.png 3 s6 \& x4 L$ Z: p
    14.png
    5 H* X4 l9 x! ~: i 15.png
    3 U. @) ^; c1 @) h
    ' T: P9 a3 K. o. g$ U. a* g( l  S/ D0 m6 B# Y: b3 U" w

    ! I" H  B0 N5 {( C* u* U0 ]; y* k/ C# f$ c
    $ i2 [# x; e( l+ i6 |$ ~1 `* l
    + P2 O9 S, {3 A( ]
    zan
    转播转播0 分享淘帖0 分享分享0 收藏收藏0 支持支持0 反对反对0 微信微信
    您需要登录后才可以回帖 登录 | 注册地址

    qq
    收缩
    • 电话咨询

    • 04714969085
    fastpost

    关于我们| 联系我们| 诚征英才| 对外合作| 产品服务| QQ

    手机版|Archiver| |繁體中文 手机客户端  

    蒙公网安备 15010502000194号

    Powered by Discuz! X2.5   © 2001-2013 数学建模网-数学中国 ( 蒙ICP备14002410号-3 蒙BBS备-0002号 )     论坛法律顾问:王兆丰

    GMT+8, 2026-8-31 19:28 , Processed in 3.450145 second(s), 55 queries .

    回顶部