全国大学生数学竞赛学习笔记（非数学专业组）

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0. 写在前面
8 q$ j& v, c, D这次参加全国大学生数学竞赛（非数学专业组），本来是抱着重在参与的想法报名的。准备的过程大概不到一个月吧，挺仓促的，好在学校竞赛培训的老师很负责，做的辅导课件帮了我很大的忙。最后很幸运地获得了北京市数竞的二等奖和全国数竞的二等奖，算是一个不大不小的惊喜吧。在这里把我的学习笔记（参考我校培训老师的课件）分享出来，大家可以对照着查缺补漏，希望对参加数竞的小伙伴们有帮助。（文中截图出自我校数竞培训老师的课件）整体竞赛难度怎么说呢，还是看运气 年份，今年的题就比较简单。不过万变不离其宗吧，掌握好基础的知识点，才能应变越来越花里胡哨的题目。

. j( [! _: q9 k* z
) H- y. A( u! R, J' \) b1. 求极限问题
1.1 洛必达
4 p4 E2 H2 C6 ?$ \没啥好说的。


1.2 等价无穷小

; \& a" B0 E7 S8 @, \
& g4 D6 e4 L" I$ J/ C" P' f1.3 Taylor公式
1 M8 c7 H0 _% K$ W3 ^: N4 B6 d& a熟记公式~


0 y; ?) v; e+ G: N2 K2 x! e$ X2 Q( b) r1.4 两个重要极限
, ~6 @+ \2 o2 [1 i, E" W有关ln和e的极限，背下几个常见极限就好。
1 u* q6 B* ]: j+ F' R# h! ?! N6 _
. e; ^; l6 f) ?+ V2 r8 G
  D9 N  V# b* e  @8 K3 S* ^9 \: m1.5 利用导数或微分定义
看到函数题干中有f’(a)的值（不为0常数）和f(a)的值（为0），就联想到是否可以联系导数定义解题。
9 k) `" l, |, _- O+ W( O! o
$ V5 B5 e. }) ]/ Q0 ~. \
1.6 微分中值定理
遇到求f(a)=a的a存在性证明，考虑零点定理

遇到形如求f’(b)=2bf(b)的存在性证明，考虑用前一问和题干中的零点构造出罗尔定理的两个相等点。构造函数往往带有e^x

1.7 夹逼定理、单调有界原理证明存在性
有这个思想就行。
- k1 a1 W/ t$ n6 [) ?7 K

2 I8 I& o" I# ?; M  ^  A+ R8 c1.8 利用积分
" A4 \. j8 \) m7 M7 x( r看到含f’(x) 的不等式，就要想到对两边积分，这样一边可以得到f(x)

把不等式的一边先等价无穷小化简，再不等式通过两边取积分，化简的一边化为这样的形式（另一边是导数积分完为f(x)），方便判断收敛性：

0 M- B2 ?# l" @# F- _


& L% ?+ Z" h. F  s2. 导数的计算
- e; ?; u6 a# [: [9 @7 ~: Q. ^2.1 分段点或特殊点处求导：直接利用定义
如有x值使得函数f(x)=0，求该点导数。
- A9 r1 t  L" Z% ^. o$ `, \: ?: S
, n+ j# r5 J/ _: q& c
9 i! F* l6 Y3 M8 m$ U2.2 隐函数求导 对数求导
% N; ?2 M2 _: c% Y9 Q, n/ m. h3 Z当幂数为f(x)等形式时考虑对数求导，消除幂数中的f(x)

3 m0 @: i! G1 D( ]' p* U$ w" _
2.3 参数方程确定的函数求导
  S, e/ o1 }" h2 d# l9 q* [理解过程。


2.4 高阶函数
Leibniz公式
* a' t+ x( n6 d( r
6 T1 s. ]7 R! \5 E3 d
常见高阶导数

" Z1 [* d0 b* d+ I# ]
/ z+ @' e- l4 ^; m- W5 N3 x
! q2 o: I. F; N$ J* S0 K
3. 导数的应用3.1 一元函数应用3.1.1 函数单调性、极值、最值

没啥好说的。
% v3 q, t% o  \, q
- [: F. n2 i1 o

3.1.2 不等式的证明

• 利用函数的单调性证明
  $ }# C8 _9 S8 m& H$ Z1 X5 f

( j& [) o' i2 |2 i
5 X( E( ]& ~  [) X# G3.1.3 确定方程实根个数

利用零点定理（至少有一个零点）+单调性（导数）（至多一个零点）来确定方程实根个数。

• 存在性：零点定理
• 唯一性：单调性/Rolle定理反证
  

9 N6 `0 ?8 H' G: O& t
# J4 W! @# E2 ]; |9 L


# I4 L! x0 E' I$ s
( q) Y# k3 E1 D
" X0 G. u, e; B' u- q
2 t8 O1 \3 J* f& g$ X1 c2 J

6 c/ q1 L2 b2 Q" y