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全国大学生数学竞赛学习笔记(非数学专业组)

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    1#
    发表于 2021-11-13 18:18 |只看该作者 |倒序浏览
    |招呼Ta 关注Ta
    0. 写在前面
    4 b4 `4 ~4 ^) K( p5 U, ]+ D这次参加全国大学生数学竞赛(非数学专业组),本来是抱着重在参与的想法报名的。准备的过程大概不到一个月吧,挺仓促的,好在学校竞赛培训的老师很负责,做的辅导课件帮了我很大的忙。最后很幸运地获得了北京市数竞的二等奖和全国数竞的二等奖,算是一个不大不小的惊喜吧。在这里把我的学习笔记(参考我校培训老师的课件)分享出来,大家可以对照着查缺补漏,希望对参加数竞的小伙伴们有帮助。(文中截图出自我校数竞培训老师的课件)整体竞赛难度怎么说呢,还是看运气 年份,今年的题就比较简单。不过万变不离其宗吧,掌握好基础的知识点,才能应变越来越花里胡哨的题目。
    5 w* F& w3 ?" S
    3 i" t# d# B( m% V3 I% Y. o! C/ S; s. b) w2 |7 m
    1. 求极限问题
    . i/ n( ?0 ^2 |) G; b; ~6 o9 [/ g1.1 洛必达1 W  D# B; b  j. C# r7 k
    没啥好说的。7 ~. [) \" I1 x/ w6 w" c
    8 [: o! q3 l, t, N" U7 W) V7 M, v

    , ~, {6 o6 P! q: {6 F" ~* h2 m1.2 等价无穷小
    5 B! n& ]' O3 j9 L, q* |' ^ 1.png
    . S0 S4 t" ~) J$ q- b7 W
    4 l# W' x  ?$ v' P' g. Z1.3 Taylor公式$ ]; H" d+ ]/ u6 e- p  _- p: E. {1 t
    熟记公式~
    * T3 T9 x, T4 P) z. E; M' m* S# ?4 g+ M3 e9 D
    3 V! U- y" {1 W0 c5 p3 I
    1.4 两个重要极限; N) C9 e* t8 X
    有关ln和e的极限,背下几个常见极限就好。% O% c& G. Q5 O) j4 s
    $ N$ L1 f- _/ }6 N2 L
    ; s- r6 k8 ^. d0 O- l
    1.5 利用导数或微分定义" O3 b- b: e# o0 @9 ]4 O9 s
    看到函数题干中有f’(a)的值(不为0常数)和f(a)的值(为0),就联想到是否可以联系导数定义解题。
    1 X* u$ L) s, F' w, d. ]% D& m8 |) B+ Z' R% V) r

    & N' F$ A( |/ w0 z4 o' _1.6 微分中值定理# v- Q6 q" |2 w! j( Y# s9 H9 a
    遇到求f(a)=a的a存在性证明,考虑零点定理
    3 O9 \9 q+ z) o6 B9 E2 U# \" a) c1 Q4 Z$ v+ A9 j
    遇到形如求f’(b)=2bf(b)的存在性证明,考虑用前一问和题干中的零点构造出罗尔定理的两个相等点。构造函数往往带有e^x( P* y( o1 m/ ]+ o' o: F, y

    5 u0 L2 w1 h: c1.7 夹逼定理、单调有界原理证明存在性' S4 S. c0 ~- d- E: `9 a% v
    有这个思想就行。
    5 Y8 z) w4 ^" {; y) K/ c9 D4 s0 V# A: A: K% ]1 I

    ) T+ I  v/ k" R1.8 利用积分. p# e$ d+ e- I+ u# r
    看到含f’(x) 的不等式,就要想到对两边积分,这样一边可以得到f(x)6 w9 _' e, m0 c; V
    / I) r& d5 j* A4 W8 O$ W5 ^
    把不等式的一边先等价无穷小化简,再不等式通过两边取积分,化简的一边化为这样的形式(另一边是导数积分完为f(x)),方便判断收敛性:
    ; B% ?; B8 |% h; {' A- {/ [# o  N. M+ E1 ~0 q7 L4 E( q& [
    2.png , h! R5 i2 S  r

    0 y+ ?8 A, w" A- V# i' J 3.png 6 v/ c! S1 O  E; Y( T0 h& B! A
    2. 导数的计算
    5 i7 N; K  l9 I3 `/ y2.1 分段点或特殊点处求导:直接利用定义
    8 R" B1 Q! H3 ]如有x值使得函数f(x)=0,求该点导数。* |6 X0 g+ L* E

    , X# A3 k2 ^' C1 W2 k2 g- v0 M  |% m) d" P8 `) M
    2.2 隐函数求导 对数求导
    + I$ Z/ y+ S+ U; e$ h4 o当幂数为f(x)等形式时考虑对数求导,消除幂数中的f(x)
    7 |" i* f& y+ E, Y. Q1 }) G
    9 G  S4 ]) a  a7 x; F7 D/ l3 N* b" V' I8 T3 _
    2.3 参数方程确定的函数求导
    ; T- c9 ~. N& W$ m& `, g, \理解过程。
    8 S) m3 ?9 j5 `5 u/ C5 Q2 K1 k0 h
    ( r5 i- t3 }" e
    3 Y% L3 t8 a$ Z2.4 高阶函数2 o6 m0 r6 e6 L  {4 X
    Leibniz公式
    % K: C( w$ E# i+ v( ~7 U
    ' b; h- K/ e8 Y' }* A3 @! `$ `& D
    $ ?+ Z' z8 A9 [. z; H( K5 G) R  P常见高阶导数' P: w$ D/ ?5 T, a
    4.png
    4 F+ h4 K- g) F$ P$ i+ j& n
    - h. k/ V2 i: p: m5 Y; p1 W6 ]7 d 5.png & w& I. p. e% S* I
    6.png 2 U, n: H. a9 v" w
    3. 导数的应用3.1 一元函数应用3.1.1 函数单调性、极值、最值

    没啥好说的。
    * i$ [. ]4 y! f4 O5 i( o! u2 ?; o. ^8 Q' v$ A" y! G$ _$ a, G

    3.1.2 不等式的证明
    • 利用函数的单调性证明5 L7 L7 L" J1 v4 ^0 [- P
    7.png ! {& \4 ]! Y3 Q3 g0 E
    9 ^! K/ W/ B- U+ b/ U3 v& R
    3.1.3 确定方程实根个数

    利用零点定理(至少有一个零点)+单调性(导数)(至多一个零点)来确定方程实根个数。

    • 存在性:零点定理
    • 唯一性:单调性/Rolle定理反证
      , c# i" N1 Y+ Y
    8.png
    # n% R  t' e6 m 9.png 5 W  n3 t7 ~0 g1 W. v0 `: b
    10.png + O9 b$ f! t( Y, |$ D% `2 Y- v7 S! s
    11.png
    + l3 O( T2 r2 J3 @) h  k 12.png 9 B- ], \5 R3 y! n% ^
    13.png
    & U' ?' m3 [8 `' J$ _7 ] 14.png $ `1 j: R- k- C/ r0 U
    15.png ' B9 E) g/ u% v& r  X
    , w1 D; R8 L# w
    & r0 F& |) \/ v; c5 r0 k, o

    6 L" g( I4 \8 ~% T$ y9 A1 ~" ?' I8 E" y& C
    / Q, O/ e9 L) b  w- X# q
    0 G( X3 Y4 t  R
    zan
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