0. 写在前面2 }- A9 g Z9 b
这次参加全国大学生数学竞赛(非数学专业组),本来是抱着重在参与的想法报名的。准备的过程大概不到一个月吧,挺仓促的,好在学校竞赛培训的老师很负责,做的辅导课件帮了我很大的忙。最后很幸运地获得了北京市数竞的二等奖和全国数竞的二等奖,算是一个不大不小的惊喜吧。在这里把我的学习笔记(参考我校培训老师的课件)分享出来,大家可以对照着查缺补漏,希望对参加数竞的小伙伴们有帮助。(文中截图出自我校数竞培训老师的课件)整体竞赛难度怎么说呢,还是看运气 年份,今年的题就比较简单。不过万变不离其宗吧,掌握好基础的知识点,才能应变越来越花里胡哨的题目。1 U& T0 N2 C4 s8 y7 @/ _7 i7 H3 p
0 R+ z/ |6 z; `' P g1 u! D6 ~: w
1. 求极限问题
3 O( U' k# ^1 e, i- e1.1 洛必达
0 U8 D3 P* ]( B% j |没啥好说的。1 ?3 A* Z. L. O+ Z+ N) q, P
( z9 w% F( j E& W' g& X* i; Q
2 Y. _& C& ]; Y6 s% T1.2 等价无穷小
W$ b8 k* f5 ^5 Y* u
3 p3 P5 k! ]3 z& ^8 I$ g/ \
/ f2 U+ L! j1 a% r( w0 l5 }. e7 p1.3 Taylor公式
6 C8 M# W* h+ m' ^8 G, ^熟记公式~- q$ c* ?9 t; l& r% R6 g
+ Z7 ?- E6 Y* T9 y/ p
q: V* ~9 x. w+ K1 B& F) Y1.4 两个重要极限
" \& T& \& z- V Y! Y* K有关ln和e的极限,背下几个常见极限就好。8 e/ O8 m, x5 F! g- ?/ q) p
8 F l# ^0 X) i4 n
C t/ q- X( z3 t- A, t& i1.5 利用导数或微分定义
1 x( ?$ T7 z7 r看到函数题干中有f’(a)的值(不为0常数)和f(a)的值(为0),就联想到是否可以联系导数定义解题。8 q) }+ K! s( L, [# u! D
! s& N: x* M7 {! m2 _( N
g2 z h8 v7 i5 c, n0 Z4 x1 e
1.6 微分中值定理/ P# V/ ?# O/ q: ~; \3 r
遇到求f(a)=a的a存在性证明,考虑零点定理; ?- n% [6 s8 r" o
+ P! o n0 N, G% @4 v. i遇到形如求f’(b)=2bf(b)的存在性证明,考虑用前一问和题干中的零点构造出罗尔定理的两个相等点。构造函数往往带有e^x
) [3 i1 \* P+ E: {; g7 p; u: V' H5 W% `% j
1.7 夹逼定理、单调有界原理证明存在性) j( k& }6 E; R
有这个思想就行。
. B+ p6 }6 }$ v6 H) V) \# u$ I
* j3 U6 t2 @% J' w6 Q) @/ [0 y3 E/ x& [1 ^9 ~
1.8 利用积分
; }5 a: T. O& Q0 D6 l/ g' s看到含f’(x) 的不等式,就要想到对两边积分,这样一边可以得到f(x)* I, J, [9 T, C7 \2 E. o9 d
5 B* R5 U, B, c K3 n6 l. O
把不等式的一边先等价无穷小化简,再不等式通过两边取积分,化简的一边化为这样的形式(另一边是导数积分完为f(x)),方便判断收敛性:
5 P5 f2 g* g8 |2 F; g% Z% y4 w" N) Y
7 z; j) j+ F$ n# h. c0 R1 A$ R
! k" t& b$ p$ |( @& u- P
# V# E/ }8 |7 H4 S% W/ v! p) @. I) l
2. 导数的计算! g5 N% O5 V- g% X- _8 @# E
2.1 分段点或特殊点处求导:直接利用定义) ~$ K: t# ?+ n& J5 { M/ P
如有x值使得函数f(x)=0,求该点导数。
) c( J- s! B3 `6 K4 A/ v) b' k( x$ Q6 Z
4 w( L% |0 z) v$ [( G- }$ f2.2 隐函数求导 对数求导( ?* j R6 I& w: g& U5 v
当幂数为f(x)等形式时考虑对数求导,消除幂数中的f(x)
2 b6 R: ^2 }$ E) `# n2 ]! n) l/ y3 s8 ~
. B# w9 I3 S5 _! F
2.3 参数方程确定的函数求导
1 m0 R4 O) U+ s% z5 j- A9 ]) Z理解过程。
5 k4 p1 v* w0 L0 C3 m f7 g
: R$ o3 l9 j0 u5 K
1 O2 B# \3 b1 y& D. \& y2.4 高阶函数
' B; i Y! v6 `* YLeibniz公式5 B2 t L5 @+ ]* ~. j
; P3 }4 V$ c( p0 a& ~
! B# p2 |1 Y/ o* r, p& f常见高阶导数8 {# @+ C) v$ I1 [% ?! s- S
/ c) g; @0 u5 k6 H, W" a r
: i$ g; T) v& L* w; C8 P+ A
$ k! [+ i* q; c5 k/ W4 f9 r
& c- `5 }0 z, h1 u$ @4 r5 o6 I3. 导数的应用3.1 一元函数应用3.1.1 函数单调性、极值、最值没啥好说的。
3 |/ X" s8 ?0 C) q: v( f+ j$ {0 S0 y" D' h0 f7 P+ S( V7 B! r' Q
3.1.2 不等式的证明- 利用函数的单调性证明
+ ]( F( I3 T5 m8 v
0 t+ m# U6 r' P" x; h( `+ o6 c6 ] I+ N5 a5 }0 Y9 o
3.1.3 确定方程实根个数利用零点定理(至少有一个零点)+单调性(导数)(至多一个零点)来确定方程实根个数。 - 存在性:零点定理
- 唯一性:单调性/Rolle定理反证" w! n! u T* R4 T: N- N; p7 W
% f, Y. C) o5 ]; O4 `; M( M
3 }% n7 t. Z+ m, n* n7 \
5 K/ o7 u3 U: {0 A! H: e3 K
, M- Z# H2 i/ O
' U- @: V* |. _' b
! L8 X9 F+ I; o: J, A* f4 S; U
$ h$ l4 I; z& Y/ U' J
6 x! A' k4 |: i
2 U* l. A) v4 |0 `
! F/ A. V- t. G& t( S2 ^6 I# `- I! D; ~2 o5 v9 i0 f
# X4 r4 v( O% l3 e
8 B9 Q7 }; T6 P, b: P4 N1 {
' Z& v, H N7 I5 e: i |