全国大学生数学竞赛学习笔记（非数学专业组）

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0. 写在前面
* K$ ~: x! K' g2 C5 a& H. m这次参加全国大学生数学竞赛（非数学专业组），本来是抱着重在参与的想法报名的。准备的过程大概不到一个月吧，挺仓促的，好在学校竞赛培训的老师很负责，做的辅导课件帮了我很大的忙。最后很幸运地获得了北京市数竞的二等奖和全国数竞的二等奖，算是一个不大不小的惊喜吧。在这里把我的学习笔记（参考我校培训老师的课件）分享出来，大家可以对照着查缺补漏，希望对参加数竞的小伙伴们有帮助。（文中截图出自我校数竞培训老师的课件）整体竞赛难度怎么说呢，还是看运气 年份，今年的题就比较简单。不过万变不离其宗吧，掌握好基础的知识点，才能应变越来越花里胡哨的题目。

# t0 [7 @0 S9 B/ P, c& L, q
1. 求极限问题
1.1 洛必达
没啥好说的。
- o- s: b& q- P$ a  w( R
& ]: [7 `$ _0 I5 n5 r& j
# C- F: K" U8 U! B1.2 等价无穷小
. ]# M% X; w' u, A
* C0 W7 ~1 l) o; m3 i$ \
3 o' x+ X9 w: L  N. |2 P7 G1 w1.3 Taylor公式
( e4 Z. ], d8 m7 K# b. i- E$ Z" u熟记公式~
. C( ]5 \! o1 v% N3 Z+ O6 Q( @
( |) l* R& E6 k: t; r, J) }
1.4 两个重要极限
2 U  Q2 V+ Q; x有关ln和e的极限，背下几个常见极限就好。
* p1 |1 [3 ?6 B
9 u( g0 ^# x0 L3 t* q) C3 y3 T
1.5 利用导数或微分定义
看到函数题干中有f’(a)的值（不为0常数）和f(a)的值（为0），就联想到是否可以联系导数定义解题。


* c6 }- f  n- v# u1 @/ d) U1.6 微分中值定理
6 D: g. T5 O! i5 U7 k* N遇到求f(a)=a的a存在性证明，考虑零点定理

& ^7 J3 f$ m' E- h8 f) Y遇到形如求f’(b)=2bf(b)的存在性证明，考虑用前一问和题干中的零点构造出罗尔定理的两个相等点。构造函数往往带有e^x
) z- n+ b: w0 }. Z2 _0 @/ v' [8 Z1 W
: ]+ w# \% v- W% ^0 i  b1.7 夹逼定理、单调有界原理证明存在性
6 S" p$ e. {6 ~. A. r1 }有这个思想就行。


1.8 利用积分
- z7 q; z$ v" j" `看到含f’(x) 的不等式，就要想到对两边积分，这样一边可以得到f(x)

把不等式的一边先等价无穷小化简，再不等式通过两边取积分，化简的一边化为这样的形式（另一边是导数积分完为f(x)），方便判断收敛性：
+ b& [7 @+ U* `* T. a! n3 e


6 S/ F/ F& ]# O9 F
; x/ Y9 H" ?: x2. 导数的计算
$ Q1 _2 i# w/ a2.1 分段点或特殊点处求导：直接利用定义
如有x值使得函数f(x)=0，求该点导数。

. M) C  Q7 d6 A. s& H
/ l( \- C; h! ^5 c0 i! t2.2 隐函数求导 对数求导
3 P( M! ^9 {" j% Y) w, G3 P当幂数为f(x)等形式时考虑对数求导，消除幂数中的f(x)
* h) o4 E6 r6 `4 T

2.3 参数方程确定的函数求导
  o$ |9 b6 z4 B+ d/ o  O" o理解过程。
0 H& m0 `& `! h7 k- G9 U6 n6 N

3 |! N, J! C, o1 B& T' w2.4 高阶函数
) X0 c( Y# t3 J) D" u) hLeibniz公式
; ~4 n8 N# C/ P% a* o7 v
2 }* o% @6 Q  f* ?
; c* B( {" j3 L  M5 B) A常见高阶导数
8 j+ |# \2 @$ g' B) i


( |- d4 k: W8 Q$ L
3. 导数的应用3.1 一元函数应用3.1.1 函数单调性、极值、最值

没啥好说的。

9 U6 Y& e( P! G9 H

3.1.2 不等式的证明

• 利用函数的单调性证明
  ) B5 C0 y' i8 h* _9 \2 I

+ C  b! p2 L* }& }
3.1.3 确定方程实根个数

利用零点定理（至少有一个零点）+单调性（导数）（至多一个零点）来确定方程实根个数。

• 存在性：零点定理
• 唯一性：单调性/Rolle定理反证
  1 i  D9 ]/ k# _" n6 O

: I( O6 F  t* R. F, J! [/ m  }


& `! O  t* Q. K% C/ G6 Z, ]


; g+ d0 F" j: Z) t5 \- g

2 I! S+ x7 i8 W9 k8 ]


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