全国大学生数学竞赛学习笔记（非数学专业组）

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0. 写在前面
这次参加全国大学生数学竞赛（非数学专业组），本来是抱着重在参与的想法报名的。准备的过程大概不到一个月吧，挺仓促的，好在学校竞赛培训的老师很负责，做的辅导课件帮了我很大的忙。最后很幸运地获得了北京市数竞的二等奖和全国数竞的二等奖，算是一个不大不小的惊喜吧。在这里把我的学习笔记（参考我校培训老师的课件）分享出来，大家可以对照着查缺补漏，希望对参加数竞的小伙伴们有帮助。（文中截图出自我校数竞培训老师的课件）整体竞赛难度怎么说呢，还是看运气 年份，今年的题就比较简单。不过万变不离其宗吧，掌握好基础的知识点，才能应变越来越花里胡哨的题目。

0 R+ z/ |6 z; `' P
1. 求极限问题
3 O( U' k# ^1 e, i- e1.1 洛必达
0 U8 D3 P* ]( B% j  |没啥好说的。


2 Y. _& C& ]; Y6 s% T1.2 等价无穷小
  W$ b8 k* f5 ^5 Y* u
3 p3 P5 k! ]3 z& ^8 I$ g/ \
/ f2 U+ L! j1 a% r( w0 l5 }. e7 p1.3 Taylor公式
6 C8 M# W* h+ m' ^8 G, ^熟记公式~

+ Z7 ?- E6 Y* T9 y/ p
  q: V* ~9 x. w+ K1 B& F) Y1.4 两个重要极限
" \& T& \& z- V  Y! Y* K有关ln和e的极限，背下几个常见极限就好。


  C  t/ q- X( z3 t- A, t& i1.5 利用导数或微分定义
1 x( ?$ T7 z7 r看到函数题干中有f’(a)的值（不为0常数）和f(a)的值（为0），就联想到是否可以联系导数定义解题。


1.6 微分中值定理
遇到求f(a)=a的a存在性证明，考虑零点定理

+ P! o  n0 N, G% @4 v. i遇到形如求f’(b)=2bf(b)的存在性证明，考虑用前一问和题干中的零点构造出罗尔定理的两个相等点。构造函数往往带有e^x
) [3 i1 \* P+ E: {; g
1.7 夹逼定理、单调有界原理证明存在性
有这个思想就行。
. B+ p6 }6 }$ v6 H) V) \# u$ I
* j3 U6 t2 @% J' w6 Q) @
1.8 利用积分
; }5 a: T. O& Q0 D6 l/ g' s看到含f’(x) 的不等式，就要想到对两边积分，这样一边可以得到f(x)

把不等式的一边先等价无穷小化简，再不等式通过两边取积分，化简的一边化为这样的形式（另一边是导数积分完为f(x)），方便判断收敛性：
5 P5 f2 g* g8 |


! k" t& b$ p$ |( @& u- P
2. 导数的计算
2.1 分段点或特殊点处求导：直接利用定义
如有x值使得函数f(x)=0，求该点导数。
) c( J- s! B3 `6 K4 A

4 w( L% |0 z) v$ [( G- }$ f2.2 隐函数求导 对数求导
当幂数为f(x)等形式时考虑对数求导，消除幂数中的f(x)
2 b6 R: ^2 }$ E) `# n

2.3 参数方程确定的函数求导
1 m0 R4 O) U+ s% z5 j- A9 ]) Z理解过程。
5 k4 p1 v* w0 L0 C3 m  f7 g
: R$ o3 l9 j0 u5 K
1 O2 B# \3 b1 y& D. \& y2.4 高阶函数
' B; i  Y! v6 `* YLeibniz公式

; P3 }4 V$ c( p0 a& ~
! B# p2 |1 Y/ o* r, p& f常见高阶导数

/ c) g; @0 u5 k6 H, W" a  r
: i$ g; T) v& L* w; C8 P+ A
$ k! [+ i* q; c5 k/ W4 f9 r
& c- `5 }0 z, h1 u$ @4 r5 o6 I3. 导数的应用3.1 一元函数应用3.1.1 函数单调性、极值、最值

没啥好说的。
3 |/ X" s8 ?0 C) q: v( f+ j$ {0 S

3.1.2 不等式的证明

• 利用函数的单调性证明
  + ]( F( I3 T5 m8 v

0 t+ m# U6 r' P" x; h( `
3.1.3 确定方程实根个数

利用零点定理（至少有一个零点）+单调性（导数）（至多一个零点）来确定方程实根个数。

• 存在性：零点定理
• 唯一性：单调性/Rolle定理反证
  

3 }% n7 t. Z+ m, n* n7 \


' U- @: V* |. _' b
! L8 X9 F+ I; o: J, A* f4 S; U
$ h$ l4 I; z& Y/ U' J
6 x! A' k4 |: i
2 U* l. A) v4 |0 `
! F/ A. V- t. G& t( S2 ^6 I# `- I



' Z& v, H  N7 I5 e: i