全国大学生数学竞赛学习笔记（非数学专业组）

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0. 写在前面
% {$ ?# V; P3 ]" o& g$ h" H/ k2 w7 v这次参加全国大学生数学竞赛（非数学专业组），本来是抱着重在参与的想法报名的。准备的过程大概不到一个月吧，挺仓促的，好在学校竞赛培训的老师很负责，做的辅导课件帮了我很大的忙。最后很幸运地获得了北京市数竞的二等奖和全国数竞的二等奖，算是一个不大不小的惊喜吧。在这里把我的学习笔记（参考我校培训老师的课件）分享出来，大家可以对照着查缺补漏，希望对参加数竞的小伙伴们有帮助。（文中截图出自我校数竞培训老师的课件）整体竞赛难度怎么说呢，还是看运气 年份，今年的题就比较简单。不过万变不离其宗吧，掌握好基础的知识点，才能应变越来越花里胡哨的题目。

5 D8 E0 p" m" [2 k3 j
( v8 t, k5 a  g  [1. 求极限问题
+ G5 j$ {+ H0 f* ~1.1 洛必达
没啥好说的。

* s) a, o8 `% e8 L9 H8 B7 D
1.2 等价无穷小
, y: E0 @' R' b( y
3 e1 l9 Z, {3 U6 g8 O* u5 h
$ g: R8 x+ h. K4 T* T1.3 Taylor公式
2 A& q0 u7 r+ H5 X- B1 k熟记公式~
3 g' }* z! o4 |
4 T" r+ _8 |5 ^4 m6 Z
1.4 两个重要极限
  ?0 V; i3 W, R% S/ w/ \2 C有关ln和e的极限，背下几个常见极限就好。

) L% a5 q8 x6 g  f0 D
1.5 利用导数或微分定义
看到函数题干中有f’(a)的值（不为0常数）和f(a)的值（为0），就联想到是否可以联系导数定义解题。
5 u- a2 M) c4 P0 Y; Q% W
' @, v8 {) o0 s3 m
7 E5 Z, i: A  D# a- f1.6 微分中值定理
遇到求f(a)=a的a存在性证明，考虑零点定理
/ T* B  M2 J; T
' H6 q, t- W5 L, `- h2 @9 |遇到形如求f’(b)=2bf(b)的存在性证明，考虑用前一问和题干中的零点构造出罗尔定理的两个相等点。构造函数往往带有e^x
% ^& q; _% @- i1 ~" F/ D
  {9 m" m9 H8 A# b2 r1.7 夹逼定理、单调有界原理证明存在性
有这个思想就行。
* H+ C4 o  d! X- o1 t* n

4 b" _$ f$ T! e( u' Z. Z: ?1.8 利用积分
看到含f’(x) 的不等式，就要想到对两边积分，这样一边可以得到f(x)

把不等式的一边先等价无穷小化简，再不等式通过两边取积分，化简的一边化为这样的形式（另一边是导数积分完为f(x)），方便判断收敛性：
# @0 \. }6 m8 g- X
. j/ S; V" t& C/ a7 m( _- |7 S2 e


2. 导数的计算
2.1 分段点或特殊点处求导：直接利用定义
& S% W! D# \  c! `1 x. s# y' u- s: W8 q如有x值使得函数f(x)=0，求该点导数。

. b+ h; D6 d; X5 Z* r
2.2 隐函数求导 对数求导
0 K* c8 U: y5 N0 O) S当幂数为f(x)等形式时考虑对数求导，消除幂数中的f(x)
! `7 N6 k( g, x3 h
$ `0 m! ]3 V; f0 x. b/ T
2.3 参数方程确定的函数求导
; G' @( p" I" W  O$ H理解过程。

8 K3 a0 d2 f) l! e8 I
# r, b1 b8 V% y4 |1 @3 W& q$ R# k2.4 高阶函数
# V4 z+ b# _4 d* d8 K0 D) W2 X% FLeibniz公式


; l, s% n2 O& C5 K/ y/ j8 P常见高阶导数
- R4 r: f7 e" ~" f  \

* v* O0 F% T% ~) Q+ Q0 Z/ `5 c8 v
% g6 {% z. k; X  Z0 v! h
3. 导数的应用3.1 一元函数应用3.1.1 函数单调性、极值、最值

没啥好说的。

3.1.2 不等式的证明

• 利用函数的单调性证明
  

% v  b+ {5 B3 Y+ a& o
3.1.3 确定方程实根个数

利用零点定理（至少有一个零点）+单调性（导数）（至多一个零点）来确定方程实根个数。

• 存在性：零点定理
• 唯一性：单调性/Rolle定理反证
  8 N# ~! I& q5 y( S" `9 n

; _$ {. _4 [# W
6 y' F1 \7 H* U6 Y
# x2 O+ A/ \3 X/ ]4 L4 f. V) N/ f% ~! V


) v% L2 C: @/ g. j3 O
" S1 S6 O# O0 M6 T2 S



5 s" R/ f" i7 C
% l# S$ S; G# w' c" {
4 _: t; p) }2 |. D4 H- v