全国大学生数学竞赛学习笔记（非数学专业组）

1440359316

0. 写在前面
这次参加全国大学生数学竞赛（非数学专业组），本来是抱着重在参与的想法报名的。准备的过程大概不到一个月吧，挺仓促的，好在学校竞赛培训的老师很负责，做的辅导课件帮了我很大的忙。最后很幸运地获得了北京市数竞的二等奖和全国数竞的二等奖，算是一个不大不小的惊喜吧。在这里把我的学习笔记（参考我校培训老师的课件）分享出来，大家可以对照着查缺补漏，希望对参加数竞的小伙伴们有帮助。（文中截图出自我校数竞培训老师的课件）整体竞赛难度怎么说呢，还是看运气 年份，今年的题就比较简单。不过万变不离其宗吧，掌握好基础的知识点，才能应变越来越花里胡哨的题目。


1 N* q& J/ }( Z1. 求极限问题
1.1 洛必达
* g) j" l) e3 V8 v没啥好说的。

: B) F7 Z) b$ g* u" v8 l1 N
) Z6 M* {- v; t( z: u) N1.2 等价无穷小

' M. g) _7 r6 z  F$ y7 u
1.3 Taylor公式
熟记公式~
& [4 o  V* F3 k& n* b2 S

1.4 两个重要极限
有关ln和e的极限，背下几个常见极限就好。


4 w- @$ s. g5 P8 N* W7 R9 C1.5 利用导数或微分定义
看到函数题干中有f’(a)的值（不为0常数）和f(a)的值（为0），就联想到是否可以联系导数定义解题。


1.6 微分中值定理
遇到求f(a)=a的a存在性证明，考虑零点定理
0 n% s5 X8 f& ?9 p  I, p2 w7 W
( O& A  z9 D* S! K. T2 M遇到形如求f’(b)=2bf(b)的存在性证明，考虑用前一问和题干中的零点构造出罗尔定理的两个相等点。构造函数往往带有e^x
4 J7 C$ c' c( Y- Q! m
1.7 夹逼定理、单调有界原理证明存在性
9 h) w- G6 ~4 j  ?  {4 M  e有这个思想就行。

- c( E, w0 Z, w% z+ Z% ~& W( I% T3 E
1.8 利用积分
. w. @6 s2 Y3 Z: G看到含f’(x) 的不等式，就要想到对两边积分，这样一边可以得到f(x)
" A' p( Z8 f: h" t9 \1 _
把不等式的一边先等价无穷小化简，再不等式通过两边取积分，化简的一边化为这样的形式（另一边是导数积分完为f(x)），方便判断收敛性：

0 S5 Q) v% H, Y& F& @/ n


8 \, t; p7 H$ y$ d% D/ |, G0 Q2. 导数的计算
2.1 分段点或特殊点处求导：直接利用定义
如有x值使得函数f(x)=0，求该点导数。
) v' U+ X* R% a$ b/ p& ?6 _; N. F
2 o# R2 q0 ]6 \" M
2.2 隐函数求导 对数求导
当幂数为f(x)等形式时考虑对数求导，消除幂数中的f(x)

: O. a5 K7 I! P8 |9 O
! N% U( C* B6 D' c2.3 参数方程确定的函数求导
7 j5 u+ v$ _0 e9 B# A! Z7 {  d理解过程。
  Q& D5 M1 I: F! [6 M

/ Y5 x  g0 p# s' x8 w( Q2.4 高阶函数
# y5 u' o$ f* ?" O( _& ?2 rLeibniz公式


常见高阶导数
$ |! U* e$ `- h, p8 m) G' p5 {



0 }5 Q) B& A0 i+ _( i! w9 G3. 导数的应用3.1 一元函数应用3.1.1 函数单调性、极值、最值

没啥好说的。

( `2 h# p! Q3 l$ Q2 I

3.1.2 不等式的证明

• 利用函数的单调性证明
  9 b: y% i$ ~8 j) ?! j

3.1.3 确定方程实根个数

利用零点定理（至少有一个零点）+单调性（导数）（至多一个零点）来确定方程实根个数。

• 存在性：零点定理
• 唯一性：单调性/Rolle定理反证
  9 i) d4 `8 _3 |0 X" T

: a1 b7 v" W% o' W8 o& N, W5 B
  _; r3 H/ L6 C


/ C8 ?/ Z. p! P
- p& [1 E6 h2 M) D

( D3 \$ H8 o: R" B# Z/ \) {3 K; j
( T: r/ V' G7 G# {; r" }: _
, ^, T# R& n& w; X3 J( _3 P6 w  H
; k1 G( \' w) f: Z: S' d

$ L$ a% U* G1 o7 [1 K