全国大学生数学竞赛学习笔记（非数学专业组）

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0. 写在前面
这次参加全国大学生数学竞赛（非数学专业组），本来是抱着重在参与的想法报名的。准备的过程大概不到一个月吧，挺仓促的，好在学校竞赛培训的老师很负责，做的辅导课件帮了我很大的忙。最后很幸运地获得了北京市数竞的二等奖和全国数竞的二等奖，算是一个不大不小的惊喜吧。在这里把我的学习笔记（参考我校培训老师的课件）分享出来，大家可以对照着查缺补漏，希望对参加数竞的小伙伴们有帮助。（文中截图出自我校数竞培训老师的课件）整体竞赛难度怎么说呢，还是看运气 年份，今年的题就比较简单。不过万变不离其宗吧，掌握好基础的知识点，才能应变越来越花里胡哨的题目。
  _1 H2 w& \0 f1 i' p' A. o  L
6 N, B; P, E+ }! ]3 s0 |6 p
0 i0 U: }; y/ g% C  x1. 求极限问题
1.1 洛必达
! ?7 f+ N( u# C" q  w没啥好说的。

, ?" g' I6 t. g+ R
1.2 等价无穷小
( P  L5 m: H, P) N
2 c3 A% C# O6 U+ ]# w
' X# P4 @! X; K+ Y: H0 S1.3 Taylor公式
% Q9 Q) l2 [0 |0 S4 P: D; D熟记公式~


  y- C$ U/ |1 m! ^& r# ?1.4 两个重要极限
. _+ V& R5 L1 m* s, k8 k3 Q$ Q有关ln和e的极限，背下几个常见极限就好。


1.5 利用导数或微分定义
看到函数题干中有f’(a)的值（不为0常数）和f(a)的值（为0），就联想到是否可以联系导数定义解题。


1.6 微分中值定理
遇到求f(a)=a的a存在性证明，考虑零点定理
7 ]) i. z. Q2 x3 T' C( g
遇到形如求f’(b)=2bf(b)的存在性证明，考虑用前一问和题干中的零点构造出罗尔定理的两个相等点。构造函数往往带有e^x

1.7 夹逼定理、单调有界原理证明存在性
& d9 q; |7 ^  p$ j% }有这个思想就行。
0 C' M* D- j5 o, m. X
0 Q6 j7 |1 q, S- r
1.8 利用积分
看到含f’(x) 的不等式，就要想到对两边积分，这样一边可以得到f(x)
/ B+ `! V2 G/ d5 V
0 {2 w4 |1 n$ }' y7 |把不等式的一边先等价无穷小化简，再不等式通过两边取积分，化简的一边化为这样的形式（另一边是导数积分完为f(x)），方便判断收敛性：
4 u# G9 m6 q2 r# O

4 T( p4 _4 L2 c, J, [
9 w) `. e7 z) |+ z: X. Z2 x
' H3 R; E1 z3 N3 n2. 导数的计算
# u& {0 _, C! i% I2.1 分段点或特殊点处求导：直接利用定义
2 g% X/ J+ D& o6 f* M7 Q) |如有x值使得函数f(x)=0，求该点导数。
9 u. u# H. s1 B" [' ^8 V9 [0 P$ c1 z
7 V2 O0 \7 j* m
: F' r4 B; r/ m) |. Z1 K, n2.2 隐函数求导 对数求导
& ?$ R& b, s4 x" k当幂数为f(x)等形式时考虑对数求导，消除幂数中的f(x)

7 _# A2 \2 u  H+ _
2.3 参数方程确定的函数求导
理解过程。


2.4 高阶函数
Leibniz公式

/ \" V; F3 S: \* ~, E
+ [/ ]2 g" I0 \/ M常见高阶导数

1 T# o- V; C# A! F


3. 导数的应用3.1 一元函数应用3.1.1 函数单调性、极值、最值

没啥好说的。

) d* l& I' |5 j; b3 O* F  s: V

3.1.2 不等式的证明

• 利用函数的单调性证明
  % A; T+ u) J! y# C8 E) N" \* t* J

3.1.3 确定方程实根个数

利用零点定理（至少有一个零点）+单调性（导数）（至多一个零点）来确定方程实根个数。

• 存在性：零点定理
• 唯一性：单调性/Rolle定理反证
  % `/ ]2 a; E7 V# E" V! O: B

( U7 G2 T2 p8 L* q* e2 V( `


0 w- V$ `$ o  n! H


5 H* X4 l9 x! ~: i
3 U. @) ^; c1 @) h
' T: P9 a3 K. o. g$ U

! I" H  B0 N5 {( C* u* U0 ]