0. 写在前面- z( {# u s. N% m1 M5 J
这次参加全国大学生数学竞赛(非数学专业组),本来是抱着重在参与的想法报名的。准备的过程大概不到一个月吧,挺仓促的,好在学校竞赛培训的老师很负责,做的辅导课件帮了我很大的忙。最后很幸运地获得了北京市数竞的二等奖和全国数竞的二等奖,算是一个不大不小的惊喜吧。在这里把我的学习笔记(参考我校培训老师的课件)分享出来,大家可以对照着查缺补漏,希望对参加数竞的小伙伴们有帮助。(文中截图出自我校数竞培训老师的课件)整体竞赛难度怎么说呢,还是看运气 年份,今年的题就比较简单。不过万变不离其宗吧,掌握好基础的知识点,才能应变越来越花里胡哨的题目。$ }& t% {6 [2 `& c
4 _7 r, c) q3 g; K& [! D
1 N* q& J/ }( Z1. 求极限问题3 ~( N, A0 L0 c' b. p$ }
1.1 洛必达
* g) j" l) e3 V8 v没啥好说的。6 S) O+ p& @6 s( I0 q3 E2 B
: B) F7 Z) b$ g* u" v8 l1 N
) Z6 M* {- v; t( z: u) N1.2 等价无穷小+ T- P9 b5 x( Y
' M. g) _7 r6 z F$ y7 u8 ]: O5 n/ z, d4 Y' c# ^( P
1.3 Taylor公式& i2 l* r0 i' R, t6 P
熟记公式~
& [4 o V* F3 k& n* b2 S: W/ m r3 g- W8 l0 t/ n
6 ~4 F) J R% x4 F0 I" n" N& _# v) Y
1.4 两个重要极限, Q6 v$ @& R r% N G+ B
有关ln和e的极限,背下几个常见极限就好。) U% \$ G; U% d9 f
, e/ u5 k3 l( F; @
4 w- @$ s. g5 P8 N* W7 R9 C1.5 利用导数或微分定义7 D0 F# ^# @! u
看到函数题干中有f’(a)的值(不为0常数)和f(a)的值(为0),就联想到是否可以联系导数定义解题。+ L7 B j7 I w) l1 T& z
$ U p1 G4 d3 v; z) w
- U9 V+ E/ |7 S+ j) t! v
1.6 微分中值定理+ `1 p- ?% |$ x) M9 g
遇到求f(a)=a的a存在性证明,考虑零点定理
0 n% s5 X8 f& ?9 p I, p2 w7 W
( O& A z9 D* S! K. T2 M遇到形如求f’(b)=2bf(b)的存在性证明,考虑用前一问和题干中的零点构造出罗尔定理的两个相等点。构造函数往往带有e^x
4 J7 C$ c' c( Y- Q! m$ p8 Q; r/ |& I+ h* W
1.7 夹逼定理、单调有界原理证明存在性
9 h) w- G6 ~4 j ? {4 M e有这个思想就行。3 _' [% t6 Y5 [! _
- c( E, w0 Z, w% z+ Z% ~& W( I% T3 E) ?+ H2 ]' `5 ~! @
1.8 利用积分
. w. @6 s2 Y3 Z: G看到含f’(x) 的不等式,就要想到对两边积分,这样一边可以得到f(x)
" A' p( Z8 f: h" t9 \1 _8 y' E8 _' k* j6 i7 m$ P a1 i
把不等式的一边先等价无穷小化简,再不等式通过两边取积分,化简的一边化为这样的形式(另一边是导数积分完为f(x)),方便判断收敛性:% z/ n' U6 v5 e5 e# J' r# b
0 S5 Q) v% H, Y& F& @/ n
; ]0 b# L& q8 a. k
! J! P' M; h3 g, @( |" i/ t
8 \, t; p7 H$ y$ d% D/ |, G0 Q2. 导数的计算6 S7 H' o$ N4 ^7 H' P8 X
2.1 分段点或特殊点处求导:直接利用定义4 n1 F) K+ Q4 F. K
如有x值使得函数f(x)=0,求该点导数。
) v' U+ X* R% a$ b/ p& ?6 _; N. F
2 o# R2 q0 ]6 \" M8 [* N0 k: I0 O1 z5 c j
2.2 隐函数求导 对数求导7 B8 @: t" ]& r3 c- Y+ \9 [$ B
当幂数为f(x)等形式时考虑对数求导,消除幂数中的f(x)6 n( @$ G+ W: T0 z3 H
: O. a5 K7 I! P8 |9 O
! N% U( C* B6 D' c2.3 参数方程确定的函数求导
7 j5 u+ v$ _0 e9 B# A! Z7 { d理解过程。
Q& D5 M1 I: F! [6 M8 F5 M& y- U6 H9 D# b* b+ i
/ Y5 x g0 p# s' x8 w( Q2.4 高阶函数
# y5 u' o$ f* ?" O( _& ?2 rLeibniz公式! w2 X7 j& M; j5 z6 J4 h2 j/ Q
4 [7 [7 c/ j. O' m/ g3 m! S) J
: A6 ~" q2 Z" T
常见高阶导数
$ |! U* e$ `- h, p8 m) G' p5 {
5 y2 w& t3 R+ Z) e) A! H2 c& F
( w; ^ C1 N, E( q! D; X
- _" ?; ^ _. [5 f& B
0 }5 Q) B& A0 i+ _( i! w9 G3. 导数的应用3.1 一元函数应用3.1.1 函数单调性、极值、最值没啥好说的。2 j/ S, ?2 A5 l3 Q9 f8 e8 b
( `2 h# p! Q3 l$ Q2 I 3.1.2 不等式的证明- 利用函数的单调性证明
9 b: y% i$ ~8 j) ?! j
+ F% L' s* V0 `. L
" D; X6 Y7 D- b' x7 p2 @
3.1.3 确定方程实根个数利用零点定理(至少有一个零点)+单调性(导数)(至多一个零点)来确定方程实根个数。 - 存在性:零点定理
- 唯一性:单调性/Rolle定理反证
9 i) d4 `8 _3 |0 X" T
: a1 b7 v" W% o' W8 o& N, W5 B
_; r3 H/ L6 C
+ X4 ?3 E6 V1 [6 E
9 h0 V2 v; E5 z2 J2 D4 [) \
/ C8 ?/ Z. p! P
- p& [1 E6 h2 M) D
. D+ z- b# ^" }8 r! {3 x
( D3 \$ H8 o: R" B# Z/ \) {3 K; j
( T: r/ V' G7 G# {; r" }: _
, ^, T# R& n& w; X3 J( _3 P6 w H
; k1 G( \' w) f: Z: S' d. M J8 l) a" V3 Q$ i- o
$ L$ a% U* G1 o7 [1 K( C, j# Q# j+ G
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