全国大学生数学竞赛学习笔记（非数学专业组）

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0. 写在前面
4 b4 `4 ~4 ^) K( p5 U, ]+ D这次参加全国大学生数学竞赛（非数学专业组），本来是抱着重在参与的想法报名的。准备的过程大概不到一个月吧，挺仓促的，好在学校竞赛培训的老师很负责，做的辅导课件帮了我很大的忙。最后很幸运地获得了北京市数竞的二等奖和全国数竞的二等奖，算是一个不大不小的惊喜吧。在这里把我的学习笔记（参考我校培训老师的课件）分享出来，大家可以对照着查缺补漏，希望对参加数竞的小伙伴们有帮助。（文中截图出自我校数竞培训老师的课件）整体竞赛难度怎么说呢，还是看运气 年份，今年的题就比较简单。不过万变不离其宗吧，掌握好基础的知识点，才能应变越来越花里胡哨的题目。
5 w* F& w3 ?" S
3 i" t# d# B( m% V3 I% Y. o! C/ S
1. 求极限问题
. i/ n( ?0 ^2 |) G; b; ~6 o9 [/ g1.1 洛必达
没啥好说的。


, ~, {6 o6 P! q: {6 F" ~* h2 m1.2 等价无穷小
5 B! n& ]' O3 j9 L, q* |' ^
. S0 S4 t" ~) J$ q- b7 W
4 l# W' x  ?$ v' P' g. Z1.3 Taylor公式
熟记公式~
* T3 T9 x, T4 P) z. E; M

1.4 两个重要极限
有关ln和e的极限，背下几个常见极限就好。


1.5 利用导数或微分定义
看到函数题干中有f’(a)的值（不为0常数）和f(a)的值（为0），就联想到是否可以联系导数定义解题。
1 X* u$ L) s, F' w, d. ]% D

& N' F$ A( |/ w0 z4 o' _1.6 微分中值定理
遇到求f(a)=a的a存在性证明，考虑零点定理
3 O9 \9 q+ z) o6 B9 E2 U# \
遇到形如求f’(b)=2bf(b)的存在性证明，考虑用前一问和题干中的零点构造出罗尔定理的两个相等点。构造函数往往带有e^x

5 u0 L2 w1 h: c1.7 夹逼定理、单调有界原理证明存在性
有这个思想就行。
5 Y8 z) w4 ^" {; y) K/ c

) T+ I  v/ k" R1.8 利用积分
看到含f’(x) 的不等式，就要想到对两边积分，这样一边可以得到f(x)

把不等式的一边先等价无穷小化简，再不等式通过两边取积分，化简的一边化为这样的形式（另一边是导数积分完为f(x)），方便判断收敛性：
; B% ?; B8 |% h; {' A- {/ [# o


0 y+ ?8 A, w" A- V# i' J
2. 导数的计算
5 i7 N; K  l9 I3 `/ y2.1 分段点或特殊点处求导：直接利用定义
8 R" B1 Q! H3 ]如有x值使得函数f(x)=0，求该点导数。

, X# A3 k2 ^' C1 W2 k2 g
2.2 隐函数求导 对数求导
+ I$ Z/ y+ S+ U; e$ h4 o当幂数为f(x)等形式时考虑对数求导，消除幂数中的f(x)
7 |" i* f& y+ E, Y. Q1 }) G
9 G  S4 ]) a  a7 x; F7 D/ l
2.3 参数方程确定的函数求导
; T- c9 ~. N& W$ m& `, g, \理解过程。
8 S) m3 ?9 j5 `5 u/ C5 Q2 K1 k0 h
( r5 i- t3 }" e
3 Y% L3 t8 a$ Z2.4 高阶函数
Leibniz公式
% K: C( w$ E# i+ v( ~7 U
' b; h- K/ e8 Y' }* A3 @! `$ `& D
$ ?+ Z' z8 A9 [. z; H( K5 G) R  P常见高阶导数

4 F+ h4 K- g) F$ P$ i+ j& n
- h. k/ V2 i: p: m5 Y; p1 W6 ]7 d

3. 导数的应用3.1 一元函数应用3.1.1 函数单调性、极值、最值

没啥好说的。
* i$ [. ]4 y! f4 O5 i( o! u

3.1.2 不等式的证明

• 利用函数的单调性证明
  

3.1.3 确定方程实根个数

利用零点定理（至少有一个零点）+单调性（导数）（至多一个零点）来确定方程实根个数。

• 存在性：零点定理
• 唯一性：单调性/Rolle定理反证
  , c# i" N1 Y+ Y

# n% R  t' e6 m


+ l3 O( T2 r2 J3 @) h  k

& U' ?' m3 [8 `' J$ _7 ]




6 L" g( I4 \8 ~% T$ y9 A1 ~