最小费用最大流问题
最小费用最大流问题是网络流问题的一种扩展，旨在在网络中找到一条从源点到汇点的流，使得最大流量的同时总费用最小。这个问题在实际应用中有许多场景，例如在网络设计、流量优化、运输规划等方面。问题可以形式化为一个带权有向图，其中每条边上有一个容量表示最大流量，还有一个费用表示单位流量通过该边所需的成本。目标是找到一条从源点到汇点的路径，使得流量最大化的同时总费用最小。
一种常见的解决方法是使用最短增广路径算法，其中 Dijkstra 算法或 Bellman-Ford 算法用于寻找最短路径。以下是一个简单的 MATLAB 代码示例，演示了最小费用最大流问题的解决：
function = minCostMaxFlow(capacity, cost, source, sink)
n = size(capacity, 1);
% 使用最短增广路径算法
= shortestAugmentingPath(capacity, cost, source, sink);
% 初始化流矩阵
flow = zeros(n, n);
% 增广路径循环
while ~isempty(path)
% 寻找路径上的最小剩余容量
minCapacity = min(capacity(path(1:end-1), path(2:end)));
% 更新流矩阵和剩余容量
flow(path(1:end-1), path(2:end)) = flow(path(1:end-1), path(2:end)) + minCapacity;
capacity(path(1:end-1), path(2:end)) = capacity(path(1:end-1), path(2:end)) - minCapacity;
capacity(path(2:end), path(1:end-1)) = capacity(path(2:end), path(1:end-1)) + minCapacity;
% 重新寻找增广路径
= shortestAugmentingPath(capacity, cost, source, sink);
end
% 计算总流量
maxFlow = sum(flow(source, :));
end
function = shortestAugmentingPath(capacity, cost, source, sink)
n = size(capacity, 1);
distance = inf(1, n);
parent = zeros(1, n);
distance(source) = 0;
% 使用 Bellman-Ford 算法找到最短路径
for k = 1:n-1
for i = 1:n
for j = 1:n
if capacity(i, j) > 0 && distance(i) + cost(i, j) < distance(j)
distance(j) = distance(i) + cost(i, j);
parent(j) = i;
end
end
end
end
% 通过 parent 数组构建增广路径
path = [];
current = sink;
while current ~= source
path = ;
current = parent(current);
end
if isempty(path)
minCost = inf;
else
% 计算增广路径上的最小费用
minCost = min(cost(path(1:end-1), path(2:end)));
end
end
这个示例代码使用了 Bellman-Ford 算法找到最短路径，然后通过最小费用的边不断更新路径，直到找不到增广路径为止。请注意，这只是一个简单的示例，实际上，网络流问题中的最小费用最大流问题可能需要更复杂的算法，如 Zkw 算法或 Successive Shortest Path 算法。
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