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最小费用最大流问题是网络流问题的一种扩展,旨在在网络中找到一条从源点到汇点的流,使得最大流量的同时总费用最小。这个问题在实际应用中有许多场景,例如在网络设计、流量优化、运输规划等方面。4 S3 K! Y) i1 M2 h- s
问题可以形式化为一个带权有向图,其中每条边上有一个容量表示最大流量,还有一个费用表示单位流量通过该边所需的成本。目标是找到一条从源点到汇点的路径,使得流量最大化的同时总费用最小。) p; J! t: y0 \4 l0 \
一种常见的解决方法是使用最短增广路径算法,其中 Dijkstra 算法或 Bellman-Ford 算法用于寻找最短路径。以下是一个简单的 MATLAB 代码示例,演示了最小费用最大流问题的解决:0 @/ l2 h$ z1 ?' r8 D9 s
function [maxFlow, minCost] = minCostMaxFlow(capacity, cost, source, sink)
1 b" r. A- I$ \) Q0 K2 S) X n = size(capacity, 1);
& M$ K9 S* y8 l$ s3 _5 ^, s& I- f" s) W% p( A3 h
% 使用最短增广路径算法' A) v: ]. G3 y; G; d' z1 L4 l
[path, minCost] = shortestAugmentingPath(capacity, cost, source, sink);
% i+ G) @' N) H. u: ?! d- s) {" J0 i/ D! s
% 初始化流矩阵
6 N/ Q+ Y9 T& T, A+ a/ S8 \# _ flow = zeros(n, n);
2 G2 c3 d+ {: ^: x# i& @7 B! [0 ]1 @- d
% 增广路径循环5 z( q! @" Z, V% w W4 f2 W
while ~isempty(path)
8 y; y' e$ @3 q7 _ % 寻找路径上的最小剩余容量
8 R4 H' H; R2 ~/ {% i, h minCapacity = min(capacity(path(1:end-1), path(2:end)));% s+ S3 h+ a; c" O; j, N
9 m. Z2 {0 `$ u1 p % 更新流矩阵和剩余容量
% M, G' Q' a. V n, P flow(path(1:end-1), path(2:end)) = flow(path(1:end-1), path(2:end)) + minCapacity;. @# M, P- v1 O; p* Q
capacity(path(1:end-1), path(2:end)) = capacity(path(1:end-1), path(2:end)) - minCapacity;
- s, j1 L$ D# o K( }# c8 p capacity(path(2:end), path(1:end-1)) = capacity(path(2:end), path(1:end-1)) + minCapacity;
9 x% C/ y A( f% w O: C- U, I7 I# G+ K' d+ _0 s* i! Z! c- X
% 重新寻找增广路径
3 I+ a0 C& v4 l$ W. O* l( Z [path, minCost] = shortestAugmentingPath(capacity, cost, source, sink);
1 D ?! N1 V, l, |7 y3 p end( s3 J6 p" [9 f6 E S0 {9 Q0 o% x
0 v- Y5 o Z$ l! p % 计算总流量
& y: w) b' T# K maxFlow = sum(flow(source, );
2 B3 [8 Q8 C1 P# ?end' E5 x- F) x% M: O" a* u7 b
9 D( ~: U3 p- S) |* Z
function [path, minCost] = shortestAugmentingPath(capacity, cost, source, sink)
* V: R7 y/ m, s& G/ ^! N: t n = size(capacity, 1);
) z0 }) _5 C% z- P; | distance = inf(1, n);
; |& C0 |! g% V8 U2 \8 j3 }4 P! [! e/ z parent = zeros(1, n);, P0 x5 U2 n! Q2 V4 ]0 e
distance(source) = 0;" o. P. q# Y; p4 ~; o% ]
! i! H$ u W; l0 E, B( ]+ O' \1 r
% 使用 Bellman-Ford 算法找到最短路径& L0 G& M' o# J; X3 J3 M/ [* @
for k = 1:n-1
' I0 J3 A$ G' B, t9 A; r for i = 1:n
) l. w. u: t: h) ~$ M# z5 X8 h+ \ for j = 1:n
' w! |" Z* m( g0 F' R if capacity(i, j) > 0 && distance(i) + cost(i, j) < distance(j)
' ?/ B6 j0 [9 U: s- ^ distance(j) = distance(i) + cost(i, j);# B5 T- |, _7 b* o8 B# P6 q8 Z+ q' t2 r
parent(j) = i;# e' B w" j% @, }
end1 u. H3 Z9 D" ]* i6 s4 N
end6 c+ G+ i% K2 S! ]
end1 O+ U5 |8 T; O' d
end& M) p7 s4 N J
& c9 Q+ j1 U* X, A8 |$ D % 通过 parent 数组构建增广路径/ e' z" u1 e' ~ ]
path = [];; K8 A1 T7 J$ M/ U$ [5 W
current = sink;
9 ^2 ^0 d O/ D6 H7 h }% g while current ~= source1 {: ~2 ~+ `& @4 y# a
path = [parent(current), path];
9 I8 ^& Q0 x0 k current = parent(current);1 d2 X$ C0 ]# p: [# H- q N5 H! @
end& C7 z' ]( Q( `/ w8 `
1 D1 _4 L% w& e4 O+ d1 T if isempty(path)
$ r. d# \+ \7 G6 L minCost = inf;
c# M7 C2 L3 w$ Q; y$ ~ else/ [7 U1 a# _8 E# C$ Q- v! k
% 计算增广路径上的最小费用# j6 v+ X% f' t3 y2 p# I1 @
minCost = min(cost(path(1:end-1), path(2:end)));& E7 O/ |* g6 q; h$ _
end7 n: p, Q" j4 c9 L/ H, U
end
# i1 N) a3 W! r. x5 H- ?' @4 U- f" R9 n3 A; ?& Q3 Y8 d9 B& H" V
这个示例代码使用了 Bellman-Ford 算法找到最短路径,然后通过最小费用的边不断更新路径,直到找不到增广路径为止。请注意,这只是一个简单的示例,实际上,网络流问题中的最小费用最大流问题可能需要更复杂的算法,如 Zkw 算法或 Successive Shortest Path 算法。
1 r& w4 h/ \8 G, ]6 L+ e& J
9 I8 w6 o$ ?6 i, X5 X0 n+ @7 r9 \
: z% e' p- Z& n# e$ P; m2 d |
zan
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