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ftg1029 发表于 2009-5-21 19:26

能否用一个恒等式证明

2009年四川省初赛题。设a,b,c为正数且a<=b<=c,又a,b,c的平方和等于9，求证abc+1>3a.能否用一个恒等式给出证明？

王亚东 发表于 2009-8-13 17:05

不会啊，怎么搞啊

数学1+1 发表于 2009-8-17 10:15

ftg1029:
        题   设a、b、c为正数,且a≤b≤c,又a、b、c的平方和等于9,
           求证   abc+1>3a
           证明   因为0<a≤b≤c
                     a^2+b^2+c^2=9,且a≤b≤c
           所以   3a^2<a^2+b^2+c^2=9
           即      3a^2<9
           所以   a<√3
           从而   b≥√3 ,c≥√3
           所以   √3√3a≤abc
           即      abc+1≥3a+1
           所以  abc+1>3a

jtdu007 发表于 2009-8-23 19:48

不知道能不能用不等式证明,不过通过一个简单计算很容易就解决了
楼上的方法是错的

20077066 发表于 2009-8-27 16:35

证明   因为  0<a≤b≤c
                     并且   a^2+b^2+c^2=9,且a≤b≤c
                     所以   3a^2<a^2+b^2+c^2=9
                        即      3a^2<9
                      所以   a<√3
                      从而   b≥√3 ,c≥√3
                      所以   √3√3a≤abc
                         即      abc+1≥3a+1
                     故结论成立：  abc+1>3a

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