能否用一个恒等式证明

ftg1029

2009年四川省初赛题。设a,b,c为正数且a<=b<=c,又a,b,c的平方和等于9，求证abc+1>3a.能否用一个恒等式给出证明？

王亚东

不会啊，怎么搞啊

数学1+1

ftg1029:
        题   设a、b、c为正数,且a≤b≤c,又a、b、c的平方和等于9,
# {0 r5 a0 b& {: F8 H+ b' o           求证   abc+1>3a
: `' a5 r. o! f  f9 P1 d           证明   因为0<a≤b≤c
                     a^2+b^2+c^2=9,且a≤b≤c
/ n+ P! f8 D8 Z( k4 y           所以   3a^2<a^2+b^2+c^2=9
           即      3a^2<9
& i) h% |; a( T$ Q) {1 c3 _/ B! A( m           所以   a<√3
/ O' R$ X! E* O9 P, z* U" n$ v           从而   b≥√3 ,c≥√3
           所以   √3√3a≤abc
7 ~, P7 R  W3 X' _$ h/ }( ~           即      abc+1≥3a+1
1 f7 w$ M2 _- X- C8 @1 D; j1 C           所以  abc+1>3a

jtdu007

不知道能不能用不等式证明,不过通过一个简单计算很容易就解决了
. R7 l3 k( `9 K* }; o4 e楼上的方法是错的

20077066

证明   因为  0<a≤b≤c
, `$ x2 k2 M6 I1 ]; c! b+ W3 y/ l                     并且   a^2+b^2+c^2=9,且a≤b≤c
                     所以   3a^2<a^2+b^2+c^2=9
' V4 o. m* v" Z/ y  H                        即      3a^2<9
1 h& L( b8 P. G2 j3 B                      所以   a<√3
% a/ `0 {, f2 k- r7 [                      从而   b≥√3 ,c≥√3
                      所以   √3√3a≤abc
                         即      abc+1≥3a+1
                     故结论成立：  abc+1>3a