zzzlmn 发表于 2009-10-15 11:47

数学物理扫盲贴（准备好板砖哈）

本帖最后由 zzzlmn 于 2009-10-15 12:07 编辑

题目有点大，算是吸引眼球了，别拍我哈:)
《数理方法》包括复变函数与偏微分方程两部分，《数理方程》只有偏微分方程一部分。下面就数理方程班门弄斧一下:)
一、《数理方程》一般学校学的都是求一些特定方程（波动方程、热传导方程、拉普拉斯方程）的解析解
1.三类典型方程
一维波动方程
http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%5E2%5Cmu%7D%7B%5Cpartial%20t%5E2%7D%3Da%5E2%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%5E2%5Cmu%7D%7B%5Cpartial%20x%5E2%7D
一维热传导方程
http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%5Cmu%7D%7B%5Cpartial%20t%7D%3Da%5E2%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%5E2%5Cmu%7D%7B%5Cpartial%20x%5E2%7D
二维Laplace方程
http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E2%20%5Cmu%7D%7B%5Cpartial%20x%5E2%7D+%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%5E2%5Cmu%7D%7B%5Cpartial%20y%5E2%7D%3D0
2.一般要求掌握两种题型
a)分离变量法解有界区域上的PDE的定解问题，
前两类方程加上边界条件与初始条件、第三类方程只加边界条件没有初始条件，构成定解问题。主要是利用一些正交函数族（正余弦族，Bessel函数族...）类似于傅里叶级数的方法求解。
其中利用Bessel函数族的正交性解题的是二维波动方程、
http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E2%20%5Cmu%7D%7B%5Cpartial%20t%5E2%7D%3Da%5E2%5B%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%5E2%5Cmu%7D%7B%5Cpartial%20x%5E2%7D+%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%5E2%5Cmu%7D%7B%5Cpartial%20y%5E2%7D%5D
二维热传导方程
http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%5Cmu%7D%7B%5Cpartial%20t%7D%3Da%5E2%5B%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%5E2%5Cmu%7D%7B%5Cpartial%20x%5E2%7D+%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%5E2%5Cmu%7D%7B%5Cpartial%20y%5E2%7D%5D
在圆型区域
http://latex.codecogs.com/gif.latex?x%5E2+y%5E2%3Dr%5E2
上再加上初始条件
http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cmu%7C_%7Bt%3D0%7D%3Df%28x%2Cy%29%2C%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%5Cmu%7D%7B%5Cpartial%20t%7D%7C_%7Bt%3D0%7D%3Dg%28x%2Cy%29
的定解问题。其中波动方程有初始位移与初速度，热传导方程只有初始位移。
b)积分变换法解无界区域上的PDE定解问题
前两类方程一般只有初始条件——和原方程一起构成的定解问题称作柯西问题，无明显边界条件，有时要用的自然的边界条件（有界性，周期性）用Laplace变换与Fourier变换解题。
有时还要求掌握基本解的方法（最终还是积分变换法）Green函数法。
二、真正处理实际问题常用的是数值解方法。
要用PDE处理实际问题，建议在学完教材内容之后，自修一下《偏微分方程数值解》。
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本人只教过几年求解析解的方法，数值解也不懂。这个帖子算是抛砖引玉了。
:) :lol :)
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山心豆 发表于 2009-10-15 15:14

我来拍沙发砖！

fxh 发表于 2009-11-26 10:19

我来拍沙发砖！我来拍沙发砖！ 我来拍沙发砖！

彩虹天堂 发表于 2010-3-2 17:10

我们这学期学，以后还得多交流！

mayunfeng3516 发表于 2010-3-7 09:36

数学物理这学期学，以后还得多交流

abcfwlry 发表于 2010-10-18 19:39

zzzlmn 发表于 2010-10-19 16:55

工程问题一般不能用解析解。一般用有限元方法，即通过数学描述，将连续问题进行离散化的通用方法。正在学习:
（英）O.C.Zienkiewicz、（美）R.L.Taylor著，曾攀等译，有限元方法（第5版）分三卷：第1卷 基本原理，第2卷 固体力学，第3卷 流体力学。北京 清华大学出版社2008年7月版。
索书号：O346.82/53-1

zzzlmn 发表于 2010-10-19 17:03

不知这本书合不合适自学，懂的来指点啊。以后俺就把这贴当做学习笔记了:)

fendou14 发表于 2011-2-20 08:43

数理方程还讲到泛函分析里的变分法吧！确实，很多问题是要数值解的。

zombie9527 发表于 2011-8-6 11:36

太少了，将详细点
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