摘要：本文讨论了不同饮酒方式、饮酒数量情况下血液中酒精含量的变化规律。我们假设喝完酒后血液中的酒精含量达到峰值的时间相同，任意时刻血液中的酒精含量与饮酒量成正比，通过散点图作曲线拟合得到血液中酒精浓度与时间的函数关系：；根据酒精在人体内变化的弹性系数成线性下降的趋势建立了微分方程模型：。我们用软件，并利用表9-1中的数据，求出该微分方程的解：，该解为血液中酒精浓度与时间的函数关系。利用上述两种函数关系对题目中提出的所有问题进行解答，结果如下：

问题1：大李碰到的情况是：第一次测量的酒精含量低于20毫克/百毫升，第二次测量的酒精含量超过20毫克/百毫升。

问题2：3瓶啤酒在短时间内喝完后，在0.038小时至9.7731小时内开车违反标准，3瓶酒在2小时内喝完，喝完酒后的14.49个小时内开车违反标准。.

问题3：血液中的酒精含量何时达到峰值与饮酒方式有关，与饮酒量无关。

问题4：一天喝一次酒，当时，不影响开车；当时，一天中的部分时间可以开车；当时，一天中的各个时刻都不能开车。一天喝两次，当时，一天中的各个时刻都能开车；当时，一天中的部分时间可以开车；当时一天中的各个时刻都不能开车。

对于一天喝次酒还能否开车的问题我们也进行了讨论。

本文对所建模型进行了评价，最后对饮酒驾车者提出了忠告。

关键词：饮酒驾车；微分方程模型； 

据报载，2003年全国道路交通事故死亡人数为10.4372万，其中因饮酒驾车造成的占有相当的比例。

针对这种严重的道路交通情况，国家质量监督检验检疫局2004年5月31日发布了新的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》国家标准，新标准规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克／百毫升，小于80毫克／百毫升为饮酒驾车（原标准是小于100毫克／百毫升），血液中的酒精含量大于或等于80毫克／百毫升为醉酒驾车（原标准是大于或等于100毫克／百毫升）。

⑴人的体液占人的体重的65%至70%，其中血液只占体重的7%左右；而药物（包括酒精）在血液中的含量与在体液中的含量大体是一样的。

⑵体重约70kg的某人在短时间内喝下2瓶啤酒后，隔一定时间测量他的血液中酒精含量（毫克／百毫升），得到数据如表9-1。

大李在中午12点喝了一瓶啤酒，下午6点检查时符合新的驾车标准，紧接着他在吃晚饭时又喝了一瓶啤酒，为了保险起见他呆到凌晨2点才驾车回家，又一次遭遇检查时却被定为饮酒驾车，这让他既懊恼又困惑，为什么喝同样多的酒，两次检查结果会不一样呢？

请你参考前面给出的数据（或自己收集资料）建立饮酒后血液中酒精含量的数学模型，并讨论以下问题：

1．问题一：对大李碰到的情况做出解释；

2．问题二：在喝了3瓶啤酒或者半斤低度白酒后多长时间内驾车就会违反上述标准，在以下情况下回答：

⑴酒是在很短时间内喝的；

⑵酒是在较长一段时间（比如2小时）内喝的。

3．问题三：怎样估计血液中的酒精含量在什么时间最高；

4．问题四：根据你的模型论证：如果天天喝酒，是否还能开车？

5．问题五：根据你做的模型并结合新的国家标准写一篇短文，给想喝一点酒的司机如何驾车提出忠告。

1．不同年龄段，不同性别，不同种族的人的酒精代谢功能大致相同；

2．喝的都是同一种酒，酒精含量相同；

3．血液中的酒精含量与在短时间内喝下的啤酒中的实际酒精含量成正比；

4．大李的体重大约为70kg；

5．假设血液的密度为1g/ml；

6．酒精在血液中的含量与在体液中的含量大体相同。

众所周知，司机酒后驾车的危险性非常大，我国道路交通事故中因饮酒驾车造成的占有相当比例，如何抑制？找出饮酒后酒精在血液中的变化规律至关重要。我们可以根据题目所给的参考数据做出散点图，找出血液中酒精含量与时间的函数关系；我们也可以由相应的医学、化学，以及数学知识，建立微分方程，找出血液中酒精含量与时间的函数关系。由这些函数关系分析解决如何控制饮酒、安全驾车的问题。

从某人喝下2瓶啤酒后血液中的酒精含量表9-1中所给的数据可分析出，并不是喝下2瓶啤酒后血液中的酒精含量立即达到2瓶啤酒中实际的酒精含量。通过查阅医学资料可知，自饮酒后2-5分钟酒精开始入血液，随着身体对酒精的吸收，血液中酒精含量逐渐上升，在某一时刻达到了峰值，由于人体内时刻进行着代谢，所以在达到某一峰值之后血液中的酒精含量将会衰减并逐渐趋向于0。某体重70kg的人喝下2瓶啤酒，通过查阅资料知1瓶啤酒的酒精含量为3.5%-4%，容量为640ml，酒精的密度为0.8kg/L。在喝下2瓶啤酒后血液中的实际酒精含量代入数据得203毫克/百毫升，所给数据的酒精含量都小于203毫克/百毫升，因此所给数据符合由于体内酒精代谢而导致酒精含量变化的规律，所以给出的血液中的酒精含量的数据可信性较高。

1．模型一：基于假设3，体重约70kg的某人在短时间内喝下1瓶啤酒后，隔一定时间血液中的酒精含量如表9-2。

表9-2  某人洒后一定时间间隔内体内血液中的酒精含量变化表

基于表9-2所给出的数据，运用可作出中作出酒精含量散点图，见图9-1。

图9-1  酒精含量散点图

根据散点图猜测血液中酒精含量与时间的关系为

                                                                                                  （9-1）

其中为常数。

为了确定模型（9-1）中的常数，对（9-1）式两边取对数，得：

我们用表9-2中的数据通过计算出，这样得到

                                                                                          （9-2）

我们分别将不同的时刻带入模型（9-2），可以求得不同时间间隔内血液中的酒精含量，见表9-3。

表9-3  血液中的酒精含量变化表

从表9-3中看出拟合的数据并不理想，运用此模型也不能够合理解释问题1，所以此模型不够合理，我们将进一步改进。

2．模型二：受模型一的启发，并注意到模型一中的满足，而是表示血液中酒精含量关于时间的弹性，这一弹性并非像模型一给出的。事实上，酒精在血液中含量的变化的规律是这样的：刚开始喝酒的时候时间变化1%，血液中酒精含量变化的百分数较大，但喝下酒后较长时间的时候血液中酒精含量变化的百分数较小。也就是酒精在人体内变化的弹性系数是线性下降的变化趋势，所以假设

从而可得模型

                                                                                           （9-3）

其中a,b为大于0的常数。

（9-3）是一阶微分方程，其通解为：

                                                                                                    （9-4）

其中C为积分常数。

为了确定（9-4）式中的常数a,b,，对等式两边取对数，得：

利用表9-2中数据，用最小二乘法拟合出常数；可决系数达到了0.9789，两参数的统计量的值分别为：8.5056和-20.7408，是高度显著的。

得：C=44.1141,a=0.464667,b=0.264028

代入（9-4）得：

                                                                           （9-5）

我们将拟合的图形与实际的散点图相比较如图9-2所示。

3．模型三

我们认为由模型二确定的常数a,b 对于饮酒量来说是不变的，为了表示喝瓶酒后血液中酒精变化的规律，我们让模型二中的积分常数C随着饮酒量的变化而变化，记为，又假设在短时间内喝下瓶酒，这样得

                                                                             （9-6）

其中表示在短时间内喝下瓶酒时血液中的酒精含量。

（9-6）式是一个方程组，其中表示在喝完瓶酒后0.25小时时血液的酒精含量，从而得应满足方程

                                                                     （9-7）

图9-2  拟合曲线与对应的散点图              图9-3  在2小时内喝完酒后t时刻血液中的酒精含量走势图

4．模型四

模型三中没有考虑酒是在一段时间内喝下的，这与实际情况不符，我们在模型三的基础上，建立在[0,T]时间内连续喝下瓶酒后血液中的酒精变化规律模型，其中假设在[0,T]时间内分M次喝完瓶啤酒，每次间隔的时间为，每次喝下后进入到血液中的酒精含量为，第次喝下酒后血液中的酒精含量满足下列方程：

                 （9-8）

其中表示在T时间内第k次喝下酒后到 t 时刻血液中的酒精含量。

 根据题目中的具体情况，假设T=2小时，M=8，，代入（9-8）得：

                                    （9-9）

在2小时内喝完酒后t时刻血液中的酒精含量走势图见图9-3。