马尔萨斯生物定律与人口增长模型

马尔萨斯生物总数增长定律指出：在孤立的生物群体中，生物总数的变化率与生物总数成正比，其数学模型为

（1）

其中为常数. 方程（1）的解为

（2）

因此，遵循马尔萨斯生物总数增长定律得任何生物都是随时间按指数方式增长，在此意义下，马尔萨斯方程（1）又称指数增长模型。人作为特殊的生物总群，人口的增长也应满足马尔萨斯生物总数增长定律，此时的（1）式称为马尔萨斯人口方程。

英国人口学家马尔萨斯根据百余年的人口统计资料，于1798年提出了人口指数增长模型。根据国家统计局1990年10月30日发布的公告，1990年7月1日我国人口总数为11.3368亿，今年的人口平均增长率为14.8‰. 假设人口的增长率保持不变，那么2000年我国的人口数量将达到13.45亿。

事实上，将 代入到（2）式得

（亿）

显然根据马尔萨斯人口方程预测2000年我国人口数量与全国第五次人口普查公报公布的12.9533亿，相差较大。造成误差过大的主要原因是人口的增长率不是常数，它是随时间而变化的，很多试验和事实也证明是时变的。为此修改马尔萨斯人口方程为

(3)

其中为时变人口增长率，为定常参数。求解微分方程（3），得其特解为

（4）

要利用（4）式对人口进行预测，首先应估计参数。第三次人口普查结果（1982年）：我国人口总数为10.3188亿，人口增长率为2.10%；第四次人口普查结果（1990年）：我国人口总数为11.3368亿，人口增长率为1.48%；第五次人口普查结果（2000年）：我国人口总数12.9533亿，人口增长率为1.07%。根据上述数据，取，由得方程组

（5）

求解方程组（5）得。

根据（4）和（5）的结果，以1990年人口普查数据为依据，来预测2000年的人口值，其中亿，则

上述结果看出，利用修改的马尔萨斯人口模型预测2000年的人口总数比利用原模型的预测精度提高了很多。