从数学认知剖析数学教学对策范文

数学教学的根本任务就是:学生在教师的引导下能动地建构稳定正确的数学认知结构,使学生在数学知识的学习中,体会数学思想方法,让学生的思维能力得到全面发展的过程,最终提高学生的问题解决能力。

1明确数学认知结构的内涵

数学认知结构是数学知识结构在学生头脑里的反映,它是学生在学习的过程中逐步积累起来的在数学方面的能力系统。这些能力可包括三种类型:一是基本概念的概括能力(言语信息或表象信息),它是学生通过学习一些数学概念和数学命题之后形成的;二是数学方法的选择能力,它是学生在运用基本理论知识,选择适当的数学方法来解决问题的过程中形成的;三是数学问题的解决能力,即数学建模能力(最高层次的能力)。

2熟悉学生原有的数学认知结构

最好的教学方法是对话式。要使学生有效地接纳新知识,学生认知结构中必须具备适当的观念。因此,要发展学生正确稳定的数学认知结构,教师首先必须熟悉学生原有的数学认知结构,这样才能知道选择教什么和怎样教。例如,在进行二重积分概念的教学时,教师应当了解学生是否还清楚一元定积分的相关概念,如发现学生原来概念不清,教师就应当从一元定积分概念引入二重积分的概念。当教师对学生的数学认知结构有了全面的了解之后,就可以通过适当的教学手段帮助学生建构那些缺少的概念,明晰那些模糊的概念,强化其稳定性。

3创设新旧数学知识认知结构过渡桥梁。有意义学习的条件之一是学生必须具有有意义学习的心向,即学生积极主动地把符号所代表的新知识与他的认知结构中原有的适当观念加以联系的倾向性。要使学生具有这种“心向”,教师就要创设新旧数学知识认知结构过渡桥梁,即创设恰当的问题情境。恰当的问题情境应具备以下条件:

3.1激发学生的学习兴趣。爱因斯坦说过:“兴趣是最好的老师”。没有兴趣,学习就没有智慧和灵感。所以数学的课堂教学要善于把抽象、繁琐的理论直观化、简单化,让学生易于接受。教师应用恰当的例子、直观的几何图形和生动的比喻,教师可将“神舟六号飞船”为何将其运行轨道从椭圆变轨的圆形轨道,珠穆朗玛峰高度的重新测量的基本方法依据勾股定理为例介绍给学生。使他们懂得用数学理论解释生活中的现象,如用数学中连续定义解释植物的连续生长;用导数概念解释运动变化的快慢;不仅加深了学生对这一概念的理解,而且也利于培养他们对数学的兴趣。

3.2问题情境是学生熟悉的。最好是从学生熟悉的生活情境和生产实际这些角度去创设问题情境,才可能使学生主动积极地建构他们的数学认知结构。教师提出问题的方式和问题的难度要适度,让学生跳一跳能摘到“桃子”。当进行函数连续性的教学时,教师可问:①温度是连续变化的,10分钟(或1分钟、0.001秒)内你能感觉到它的变化吗?在思考后让学生得出函数连续的定义。教师可用刘徽割圆术的思想创设定积分概念的情景。教师可用“多米若骨牌”倒牌过程帮助学生建立数学归纳法的概念。

3.3.在数学教学中推迟判断,不要过早地下结论,给学生留有创建新的数学知识认知结构的时间。判断可视为压缩了的知识链,数学定理、性质、法则、公式、规律等都是一个个具体的判断。教学中要引导学生积极应用数学思想,参与这些结论的探索、发现、推导的过程,并弄清每个结论的因果关系。最后再引导学生归纳得出结论。

4突出数学认知结构的“上层建筑”。数学思想是数学的精髓,它融合在数学知识和方法中,亦是学生建立稳定的数学认知结构的“上层建筑”。教师教学的重点往往就是需要有意识地运用或揭示数学思想,教学中的难点,往往与数学思想方法的更新交替、跳跃性较大有关。因此,掌握重点、突破难点,教师更要有意识地运用数学思想组织教学。有些数学思想在教材中有些是显映形态,还有些数学思想处于隐潜形态。教师应该将深层知识揭示出来,将隐潜形态转变为显映形态,让学生对数学思想的朦胧感受转变为明晰、理解。教学的目的就是要使学生能把学得的内容迁移到新情境中去。知识越具体,应用的范围越狭窄,只能用于非常具体的情境,也容易遗忘;概括性越高,其应用的范围就越广,随时可用于任何情境中的类似问题,也有利于保持。数学思想方法是数学中的一般性的原理,它有高度的概括性,有助于学习的迁移。因此,要发展学生正确稳定的数学认知结构,就必须要突出数学思想方法的教学,帮助学生建构思想方法层次上的数学观念。例如,象配方法、换元法、待定系数法、判别式法、反证法、数学归纳法这一类基本方法;象实验、观察、猜想、类比、分析、综合、抽象、概括、分类、归纳、演绎这一类思维方法;以及象方程的思想、函数的思想、极限的思想、数形转化的思想、化繁为简的思想、化立体为平面的思想、特殊与一般的互化的思想、正难则反的思想、顺推与逆推之结合的思想、动静之转化的思想这一类高层次的思想观念。

5把握数学认知结构的关键。我们知道:层次分明的观念网络结构是正确稳定的数学认知结构的特征之一。因此,教师把握教学的整体性,是建立稳定数学认知结构的关键。整体性教学有两个方面的要求:首先把握知识模块的教学。孤立的知识教学不可能建立起层次分明和联系紧密的观念系统。因此,新知识的教学不能孤立进行,应把新知识纳入原有的观念系统中进行整体考虑,使新知识与原有的相关知识相联系,并把这些有联系的知识点重新组织为一个大的知识组块。这样,既有利于知识的保持又有利于知识的检索与应用。例如,学导数的应用之后,如果不作进一步的组织加工,那么这些孤立的知识是难以保持和应用的。但如果教师引导学生把导数的几种应用放在一起进行观察、比较、分析,最后概括为新的知识模块“函数的导数的应用就是函数图象切线的应用”那么学生的数学认知结构就得到优化。其次把握由整体到部分,再由部分到整体的教学。数学知识结构是由一些部分构成的有机整体,它具有严密的逻辑性和完备的系统性。整体由部分构成,要把握整体,就要先揭示整体的结构和掌握部分。因此,教师教学中,应首先从部分到整体。在数学教学中,整体主要表现为一个各小节、各章中,部分则是一些具体的知识内容。教师可以就将要学习的部分章节知识中一些关键和重要的内容,提出相应的问题,造成学生认知上的冲突,接着从知识的整体性的研究对象、研究方法和用途等方面给学生一个全面的概述,使学生对这一知识章节有一个整体的认识。再次仅仅掌握部分是不够,更要把握各个部分的关系。系统论告诉我们,任何系统的整体功能等于各个部分功能之和加上各个部分相互联系而形成的结构功能。在部分功能不变的情况下,整体功能的大小取决于各个部分的联系。因此,要根据各个部分之间的关系(如从属关系、交叉关系、逻辑关系等等)把这些部分联系起来,形成一个层次分明、类别清楚和联系紧密的网络结构。例如在定积分的应用中,教师只有用微元法在几何上、物理上的应用题,通过这些应用例子之间的一般方法与联系,整体把握微积分中微元法思想,学生才能理解掌握定积分的应用。

6应用建立数学认知结构的“加速器”。计算机多媒体技术辅助教学是学生建立稳定的数学认知结构的“加速器”。使用计算机多媒体技术辅助教学,能使抽象的数学问题具体化,枯燥的数学问题趣味化,静止的数学问题动态化,复杂的数学问题简单化等等。这将加速学生新旧数学认知结构的过度和新的数学认知结构创立。对提高课堂教学效率、培养学生的能力将发挥巨大的作用。利用计算机辅助教学,突破创建学生新的数学认知结构的难点。教师可以开数学实验的形式传授数学计算绘图软件(如Mathematica、MathC-DA等数学软件)运用技巧。在数学课堂教学中,用计算机来实现辅助教学,它以鲜艳的色彩、优美的图案、直观形象地再现了客观事物,充分调动学生的积极性,吸引长期的注意力,以轻松愉快的心情参与到课堂教学中来。事实上,应用计算机多媒体辅助教学可以解决老师难以表现的数学抽象概念和空间图形,起到事半功倍的教学效果。例如:函数图像的绘画、函数连续定义和定积分概念的描述、空间解析几何教学等,利用计算机辅助教学也有着独到的优势。数学知识直观形象了,课堂信息量加大,交互性更强。于是,抽象的概念容易理解了,突破了学生认知结构的难点,加快了学生稳定的数学认知结构的建立。应用计算机辅助教学应注意以下问题:①要比较传统教法和计算机辅助教学适用度,不是所有的内容都适合使用计算机。②设计数学课件要力求简洁,清晰,能促进理解。防止无关的内容干扰了学生新的数学认知结构的建立。③应用计算机辅助教学不能完全扬弃教师的板书;④应用计算机辅助教学注意控制节奏,重视学生的思考与参与,教学中仍应注意学生抽象逻辑思维的培养。⑤应用计算机辅助教学提高数学课件的利用率,将数学课件上网或将课件拷贝给学生。实践证明:在数学课堂教学中恰到好处地运用计算机辅助教学技术进行形象、生动的描述,能从不同角度以不同方式展现数学认知结构的内在规律,突破时间、空间、抽象、宏观、微观的限制,让学生形象、生动愉快过程中创建数学认知结构,有利于学生创新意识和能力的培养。

7丰富数学认知结构的文化特性所谓“数学文化”,即从文化的角度来理解数学。从广义上,文化是指人类创造的精神文明和物质文明的总和。数学是人类精神文明的硕果,亦是数学认知结构的文化特性。美国当代数学教育家克莱因提出:“数学一直是形成现代文化的主要力量,同时又是这种文化极其重要的因素。”教师善于把数学文化的哲学观、历史观、美学观突显于数学课程与教学中,丰富学生数学认知结构的文化特性。

7.1用数学文化的哲学观明辩数学。在数学许多知识系统中蕴含着深刻的哲学思想:用普遍性和特殊性原理来理解数列的多元函数的全微分与偏导数;用联系转化观来理解微分和积分两种运算方式之间的联系和相互转化;用偶然与必然的辨证观点理解概率论中所揭示的事物的必然性与偶然性的内在联系;用对立统一观和量变引起质变的哲学观理解圆锥曲线的统一定义。在函数导数教学中以“以直代曲,以静代动”为例,升华为哲学化的结论:“在运动中寻找平衡,在普遍中寻找特殊”,这样的结论具有方法论上的普遍意义。数学教学应当体现的是从哲学上考察数学,用哲学的观点来剖析数学,从而帮助学生建立稳定的数学认知结构,更好地预测和发现数学的规律,更广泛地应用数学。

7.2用数学文化的历史观追溯数学。教师在教学中,结合教材向学生介绍数学发展史。例如祖氏父子的数学成就、刘徽的割圆术、《九章算术》和《张邱建算经》等。利用微积分的发展历史,向学生展示17、18世纪诸如牛顿、来布尼茨等欧洲数学家的智慧。帕斯卡对数学归纳法的贡献,让我们感受到一种递推证明思想的早期应用。数列的历史,让我们体验到欧洲文艺复兴时期数学的繁荣。

7.3用数学文化的美学观欣赏数学。数学美具有科学美的一切特性,不仅具有逻辑美,更有奇异美;不仅内容美,而且形式美;不仅思想美,而且方法美;不仅技巧美,而且简洁匀称美。在教学中,要利用数学美来熏陶学生的情操,同时要引导学生利用数学美的特征和规律来建立数学认知结构,达到“以美启真”的教育目的。展现数学美学观主要有:(1)渲染数学的外在美。无论是几何中的图形还是代数中的公式都给人以对称、和谐的美观感受。在教学中让学生尝试用数学工程计算软件绘画二、三维图形,展现函数图形的外形美;还可以引导学生用美学观点来猜测和认识数学公式。例如:欧拉公式。(2)发掘数学的内在美。许多数学对象不仅具有外在美,还蕴含内在美。教学中体验用罗比达法则求极限的快捷,微分、积分解决几何物理问题的干练,用幂函数展开研究函数“入木三分”,又会感到其内在的美学价值。(3)感受数学的神奇美。数学的神奇美往往来自于“出人意料”但又在“情理之中”的感受。当两个圆柱体垂直相截后将截面展开,其截线所对应的曲线竟然是一条正弦曲线时,著名的“斐波那契数列”:1、1、2、3、5、8、13、21、…,这个数列揭示了大自然中许多数学奥秘,如花瓣的瓣数、向日葵的花盘、鹦鹉螺的螺旋形躯壳,等等;而且这个数列又引出了著名的黄金比例1.618!(菲波那契数列中,从第一项起每一项与其后面一项的比的极限为黄金分割律),学生无不为这些美妙的结论而感到神奇。(4)欣赏数学的艺术美。数学的美学风格与艺术风格是一脉相承的。徐利治先生曾将数学概念和诗的意境相结合,如借“孤帆远影碧空尽”来描述极限;随着计算机技术的迅猛发展,数学分形艺术又以其无穷魅力带给我们新的艺术享受。