孪生素数猜想和哥德巴赫猜想的初等证明

姓名：王彦会

邮编：050300

地址：河北省井陉县井新碳素公司

 

我们把能产生素数的公式叫素数几率公式，如2N+1，4X+1，4X+3，6X+1，6X+5，2^P-1,2^F+1,……，等等。

   能产生无穷多素数的，可以无限优化（在某区域使素数和合数比例反转）的，叫可优化素数几率公式。是可以无穷的优化的。

   只产生有限个素数的，叫合数公式或有限素数几率公式。

如下为优化的几率公式，n=11m-3,f1(n)=n(n+1)+101,f2(n)=f1(n)+2,f3(n)=f1(n)-2,

其中f1(n)前21项中只有2个合数，表中有4对孪生素数，（此法也算1种优化法，但不是最好的，丢了许多素数如n=11m-1的情况，最好的用到高斯函数）

 

m   n=11m-3 f1(n)  f2(n)   f3(n)

 

1,8,173,175,171

2,19,481,483,479

3,30,1031,1033,1029

4,41,1823,1825,1821

5,52,2857,2859,2855

6,63,4133,4135,4131

7,74,5651,5653,5649

8,85,7411,7413,7409

9,96,9413,9415,9411

10,107,11657,11659,11655

11,118,14143,14145,14141

12,129,16871,16873,16869

13,140,19841,19843,19839

14,151,23053,23055,23051

15,162,26507,26509,26505

16,173,30203,30205,30201

17,184,34141,34143,34139

18,195,38321,38323,38319

19,206,42743,42745,42741

20,217,47407,47409,47405

21,228,52313,52315,52311

22,239,57461,57463,57459

23,250,62851,62853,62849

24,261,68483,68485,68481

25,272,74357,74359,74355

26,283,80473,80475,80471

27,294,86831,86833,86829

28,305,93431,93433,93429

29,316,100273,100275,100271

30,327,107357,107359,107355

31,338,114683,114685,114681

32,349,122251,122253,122249

33,360,130061,130063,130059

34,371,138113,138115,138111

35,382,146407,146409,146405

36,393,154943,154945,154941

37,404,163721,163723,163719

38,415,172741,172743,172739

 

     素数的可优化几率公式，在理论上有重要应用，如证明数论问题。

孪生素数猜想的1种证明：

    设f(n)=(n+1)(n+2)-5,则可以证明4(f(n))+1,4(f(n))+3,都是可优化几率公式，就是含无穷素数的，设f1(n)是优化后的函数，且4(f1(n1))+1,4(f1(n2))+3都是素数，则4(f1(n1))+1,4(f1(n2))+3在全集（某区域）中占多数，当n1=n2时为孪生素数。

    令X=(N+1)(N+2)-5，Y1=4X+1，Y2=4X+3，对X优化时要同时照顾到Y1Y2，当Y1有素因子为3，7，而Y2有5，11时，在X中同时去掉能使Y1Y2能被这这4个素因子整除的项，这样使Y1Y2的项数的集合的全集1致，直到使Y1Y2中的素数合数比例反转，或使其中1个在某数段素数连续，而另1个数列在相同数段仍含有素数，这样就有孪生素数对。这是必然的，证明如下。

 

    必然性的证明：这2个数列完全不同，尤其其中的素数完全不同，新的素数一旦出现，必然在后面数列中成为新的素因子，证明如下。

命题：X=(N+1)(N+2)-5，Y1=4X+1，Y2=4X+3，若N=A时，P=4X+1为素数，则N=P+A时，Y1=4X+1必然能被P整除。

证：N=P+A，Y1=4X+1=4*((P+A+1)(P+A+2)-5)+1=4*(（P+A）^2+3P+3A+2-5)+1=4*(P^2+2PA+3P+A^2+3A+2-5)+1=4*(P^2+2PA+3P+(A+1)(A+2)-5)+1=4*(P^2+2PA+3P)+P,

   故能被P整除.

所以，在任何数段都不会素因子完全相同，而只有素因子完全相同，才会使2个数列中的素数合数正好交互出现。

 

每个素因子总是贯穿始终的，任何1个素因子从开始出现就按其固定周期循环出现，以至无穷，所以，在任何数段都不会素因子完全相同。

    这样，只要都含有无穷素数，素数出现位置相同的情况就永远存在，故孪生素数对就是无穷的。

 

    素数因子必然有相同的，所以，素数合数在2个数列中交互出现的情况也永远存在，所以，孪生素数对是越来越稀。故，孪生素数猜想成立！

为何只有素因子完全相同，才会使2个数列中的素数合数正好交互出现？

    这个证明如下：

令X=N(N+1)-5，Y1=4X+1，Y2=4X+3，当Y1=4X+1某项能被P整除时，记为Y1=4X+1=PX，而对应的另1个数列的对应项为Y2=4X+3=PX+2则不能被P整除，若2数列素因子完全相同，记为Y1=4X+1=P1*P2*P3*……*PX+A，Y2=4X+3=P1*P2*P3*……*PX+A+2，显然对应项除以相同因子余数不能同时为0，

   则不能同时为合数，素数合数交错出现，但也可以同时为素数，所以孪生素数必然存在。若出现1个不同的素因子，则情况被破坏，就可以出项同时为合数的情况。

  设Y1=4X+1=P1*P2*P3*……*P*Q1X1+A，Y2=4X+3=P1*P2*P3*……*P*Q2*X2+B，

由于Q1≠Q2，则能被Q1整除的项和能被Q2整除的项循环出现周期不同，2者大部分情况不会正好是对应（相同位置），可以有某点相同，所以对应的情况是少数，而当刚开始出现合数对时，孪生素数对比它反而是多数，若某点出现合数对，则可以周期出现，若不能被P1,P2,P3,……P,Q1,Q2整除的是素数，则对应项同时为素数，就是说，这就证明了，不是仅不能否定素数对的可能性，而是确定素数对是必然存在的，且只要素数是无穷多，素数对将无穷多！

    故孪生素数对虽然越来越稀但永远存在，直到极限为0。（这回算证据确凿了吧）

 

设n1元素组成集合A，n2的元素组成集合B，AB的全集相等，则AB的交集C必不为空集，（在全集中占到超过1半的2个子集必有交集）。

    如下图：(集合图，略)

  由于该公式可以无穷的优化，所以，C中的元素是无穷的，故孪生素数有无穷多对。

      同理可证明，

     差为4的素数对有无穷多对，

     差为6的素数对有无穷多对，

     差为8的素数对有无穷多对，

     ……

     差为2N的素数对有无穷多对，

 得定理1：任意2个素数的差（包括自身相减）得到全体偶数。

     定理2：任意2个素数的和可构成大于等于4的全体偶数（这就是哥猜），是前面定理1的推论，看来是简单的，为何“官猜”认为是没有理论工具可以解决呢？？

     这可是基础理论！

 

如下数列的前44项中有11对孪生素数，X=N(N+1)-5，Y1=4X+1，Y2=4X+3，

 

N X   Y1  Y2

1,-3,-11,-9

2,1,5,7

3,7,29,31

4,15,61,63

5,25,101,103

6,37,149,151

7,51,205,207

8,67,269,271

9,85,341,343

10,105,421,423

11,127,509,511

12,151,605,607

13,177,709,711

14,205,821,823

15,235,941,943

16,267,1069,1071

17,301,1205,1207

18,337,1349,1351

19,375,1501,1503

20,415,1661,1663

21,457,1829,1831

22,501,2005,2007

23,547,2189,2191

24,595,2381,2383

25,645,2581,2583

26,697,2789,2791

27,751,3005,3007

28,807,3229,3231

29,865,3461,3463

30,925,3701,3703

31,987,3949,3951

32,1051,4205,4207

33,1117,4469,4471

34,1185,4741,4743

35,1255,5021,5023

36,1327,5309,5311

37,1401,5605,5607

38,1477,5909,5911

39,1555,6221,6223

40,1635,6541,6543

41,1717,6869,6871

42,1801,7205,7207

43,1887,7549,7551

44,1975,7901,7903

45,2065,8261,8263

46,2157,8629,8631

47,2251,9005,9007

48,2347,9389,9391

49,2445,9781,9783

50,2545,10181,10183

 

    数列X=N（N+1）+101含有无穷素数，以及其他类似数列含有无穷多素数的证明，是很重要的。可以有多种方法，我的方法太烦琐，道理简单，各位朋友可能有巧妙简单的方法，所以我的不发了。

 

    命题:F(N)=(N+1)(N+2)-5，Y1=4F(N)+1，Y2=4F(N)+3,数列Y1,Y2中含无穷素数。

证:

    对称性:若Y1中第A项为合数,能被M整除,则在M项中,以某项为中心,对称的另1项必能被M整除.(M必须为素数,下同,若M为合数,则在同一周期会有许多对称中心,会有多个合数,因为该周期是由多个小周期组成.)证明:4*(F(M-A-3))+1=4((M-A-1)(M-A-2)-5)+1=4(M^2-2AM-3M)+4F(A)+1

由于4F(A)+1能被M整除,则4*(F(M-A-3))+1能被M整除,对称性成立.

    周期性:若Y1中第A项为合数,能被M整除,则在后面每M项中的第A项为合数,能被M整除,

     证明:

4*(F(KM-A-3))+1=4((KM-A-1)(KM-A-2)-5)+1=4(K^2*M^2-2KAM-3KM)+4F(A)+1

由于4F(A)+1能被M整除,则4*(F(KM-A-3))+1能被M整除,周期性成立.

    非对称性:某奇数M1,在M1项内有且只有1个能被M1整除.

    证明:M1为特殊素数,在同一周期内能被M1整除的项位置特殊,对称项是他本身,所以只有1项,如其正好是对称中心.实际我们用的是函数F(N)=(N+X)(N+X+1)-2X或(2X+1),与F(N)=N(N+1)-1不同,实际对称中心与X有关系(设M为素数,一般的,对函数F(N)=(N+X)(N+X+1)-2X,若F(A)为合数,则F(M-A-2X-1)必为合数,所以对称中心项为第(M-2X-1)/2项).

    据素数M做除数,余数在同一周期的对称中心1侧,没有重复的项,这1规律(可以用数学归纳法证明,略),在同一周期,最多只能有2项能被素数M整除.

   所以,在M^2项以内,不能被M1,M2,M3.……M整除的项所占比例为:

   (M1-2)(M2-2)……(MX-1)……(M-2)/M1M2M3……MX……M,(可以用数学归纳法证明)

分子小于分母,分子增大速度小于分母,故极限为0,就是说,当且仅当M为无穷多,比例才为0,实际无穷大是永远不会达到的,古人说"1尺之棰,日取其半,万世不竭",就是这个道理,据素数判定定理,M^2以内不能被M1,M2,M3.……M整除的项,必为素数,所以M^2以内有无穷多素数.

    可见，随着新的不同的素因子越来越多合数越来越稠密，素数越来越稀少，但永远不会为0。

    同理可证其中的合数也是无穷多.

    由于素数与合数是互补的,所以合数的比例为:

1-(M1-2)(M2-2)……(MX-1)……(M-2)/M1M2M3……MX……M,

    极限为1,当且仅当M为无穷多时比例才为1.(有人说素数是有限的,合数是无穷的,达到某值后,再也没有素数了,这是错误的,与极限理论矛盾,与古人研究矛盾.)

    所以数列Y1中有无穷素数,同理,Y2中有无穷素数.

证毕!

(M1-2)(M2-2)……(MX-1)……(M-2)/M1M2M3……MX……M,(可以用数学归纳法证明)

分子小于分母,分子增大速度小于分母,故极限为0,就是说,当且仅当M为无穷大,比例才为0,实际无穷大是永远不会达到的,古人说"1尺之棰,日取其半,万世不竭",就是这个道理,据素数判定定理,M^2以内不能被M1,M2,M3.……M整除的项,必为素数,所以M^2以内有无穷多素数.

同理可证其中的合数也是无穷多.

    由于素数与合数是互补的,所以合数的比例为:

1-(M1-2)(M2-2)……(MX-1)……(M-2)/M1M2M3……MX……M,

极限为1,当且仅当M为无穷大时比例才为1.(有人说素数是有限的,合数是无穷的,达到某值后,再也没有素数了,这是错误的,与极限理论矛盾,与古人研究矛盾.)

所以数列Y1中有无穷素数,同理,Y2中有无穷素数.

这里是指M越多合数越稠密，M个数不变，只是增大，则合数变稀，作用相反

 

例1：

9*59/（11*61）=0.7913561847988077496274217585693，

9*69/（11*71）=0.79513444302176696542893725992318。

前者小于后者，

例2：

9*59/（11*61）=0.7913561847988077496274217585693，

9*59*69/（11*61*71）=0.76906446128334837639848030058143，

前者大于后者，这才是递减数列，发展到无穷，极限为0.

前述2数列中孪生素数对永远存在的必然性再证明如下：

设M以内不能被P1*P2*P3*……*P*Q1Q2整除的为素数，

设Y1=4X+1=P1*P2*P3*……*P*Q1X1+A，在另1数列的对应项为。Y2=4X+3=P1*P2*P3*……*P*Q2*X2+B，

则这2项全为素数，构成孪生素数，无论M为何值，此情况永远存在。

由于前面已证明素数永远存在，素数与合数对子，孪生素数对，就永远存在，由于2数列中素数因子不是完全相同，故不可能仅存在素数与合数对子。

合数对出现后，可以周期循环出现，合数对会越来越稠密，但合数对子，素数与合数对子，孪生素数对，3者并存不能互相完全取代，仅是比例不断变化，当项数达到某值，就会出现如下比例关系：

合数对子>素数与合数对子>孪生素数对，此关系1出现，就保持到无穷，直到极限为0。

     故孪生素数对虽然越来越稀但永远存在，且这样的2个数列我们会找到无穷个，所以，孪生素数对是无穷多的.

 

据前面命题,Y1,Y2有无穷素数,所以是可以无限优化的,所以,据前面的交集运算规律知,Y1Y2中含有无穷孪生素数对.

    则孪生素数猜想正确!

 

由定理1能推出定理2吗?是肯定的。

    证明:

命题:大于等于4的偶数可以表示为2个素数的和.

证:设P1,P2,P3为任意素数,且P1>=P2>=P3>=3

     由定理1知,P1-P2=0,2,4,6,……

则P1=P2+0,2，4，6,……,则P1+P3=P2+P3+0,2,4,6,……

右侧有连续偶数,P2+P3>=6,故右侧为连续偶数,

又2+2=4,

 故大于等于4的偶数可以表示为2个素数的和.

再看如下方程组:

  P1+P2=2M,

P1-P2=2N,

  故P1=M+N,P2=M-N,

表面看N不连续不影响M的连续,实际是由于P1或P2中某类素数缺少所至,若N中有1处不连续,则M中必有多处不连续,故2者有因果关系.

   故定理2得证!

 

命题：差为2，4，6，8，……的相邻素数对都是无穷多的，

证明：

前面已经证明，差为2，4，6，8，……的素数对有无穷多，下面证明其中有无穷多为相邻素数对。

差为2的素数对全部为相邻素数对，下面证明差大于等于4的情况，

命题（1）：除了3，7以外，其他差为4的素数对全部是相邻素数对。

证：由于3个连续奇数必然有1个能被3整除，故，除了3，7以外，其他差为4的素数对中间就不可能再有素数，故命题1得证！

命题（2）：差为6的素数对有无穷多是相邻素数对。

证：前面已经证明差为6的素数对有无穷多。

我们可以找到这样2个素数几率公式，对应项差为6，如Y1=N（N+1）+101，Y2=N（N+1）+107，

中间可以加2个几率公式，如Y3=N（N+1）+103，Y4=N（N+1）+105，

据这几个素数几率公式的特性，差为6的素数对中间必然可以加入新素数，也可以有中间无素数的情况。

由于不可能连续3个奇数全为素数，更不可能连续4个奇数全为素数，故差为6的素数对中间最多只能有1个素数，而这种情况是越来越稀的，中间没有素数的情况是越来越稠密的，2者都是无穷多的，故差为6的相邻素数对有无穷多，命题2得证。

同理可证差为8的相邻素数对有无穷多，

差为10的相邻素数对有无穷多，

差为12的相邻素数对有无穷多，

……，

差为2N的相邻素数对有无穷多。

    对“据这几个素数几率公式的特性，差为6的素数对中间必然可以加入新素数”，这一点的证明：

  前面已证明，这样两个几率公式，对应项为素数对，半对，合数对的情况永远存在，但比例不断变化（这就是1特性），设素数对为1个素数，其他看作合数，中间再加入1个几率公式，据特性，则必然出现素数对，但比例更少，同时有合数对，

    若中间加入2个几率数列呢？

为了避免出现连续3个奇数为素数对的情况，把半对子看作素数，素数对当作合数，而能产生3个连续奇数为素数对的半对子也看作合数，这样中间加入2个几率公式仍然能产生素数对，但比例更少，与前面定理和特性不矛盾，就是说据这几个素数几率公式的特性，差为6的素数对中间必然可以加入新素数，但不会出现连续3个奇数均为素数，证毕！

 

虽然偶数差的大小顺序偶尔有反跳，比如先出现大的后小的，但没有最大值，N不确定，可以取无穷大，相邻素数对中全部大于等于2的偶数差都有无穷的。原命题得证!

 

综合所述，孪生素数猜想正确，有无穷对差为2的素数对，定理1正确，哥德巴赫猜想正确，全文完