日志
主成分分析
Matlab语言是当今国际上科学界 (尤其是自动控制领域) 最具影响力、也是最有活力的软件。它起源于矩阵运算，并已经发展成一种高度集成的计算机语言。它提供了强大的科学运算、灵活的程序设计流程、高质量的图形可视化与界面设计、与其他程序和语言的便捷接口的功能。Matlab 语言在各国高校与研究单位起着重大的作用。主成分分析是把原来多个变量划为少数几个综合指标的一种统计分析方法，从数学角度来看，这是一种降维处理技术。
, ① 计算相关系数矩阵
（1）
在（3.5.3）式中，rij（i，j=1，2，…，p）为原变量的xi与xj之间的相关系数，其计算公式为
（2）
因为R是实对称矩阵（即rij=rji），所以只需计算上三角元素或下三角元素即可。
② 计算特征值与特征向量
首先解特征方程
，通常用雅可比法（Jacobi）求出特征值
，并使其按大小顺序排列，即
；然后分别求出对应于特征值
的特征向量
。这里要求
=1，即
，其中
表示向量
的第j个分量。
③ 计算主成分贡献率及累计贡献率
主成分
的贡献率为
累计贡献率为
一般取累计贡献率达85—95%的特征值
所对应的第一、第二，…，第m（m≤p）个主成分。
④ 计算主成分载荷
其计算公式为
（3）
得到各主成分的载荷以后，还可以按照（3.5.2）式进一步计算，得到各主成分的得分
（4）
在软件Matlab中实现主成分分析可以采取两种方式实现：一是通过编程来实现；二是直接调用Matlab种自带程序实现。下面主要主要介绍利用Matlab的矩阵计算功能编程实现主成分分析。
2.1程序结构
主函数
子函数
2.2函数作用
Cwstd.m——用总和标准化法标准化矩阵
Cwfac.m——计算相关系数矩阵；计算特征值和特征向量；对主成分进行排序；计算各特征值贡献率；挑选主成分（累计贡献率大于85%），输出主成分个数；计算主成分载荷
Cwscore.m——计算各主成分得分、综合得分并排序
Cwprint.m——读入数据文件；调用以上三个函数并输出结果
3.源程序
3.1 cwstd.m总和标准化法标准化矩阵
%cwstd.m,用总和标准化法标准化矩阵
function std=cwstd(vector)
cwsum=sum(vector,1); %对列求和
[a,b]=size(vector); %矩阵大小,a为行数,b为列数
for i=1:a
for j=1:b
std(i,j)= vector(i,j)/cwsum(j);
end
end
3.2 cwfac.m计算相关系数矩阵
%cwfac.m
function result=cwfac(vector);
fprintf('相关系数矩阵:\n')
std=CORRCOEF(vector) %计算相关系数矩阵
fprintf('特征向量(vec)及特征值(val)：\n')
[vec,val]=eig(std) %求特征值(val)及特征向量(vec)
newval=diag(val) ;
[y,i]=sort(newval) ; %对特征根进行排序，y为排序结果，i为索引
fprintf('特征根排序：\n')
for z=1:length(y)
newy(z)=y(length(y)+1-z);
end
fprintf('%g\n',newy)
rate=y/sum(y);
fprintf('\n贡献率：\n')
newrate=newy/sum(newy)
sumrate=0;
newi=[];
for k=length(y):-1:1
sumrate=sumrate+rate(k);
newi(length(y)+1-k)=i(k);
if sumrate>0.85 break;
end
end %记下累积贡献率大85%的特征值的序号放入newi中
fprintf('主成分数：%g\n\n',length(newi));
fprintf('主成分载荷：\n')
for p=1:length(newi)
for q=1:length(y)
result(q,p)=sqrt(newval(newi(p)))*vec(q,newi(p));
end
end %计算载荷
disp(result)
3.3 cwscore.m
%cwscore.m,计算得分
function score=cwscore(vector1,vector2);
sco=vector1*vector2;
csum=sum(sco,2);
[newcsum,i]=sort(-1*csum);
[newi,j]=sort(i);
fprintf('计算得分：\n')
score=[sco,csum,j]
%得分矩阵：sco为各主成分得分；csum为综合得分；j为排序结果
3.4 cwprint.m
%cwprint.m
function print=cwprint(filename,a,b);
%filename为文本文件文件名，a为矩阵行数(样本数)，b为矩阵列数(变量指标数)
fid=fopen(filename,'r')
vector=fscanf(fid,'%g',[a b]);
fprintf('标准化结果如下：\n')
v1=cwstd(vector)
result=cwfac(v1);
cwscore(v1,result);
4.程序测试4.1原始数据
中国大陆35个大城市某年的10项社会经济统计指标数据见下表。
城 市 名 称 | 年底 总人口 (万人) | 非农业 人口比(%) | 农 业 总产值 (万元) | 工业 总产值 (万元) | 客运总量 (万人) | 货运总量 (万吨) | 地方财政 预算内收入(万元) | 城乡居民年底储蓄余额 (万元) | 在岗职工人数(万人) | 在岗职工工资总额 (万元) |
北 京 | 1 249.90 | 0.597 8 | 1 843 427 | 19 999 706 | 20 323 | 45 562 | 2 790 863 | 26 806 646 | 410.80 | 5 773 301 |
天 津 | 910.17 | 0.580 9 | 1 501 136 | 22 645 502 | 3 259 | 26 317 | 1 128 073 | 11 301 931 | 202.68 | 2 254 343 |
石 家 庄 | 875.40 | 0.233 2 | 2 918 680 | 6 885 768 | 2 929 | 1 911 | 352 348 | 7 095 875 | 95.60 | 758 877 |
太 原 | 299.92 | 0.656 3 | 236 038 | 2 737 750 | 1 937 | 11 895 | 203 277 | 3 943 100 | 88.65 | 654 023 |
呼和浩特 | 207.78 | 0.441 2 | 365 343 | 816 452 | 2 351 | 2 623 | 105 783 | 1 396 588 | 42.11 | 309 337 |
沈 阳 | 677.08 | 0.629 9 | 1 295 418 | 5 826 733 | 7 782 | 15 412 | 567 919 | 9 016 998 | 135.45 | 1 152 811 |
大 连 | 545.31 | 0.494 6 | 1 879 739 | 8 426 385 | 10 780 | 19 187 | 709 227 | 7 556 796 | 94.15 | 965 922 |
长 春 | 691.23 | 0.406 8 | 1 853 210 | 5 966 343 | 4 810 | 9 532 | 357 096 | 4 803 744 | 102.63 | 884 447 |
哈 尔 滨 | 927.09 | 0.462 7 | 2 663 855 | 4 186 123 | 6 720 | 7 520 | 481 443 | 6 450 020 | 172.79 | 1 309 151 |
上 海 | 1 313.12 | 0.738 4 | 2 069 019 | 54 529 098 | 6 406 | 44 485 | 4 318 500 | 25 971 200 | 336.84 | 5 605 445 |
南 京 | 537.44 | 0.534 1 | 989 199 | 13 072 737 | 14 269 | 11 193 | 664 299 | 5 680 472 | 113.81 | 1 357 861 |
杭 州 | 616.05 | 0.355 6 | 1 414 737 | 12 000 796 | 17 883 | 11 684 | 449 593 | 7 425 967 | 96.90 | 1 180 947 |
宁 波 | 538.41 | 0.254 7 | 1 428 235 | 10 622 866 | 22 215 | 10 298 | 501 723 | 5 246 350 | 62.15 | 824 034 |
合 肥 | 429.95 | 0.318 4 | 628 764 | 2 514 125 | 4 893 | 1 517 | 233 628 | 1 622 931 | 47.27 | 369 577 |
福 州 | 583.13 | 0.273 3 | 2 152 288 | 6 555 351 | 8 851 | 7 190 | 467 524 | 5 030 220 | 69.59 | 680 607 |
厦 门 | 128.99 | 0.486 5 | 333 374 | 5 751 124 | 3 728 | 2 570 | 418 758 | 2 108 331 | 46.93 | 657 484 |
南 昌 | 424.20 | 0.398 8 | 688 289 | 2 305 881 | 3 674 | 3 189 | 167 714 | 2 640 460 | 62.08 | 479 ,555 |
济 南 | 557.63 | 0.408 5 | 1 486 302 | 6 285 882 | 5 915 | 11 775 | 460 690 | 4 126 970 | 83.31 | 756 696 |
青 岛 | 702.97 | 0.369 3 | 2 382 320 | 11 492 036 | 13 408 | 17 038 | 658 435 | 4 978 045 | 103.52 | 961 704 |
郑 州 | 615.36 | 0.342 4 | 677 425 | 5 287 601 | 10 433 | 6 768 | 387 252 | 5 135 338 | 84.66 | 696 848 |
武 汉 | 740.20 | 0.586 9 | 1 211 291 | 7 506 085 | 9 793 | 15 442 | 604 658 | 5 748 055 | 149.20 | 1 314 766 |
长 沙 | 582.47 | 0.310 7 | 1 146 367 | 3 098 179 | 8 706 | 5 718 | 323 660 | 3 461 244 | 69.57 | 596 986 |
广 州 | 685.00 | 0.621 4 | 1 600 738 | 23 348 139 | 22 007 | 23 854 | 1 761 499 | 20 401 811 | 182.81 | 3 047 594 |
深 圳 | 119.85 | 0.793 1 | 299 662 | 20 368 295 | 8 754 | 4 274 | 1 847 908 | 9 519 900 | 91.26 | 1 890 338 |
南 宁 | 285.87 | 0.406 4 | 720 486 | 1 149 691 | 5 130 | 3 293 | 149 700 | 2 190 918 | 45.09 | 371 809 |
海 口 | 54.38 | 0.835 4 | 44 815 | 717 461 | 5 345 | 2 356 | 115 174 | 1 626 800 | 19.01 | 198 138 |
重 庆 | 3 072.34 | 0.206 7 | 4 168 780 | 8 585 525 | 52 441 | 25 124 | 898,912 | 9 090 969 | 223.73 | 1 606 804 |
成 都 | 1 003.56 | 0.335 | 1 935 590 | 5 894 289 | 40 140 | 19 632 | 561 189 | 7 479 684 | 132.89 | 1 200 671 |
贵 阳 | 321.50 | 0.455 7 | 362 061 | 2 247 934 | 15 703 | 4 143 | 197 908 | 1 787 748 | 55.28 | 419 681 |
昆 明 | 473.39 | 0.386 5 | 793 356 | 3 605 729 | 5 604 | 12 042 | 524 216 | 4 127 900 | 88.11 | 842 321 |
西 安 | 674.50 | 0.409 4 | 739 905 | 3 665 942 | 10 311 | 9 766 | 408 896 | 5 863 980 | 114.01 | 885 169 |
兰 州 | 287.59 | 0.544 5 | 259 444 | 2 940 884 | 1 832 | 4 749 | 169 540 | 2 641 568 | 65.83 | 550 890 |
西 宁 | 133.95 | 0.522 7 | 65 848 | 711 310 | 1 746 | 1 469 | 49 134 | 855 051 | 27.21 | 219 251 |
银 川 | 95.38 | 0.570 9 | 171 603 | 661 226 | 2 106 | 1 193 | 74 758 | 814 103 | 23.72 | 178 621 |
乌鲁木齐 | 158.92 | 0.824 4 | 78 513 | 1 847 241 | 2 668 | 9 041 | 254 870 | 2 365 508 | 55.27 | 517 622 |
4.2运行结果
>> cwprint('cwbook.txt',35,10)
fid =
6
数据标准化结果如下：
v1 =
0.0581 0.0356 0.0435 0.0680 0.0557 0.1112 0.1194 0.1184 0.1083 0.1392
0.0423 0.0346 0.0354 0.0770 0.0089 0.0642 0.0483 0.0499 0.0534 0.0544
0.0407 0.0139 0.0688 0.0234 0.0080 0.0047 0.0151 0.0314 0.0252 0.0183
0.0139 0.0391 0.0056 0.0093 0.0053 0.0290 0.0087 0.0174 0.0234 0.0158
0.0097 0.0263 0.0086 0.0028 0.0064 0.0064 0.0045 0.0062 0.0111 0.0075
0.0315 0.0375 0.0305 0.0198 0.0213 0.0376 0.0243 0.0398 0.0357 0.0278
0.0253 0.0295 0.0443 0.0286 0.0295 0.0468 0.0304 0.0334 0.0248 0.0233
0.0321 0.0242 0.0437 0.0203 0.0132 0.0233 0.0153 0.0212 0.0270 0.0213
0.0431 0.0276 0.0628 0.0142 0.0184 0.0184 0.0206 0.0285 0.0455 0.0316
0.0610 0.0440 0.0488 0.1853 0.0176 0.1086 0.1848 0.1148 0.0888 0.1352
0.0250 0.0318 0.0233 0.0444 0.0391 0.0273 0.0284 0.0251 0.0300 0.0327
0.0286 0.0212 0.0334 0.0408 0.0490 0.0285 0.0192 0.0328 0.0255 0.0285
0.0250 0.0152 0.0337 0.0361 0.0609 0.0251 0.0215 0.0232 0.0164 0.0199
0.0200 0.0190 0.0148 0.0085 0.0134 0.0037 0.0100 0.0072 0.0125 0.0089
0.0271 0.0163 0.0508 0.0223 0.0243 0.0175 0.0200 0.0222 0.0183 0.0164
0.0060 0.0290 0.0079 0.0195 0.0102 0.0063 0.0179 0.0093 0.0124 0.0159
0.0197 0.0237 0.0162 0.0078 0.0101 0.0078 0.0072 0.0117 0.0164 0.0116
0.0259 0.0243 0.0350 0.0214 0.0162 0.0287 0.0197 0.0182 0.0220 0.0182
0.0327 0.0220 0.0562 0.0391 0.0367 0.0416 0.0282 0.0220 0.0273 0.0232
0.0286 0.0204 0.0160 0.0180 0.0286 0.0165 0.0166 0.0227 0.0223 0.0168
0.0344 0.0349 0.0286 0.0255 0.0268 0.0377 0.0259 0.0254 0.0393 0.0317
0.0271 0.0185 0.0270 0.0105 0.0239 0.0140 0.0139 0.0153 0.0183 0.0144
0.0318 0.0370 0.0377 0.0793 0.0603 0.0582 0.0754 0.0901 0.0482 0.0735
0.0056 0.0472 0.0071 0.0692 0.0240 0.0104 0.0791 0.0421 0.0240 0.0456
0.0133 0.0242 0.0170 0.0039 0.0141 0.0080 0.0064 0.0097 0.0119 0.0090
0.0025 0.0497 0.0011 0.0024 0.0146 0.0057 0.0049 0.0072 0.0050 0.0048
0.1428 0.0123 0.0983 0.0292 0.1437 0.0613 0.0385 0.0402 0.0590 0.0387
0.0466 0.0199 0.0456 0.0200 0.1100 0.0479 0.0240 0.0331 0.0350 0.0290
0.0149 0.0271 0.0085 0.0076 0.0430 0.0101 0.0085 0.0079 0.0146 0.0101
0.0220 0.0230 0.0187 0.0123 0.0154 0.0294 0.0224 0.0182 0.0232 0.0203
0.0313 0.0244 0.0174 0.0125 0.0283 0.0238 0.0175 0.0259 0.0300 0.0213
0.0134 0.0324 0.0061 0.0100 0.0050 0.0116 0.0073 0.0117 0.0173 0.0133
0.0062 0.0311 0.0016 0.0024 0.0048 0.0036 0.0021 0.0038 0.0072 0.0053
0.0044 0.0340 0.0040 0.0022 0.0058 0.0029 0.0032 0.0036 0.0063 0.0043
0.0074 0.0491 0.0019 0.0063 0.0073 0.0221 0.0109 0.0105 0.0146 0.0125
相关系数矩阵:
std =
1.0000 -0.3444 0.8425 0.3603 0.7390 0.6215 0.4039 0.4967 0.6761 0.4689
-0.3444 1.0000 -0.4750 0.3096 -0.3539 0.1971 0.3571 0.2600 0.1570 0.3090
0.8425 -0.4750 1.0000 0.3358 0.5891 0.5056 0.3236 0.4456 0.5575 0.3742
0.3603 0.3096 0.3358 1.0000 0.1507 0.7664 0.9412 0.8480 0.7320 0.8614
0.7390 -0.3539 0.5891 0.1507 1.0000 0.4294 0.1971 0.3182 0.3893 0.2595
0.6215 0.1971 0.5056 0.7664 0.4294 1.0000 0.8316 0.8966 0.9302 0.9027
0.4039 0.3571 0.3236 0.9412 0.1971 0.8316 1.0000 0.9233 0.8376 0.9527
0.4967 0.2600 0.4456 0.8480 0.3182 0.8966 0.9233 1.0000 0.9201 0.9731
0.6761 0.1570 0.5575 0.7320 0.3893 0.9302 0.8376 0.9201 1.0000 0.9396
0.4689 0.3090 0.3742 0.8614 0.2595 0.9027 0.9527 0.9731 0.9396 1.0000
特征向量(vec)：
vec =
-0.1367 0.2282 -0.2628 0.1939 0.6371 -0.2163 0.3176 -0.1312 -0.4191 0.2758
-0.0329 -0.0217 0.0009 0.0446 -0.1447 -0.4437 0.4058 -0.5562 0.5487 0.0593
-0.0522 -0.0280 0.2040 -0.0492 -0.5472 -0.4225 0.3440 0.3188 -0.4438 0.2401 0.0067 -0.4176 -0.2856 -0.2389 0.1926 -0.4915 -0.4189 0.2726 0.2065 0.3403 0.0404 0.1408 0.0896 0.0380 -0.1969 -0.0437 -0.4888 -0.6789 -0.4405 0.1861
-0.0343 0.2360 0.0640 -0.8294 0.0377 0.2662 0.1356 -0.1290 0.0278 0.3782
0.2981 0.4739 0.5685 0.2358 0.1465 -0.1502 -0.2631 0.1245 0.2152 0.3644
0.1567 0.3464 -0.6485 0.2489 -0.4043 0.2058 -0.0704 0.0462 0.1214 0.3812
0.4879 -0.5707 0.1217 0.1761 0.0987 0.3550 0.3280 -0.0139 0.0071 0.3832
-0.7894 -0.1628 0.1925 0.2510 -0.0422 0.2694 0.0396 0.0456 0.1668 0.3799
特征值(val)
val =
0.0039 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0.0240 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0.0307 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0.0991 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0.1232 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0.2566 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0.3207 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0.5300 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 2.3514 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 6.2602
特征根排序：
6.26022
2.35138
0.530047
0.320699
0.256639
0.123241
0.0990915
0.0307088
0.0240355
0.00393387
各主成分贡献率：
newrate =
0.6260 0.2351 0.0530 0.0321 0.0257 0.0123 0.0099 0.0031 0.0024 0.0004
第一、二主成分的载荷：
0.690 1 -0.6427
0.148 3 0.8414
0.600 7 -0.6805
0.851 5 0.3167
0.465 6 -0.6754
0.946 3 0.0426
0.911 7 0.3299
0.953 7 0.1862
0.958 9 0.0109
0.950 6 0.2558
第一、二、三、四主成分的得分：
score =
0.718 5 0.049 9 0.768 4 2.0000
0.380 6 0.038 6 0.419 2 4.0000
0.184 8 -0.043 3 0.141 4 21.0000
0.118 6 0.031 1 0.149 7 20.0000
0.054 9 0.011 5 0.066 4 33.0000
0.228 8 0.007 0 0.235 8 7.000 0
0.2364 -0.0081 0.2283 10.0000
0.1778 -0.0167 0.1611 16.0000
0.2292 -0.0337 0.1955 14.0000
0.8382 0.1339 0.9721 1.0000
0.2276 0.0064 0.2340 8.0000
0.2279 -0.0222 0.2056 12.0000
0.1989 -0.0382 0.1607 18.0000
0.0789 -0.0061 0.0728 32.0000
0.1711 -0.0317 0.1394 23.0000
0.0926 0.0266 0.1192 25.0000
0.0900 -0.0000 0.0899 28.0000
0.1692 -0.0082 0.1610 17.0000
0.2441 -0.0318 0.2124 11.0000
0.1507 -0.0108 0.1399 22.0000
0.2316 0.0012 0.2328 9.0000
0.1294 -0.0211 0.1083 27.0000
0.4716 0.0328 0.5045 3.0000
0.2737 0.0834 0.3570 5.0000
0.0754 -0.0013 0.0741 31.0000
0.0448 0.0349 0.0797 30.0000
0.4759 -0.2028 0.2731 6.0000
0.2907 -0.0883 0.2024 13.0000
0.0944 -0.0118 0.0826 29.0000
0.1546 0.0035 0.1581 19.0000
0.1718 -0.0092 0.1626 15.0000
0.0865 0.0230 0.1095 26.0000
0.0349 0.0216 0.0566 35.0000
0.0343 0.0228 0.0572 34.0000
0.0889 0.0422 0.1310 24.0000
