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标题: 求证一个几何题目 [打印本页]
作者: whlysu    时间: 2011-11-24 17:04
标题: 求证一个几何题目
本帖最后由 whlysu 于 2011-11-24 17:08 编辑
- ^- y; u4 c' T7 p& [- y- P, O( f' U8 L+ H1 c; f
已知：如图& f/ C9 B7 y$ n1 ~; C
      1）点A、B、C、E是⊙M上的任意点
5 N3 `+ J7 l2 Q5 X4 V      2）点F、G、I分别是线段AB、AC、AE上的点，且满足BF=CG=EI=⊙M半径
/ f# @' u. s3 f2 T9 Q      3）⊙N是过点F、G、I的圆  b: S& q  d( k) a  p5 i
      4）点D是⌒BE上的点，点H是线段AD与⊙N的交点
* O0 H1 F, S$ s求证：HD=⊙M半径- r' q( D7 J! o" R  t2 ]
求证.JPG ) m$ G3 @3 K& w/ m" {
3 O& l2 I' Z# N. y, l6 v, `$ c
作者: whlysu    时间: 2011-11-25 09:11
有木有高手啊？证明不相等也行啊！！
. x- U# \2 M3 u- {- E$ i自己顶
作者: zhenglingming    时间: 2011-11-26 11:59
作者: zhenglingming    时间: 2011-11-26 12:21
四边行nmbf,nmcg,nmdh,nmei可看做同一个四边行的不同角度，想成3微的情况
作者: whlysu    时间: 2011-11-26 17:40
本帖最后由 whlysu 于 2011-11-26 17:53 编辑 ) S7 z' H# M' e8 A* ?* N8 o
zhenglingming 发表于 2011-11-26 12:21
. o. ~" T* {. X0 e8 h' l( I% X8 L" {四边行nmbf,nmcg,nmdh,nmei可看做同一个四边行的不同角度，想成3微的情况

" v( v% x5 R5 m! Y5 h5 q3 w- b' C2 E/ C
如果HD=⊙M半径成立的话四边行nmbf,nmcg,nmdh,nmei的确可看做同一个四边行的不同角度，但HD=⊙M半径
) z% X3 a5 j/ I4 J" I现在不能当已知条件用啊，怎么来证明话四边行nmbf和nmdh就是四边对应相等呢？获知⌒BC对应的圆心角等于⌒FG对应的圆心角？
$ I$ h# X2 R4 o( l- i求证明过程！！！
作者: whlysu    时间: 2011-11-29 10:13
怎么没人啊？高手们都来看看啊，第一个次发帖就没人理啊！！！！
作者: yinbaoli    时间: 2011-11-30 13:38
希望我的思考对解决这道题有帮助：（解析几何方法）
  _% g9 f6 \1 q! m. |- z在线段AD上截取DH‘=⊙M半径，只需证明F、G、I、H’四点共圆
/ c1 q) _! B9 T# E以AM为x轴，M为坐标原点建立坐标系，这里不妨设⊙M半径为1，所以A（-1,0），, G- a7 T; r; o' ~6 L
设B（cosx1，sinx1）,C(cosx2,sinx2),E(cosx3,sinx3),这里-2pi/3<x1,x2,x3<2pi/3
  H- |5 X" |# S: m( j' s. `( c: ND坐标设为（cosx4,sinx4），x1<x4<x3- }- o# v# A/ Q7 ^" \" b
根据|BF|=|CG|=|EI|=1，可以求得F、G、I的坐标分别为7 r& L1 R. L: H  q# P6 M
（cosx1-cos(x1/2),sinx1-sin(x1/2)）、（cosx2-cos(x2/2),sinx2-sin(x2/2)）、（cosx3-cos(x3/2),sinx3-sin(x3/2)）* ?: s. k6 H5 c0 E8 U! g
同理，H‘的坐标为（cosx4-cos(x4/2),sinx4-sin(x4/2)）2 ]% F: {. g6 k! l0 ?
由F、G、I三点确定的圆的方程为1 L6 s. x5 ]' a$ H* N
|x^2+y^2                x                              y                          1       |3 o/ f& u8 n: C/ ?
|2-2cos(x1/2)   cosx1-cos(x1/2)      sinx1-sin(x1/2)               1      |2 F) A$ O) M/ F9 a; C
|2-2cos(x2/2)   cosx2-cos(x2/2)      sinx2-sin(x2/2)               1      |=0
) G9 S8 Y6 a+ L/ y$ W! Y|2-2cos(x3/2)   cosx3-cos(x3/2)      sinx3-sin(x3/2)               1      |
+ A7 S$ d1 p1 T" v4 E9 a& I6 P1 D. c2 }9 y! l! u! [
把H’点代入上述行列式并证明其值为零即可。+ U, W% W8 Q7 X+ e4 }. C
证明这个4阶行列式为零，我没有想到好的办法，只是找了几个值带进去用matlab验算了一下，应该是对的，也就是H‘和H应该是重合的。希望这对你有所帮助。。。
作者: whlysu    时间: 2011-11-30 16:25
yinbaoli 发表于 2011-11-30 13:38
* b8 M; R! f* z5 p& N+ t& @% H希望我的思考对解决这道题有帮助：（解析几何方法）
5 h1 d+ p7 F. Z5 k" |在线段AD上截取DH‘=⊙M半径，只需证明F、G、I、H’四 ...
4 ]% @0 X/ L: o6 s: u" _% {) ^, h/ m
你的思路是很清楚了，但四阶的行列式我也不会解了！！！7 S0 h, f$ N; @! B* N( @
不过给了我点思路。。。。; `7 `' t0 P+ B5 u# C2 u  o
我试试以A点建立极坐标系，看能不能求解
作者: yinbaoli    时间: 2011-11-30 22:39
whlysu 发表于 2011-11-30 16:25
% K# g6 r8 c+ @7 W7 K* v6 z4 |1 u你的思路是很清楚了，但四阶的行列式我也不会解了！！！: s4 I) W# Y2 {, ^1 s
不过给了我点思路。。。。! b# Y4 O* f- ?3 G9 |' b4 l7 N
我试试以A点建立极坐 ...

1 L# A2 Z/ o. Y嗯，可以尝试~以后多多交流，我也很喜欢数学，不过最近有点忙，没有花太多时间在这道题上。希望能找到简单的方法。另外，一定要限定D在BE之间吗？我想应该有更大的范围吧
作者: whlysu    时间: 2011-12-1 08:42
yinbaoli 发表于 2011-11-30 22:39
& I2 \9 U7 m$ h- S嗯，可以尝试~以后多多交流，我也很喜欢数学，不过最近有点忙，没有花太多时间在这道题上。希望能找到简单 ...

2 [7 J$ L# P( h$ E如果点D不在BE之间就不相等了啊，过A、M做直线与两圆相交就可以看出。
作者: yinbaoli    时间: 2011-12-1 14:11
whlysu 发表于 2011-12-1 08:42
$ l, J; U; ^+ r  y如果点D不在BE之间就不相等了啊，过A、M做直线与两圆相交就可以看出。
4 G6 k' q( {  w# e0 \% Y) S1 B
我不确定你的图做的是否标准。。。
作者: 严泉泡    时间: 2011-12-11 14:31
这个贴子要顶~~~~~~~~~~~~~~
作者: whlysu    时间: 2011-12-23 18:40
自己没做出来，但不想让帖子就这么沉了，等待高手中。。。。。。。。。。。。。
作者: xxgzftj    时间: 2011-12-28 15:17
结论不成立吧！
作者: xxgzftj    时间: 2011-12-28 15:21
用极坐标证明，把A放在圆点，证明动弦减去半径后得到的点的轨迹不是圆不就行了
作者: xxgzftj    时间: 2011-12-28 15:38
看看我的判断有没有问题：
  i4 s% a" V, m5 l2 n6 |- v- ` （用极坐标）不妨设圆M的方程是：ρ=2COSθ(半径为1），即圆上动点为K（ρ，θ），从而，在AK上取P,使PK=1 满足P点滿足方程ρ=2COSθ-1,可判断P的轨迹不是圆
作者: yinbaoli    时间: 2011-12-28 17:16
赞同楼上观点
作者: whlysu    时间: 2012-1-4 09:09
xxgzftj 发表于 2011-12-28 15:38 ! r0 Q3 a7 i) m: S
看看我的判断有没有问题：4 d3 N: U0 \) x& x; n
（用极坐标）不妨设圆M的方程是：ρ=2COSθ(半径为1），即圆上动点为K（ρ，θ ...

' t- A7 W; u9 j9 ~# J点D出了弧BE的范围当然就不成立了，就的反证没有考虑题目中的条件
作者: xxgzftj    时间: 2012-1-4 19:59
whlysu 发表于 2012-1-4 09:09
& V* r: g4 r8 |( \9 U3 F点D出了弧BE的范围当然就不成立了，就的反证没有考虑题目中的条件
, r- j: z6 ]& M- S; S/ R" E0 q
整体上不是圆，局部上也不是圆弧。反之，若D在弧BE之间的任意一点都在圆上，则其轨迹不就是一段圆弧，两者不就矛盾了。
作者: xxgzftj    时间: 2012-1-4 20:01
一时没想周全，帮忙看看还有问题没
作者: xxgzftj    时间: 2012-1-4 20:02
能说一下这道题的题源么
作者: whlysu    时间: 2012-1-5 13:46
xxgzftj 发表于 2012-1-4 20:02
6 X# d$ q) Y; Y6 v/ [3 Q$ z能说一下这道题的题源么

  h7 I& U2 J) \( _( q5 M; j/ r# @题源来自这里：
9 V* ?- @: c$ L8 n9 rhttp://www.madio.net/thread-104188-1-1.html, V9 T+ m6 E- D3 e2 Y
在这个帖子中不知怎么得到AK+SK的。
( G4 k: m, S2 J5 [最后得出结论：只要能证明我出的这道题就能证明那个帖子中的尺规三等分任意角。
作者: whlysu    时间: 2012-1-5 14:09
xxgzftj 发表于 2012-1-4 19:59
8 j  h% H) g5 W! M; l6 G整体上不是圆，局部上也不是圆弧。反之，若D在弧BE之间的任意一点都在圆上，则其轨迹不就是一段圆弧，两者 ...
' T! s* k4 ?- J6 o: r
整体上不是圆，局部上也可以是圆啊，
8 p1 X' ]: @" t/ e5 s. p7 S只要点D在⌒BE间，AD就与圆N有交点，而且所有交点都在圆N上！！！
作者: xxgzftj    时间: 2012-1-6 15:32
whlysu 发表于 2012-1-5 14:09
, q  C5 C0 F" A3 v* W整体上不是圆，局部上也可以是圆啊，5 c7 z' \3 C2 }" v8 b7 I
只要点D在⌒BE间，AD就与圆N有交点，而且所有交点都在圆N上！！！

# Z! C& D, E2 Y# F5 c* P局部也不是圆。要得到圆的话只有俩办法，（一）整体图形是圆，然后从其中取一部分；（二）整体图形由圆弧和其他图形分段连接而成，再取一部分。从ρ=2cosθ-1看应该都不符合
作者: xxgzftj    时间: 2012-1-14 23:11
whlysu 发表于 2012-1-4 09:09 + A# Z0 p- |) I. S7 n  Y
点D出了弧BE的范围当然就不成立了，就的反证没有考虑题目中的条件

) x0 _; Y- n! B& P$ C再看看满意不
作者: xxgzftj    时间: 2012-1-18 20:52
作者: xxgzftj    时间: 2012-3-19 00:00
作者: 红柳树    时间: 2012-4-13 18:53
这道题可以这样表述：已知圆C：(x-R)^2+y^2=R^2,A(0,0);B为C上之动点，E为AB上的点且BE=R,求E的轨迹方程。# O  h9 p4 r( Y: H: q
        设E（x,y)
* k  b" K4 I( `" s+ w# e' Z        用极坐标表示C的方程式：r=2*R*COSθ
' x% D* a8 w: g2 [+ p7 k$ s        则E的方程式为：r=2*R*COSθ-R. o, ?/ F* N' W  X
        可知 x=R*(2*cosθ - 1)*cosθ  ;   y=R*(2*cosθ - 1)*sinθ9 ]( P' e2 L, j9 i! N
        化简它，看是不是圆或某段是圆，就行了
作者: cool-liu    时间: 2012-10-25 16:37
前面的几种证明思路我都看过了，我觉得都不好证明。这里其实用初中的几何知识和证明方法就可以证明本题了，我把我的思路大致的写下来，希望对解决这道题有帮助。我的思路是：首先我们要充分的利用好题目中的
3 G) t6 Y0 [1 |5 _8 w3 a- m" h2）点F、G、I分别是线段AB、AC、AE上的点，且满足BF=CG=EI=⊙M半径，这个条件，连接BM,CM,EM和DM,我们要把证明HD等于圆M的半径转化为证明三角形HDM为等腰三角形，而前面的条件也类似的可以转化为几个等腰三角形，再利用这里的几个角与角之间的关系来转化，可能要用到圆心角，圆周角定理等，最会证明在三角形HDM中两底角相等，即证明它为等腰三角形，及证明HD等于圆MD的半径
作者: cool-liu    时间: 2012-11-28 16:42
大家看这题怎么解
作者: 蹶腿的圣徒    时间: 2012-12-20 23:11
可以确认结论是错误的。因为由对称性知：I可以位于直线NM下方，相应地H可位于NM上，那么只要圆N不经过点M,HD就不会等于半径。



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