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标题: 求证一个几何题目 [打印本页]
作者: whlysu    时间: 2011-11-24 17:04
标题: 求证一个几何题目
本帖最后由 whlysu 于 2011-11-24 17:08 编辑
8 ?9 e  y2 z$ c+ J$ V5 |6 A( |1 O9 T$ h) G
已知：如图
" M2 F  u! ]& b: [: Y: l# ^( ?/ T      1）点A、B、C、E是⊙M上的任意点
" c4 W1 |' `- A& W* k      2）点F、G、I分别是线段AB、AC、AE上的点，且满足BF=CG=EI=⊙M半径! K1 m6 y0 Q' l7 W
      3）⊙N是过点F、G、I的圆" w. y  l; }* s
      4）点D是⌒BE上的点，点H是线段AD与⊙N的交点9 I% t0 e* Z0 \8 M0 q+ m
求证：HD=⊙M半径
9 x: S9 a  a. f+ V1 } 求证.JPG
3 A( @! b: _# c+ c- L4 v. J" n% h" v+ B; n1 T. d5 H( a+ g) z. N$ v
作者: whlysu    时间: 2011-11-25 09:11
有木有高手啊？证明不相等也行啊！！
; F; m$ s, I$ |) o) w自己顶
作者: zhenglingming    时间: 2011-11-26 11:59
作者: zhenglingming    时间: 2011-11-26 12:21
四边行nmbf,nmcg,nmdh,nmei可看做同一个四边行的不同角度，想成3微的情况
作者: whlysu    时间: 2011-11-26 17:40
本帖最后由 whlysu 于 2011-11-26 17:53 编辑 * R5 L$ {8 N. |3 P1 j+ I
zhenglingming 发表于 2011-11-26 12:21 " g8 x  H8 _- p/ Q" z
四边行nmbf,nmcg,nmdh,nmei可看做同一个四边行的不同角度，想成3微的情况
. L5 Z( X) Y4 @# N& M/ l+ G' V
5 F1 U: ~. d; \! f
如果HD=⊙M半径成立的话四边行nmbf,nmcg,nmdh,nmei的确可看做同一个四边行的不同角度，但HD=⊙M半径
# {7 E, @9 D, l* q" u3 P% O现在不能当已知条件用啊，怎么来证明话四边行nmbf和nmdh就是四边对应相等呢？获知⌒BC对应的圆心角等于⌒FG对应的圆心角？; k/ P8 ~) w- P+ [
求证明过程！！！
作者: whlysu    时间: 2011-11-29 10:13
怎么没人啊？高手们都来看看啊，第一个次发帖就没人理啊！！！！
作者: yinbaoli    时间: 2011-11-30 13:38
希望我的思考对解决这道题有帮助：（解析几何方法）
& n! m& @+ B% z& l9 q在线段AD上截取DH‘=⊙M半径，只需证明F、G、I、H’四点共圆  p0 }% D+ _" u. U( a# |" J5 {& Y/ B
以AM为x轴，M为坐标原点建立坐标系，这里不妨设⊙M半径为1，所以A（-1,0），9 J: V9 N  o/ j( |% N5 S
设B（cosx1，sinx1）,C(cosx2,sinx2),E(cosx3,sinx3),这里-2pi/3<x1,x2,x3<2pi/3. x% E6 X! r9 ]  L4 a
D坐标设为（cosx4,sinx4），x1<x4<x3
) ~- ~" N3 m8 @( y1 X根据|BF|=|CG|=|EI|=1，可以求得F、G、I的坐标分别为
7 C' L; H3 ]/ \（cosx1-cos(x1/2),sinx1-sin(x1/2)）、（cosx2-cos(x2/2),sinx2-sin(x2/2)）、（cosx3-cos(x3/2),sinx3-sin(x3/2)）
, V9 }2 [7 W% x# N! h. G1 s  H同理，H‘的坐标为（cosx4-cos(x4/2),sinx4-sin(x4/2)）' g$ E5 C/ p& r$ f
由F、G、I三点确定的圆的方程为) T' E/ l3 t( Y+ x
|x^2+y^2                x                              y                          1       |( z% m, j7 X2 \0 o8 y
|2-2cos(x1/2)   cosx1-cos(x1/2)      sinx1-sin(x1/2)               1      |+ V! v: s8 Z$ w! C
|2-2cos(x2/2)   cosx2-cos(x2/2)      sinx2-sin(x2/2)               1      |=0
% Z; F1 w5 X4 \9 k|2-2cos(x3/2)   cosx3-cos(x3/2)      sinx3-sin(x3/2)               1      |
- O& c  c# r2 B5 D: C! t% k5 t4 ^. |4 w) a2 F$ ^7 n- ?: C# l# B
把H’点代入上述行列式并证明其值为零即可。
" l, g$ z- [( w0 G5 y  N3 d证明这个4阶行列式为零，我没有想到好的办法，只是找了几个值带进去用matlab验算了一下，应该是对的，也就是H‘和H应该是重合的。希望这对你有所帮助。。。
作者: whlysu    时间: 2011-11-30 16:25
yinbaoli 发表于 2011-11-30 13:38
2 v  O, H- E" Y希望我的思考对解决这道题有帮助：（解析几何方法）
# q3 e, B  G6 E+ |' |# E1 L+ O在线段AD上截取DH‘=⊙M半径，只需证明F、G、I、H’四 ...
) F: q8 I) j7 H+ d: _1 [0 }
你的思路是很清楚了，但四阶的行列式我也不会解了！！！
1 w4 q7 u# @4 z' A; D7 w( I9 Q3 s不过给了我点思路。。。。
/ c+ V2 O+ }- f# a5 J5 }我试试以A点建立极坐标系，看能不能求解
作者: yinbaoli    时间: 2011-11-30 22:39
whlysu 发表于 2011-11-30 16:25 6 g3 [  k2 n1 y  E6 u( J) @! O2 \
你的思路是很清楚了，但四阶的行列式我也不会解了！！！* E& T' R9 c0 F; V
不过给了我点思路。。。。
$ b: I& |" O6 |% V) J( ]我试试以A点建立极坐 ...

' G/ F2 Z$ ~2 U" D4 }  ^嗯，可以尝试~以后多多交流，我也很喜欢数学，不过最近有点忙，没有花太多时间在这道题上。希望能找到简单的方法。另外，一定要限定D在BE之间吗？我想应该有更大的范围吧
作者: whlysu    时间: 2011-12-1 08:42
yinbaoli 发表于 2011-11-30 22:39
- @9 K) B. G+ |% g. u- f! a嗯，可以尝试~以后多多交流，我也很喜欢数学，不过最近有点忙，没有花太多时间在这道题上。希望能找到简单 ...
3 S) J, d; z0 s6 q" U
如果点D不在BE之间就不相等了啊，过A、M做直线与两圆相交就可以看出。
作者: yinbaoli    时间: 2011-12-1 14:11
whlysu 发表于 2011-12-1 08:42 & \1 Q( x( N, d4 s$ w
如果点D不在BE之间就不相等了啊，过A、M做直线与两圆相交就可以看出。

9 Q( O9 P4 ]' m% n1 a8 ^; L. E  t我不确定你的图做的是否标准。。。
作者: 严泉泡    时间: 2011-12-11 14:31
这个贴子要顶~~~~~~~~~~~~~~
作者: whlysu    时间: 2011-12-23 18:40
自己没做出来，但不想让帖子就这么沉了，等待高手中。。。。。。。。。。。。。
作者: xxgzftj    时间: 2011-12-28 15:17
结论不成立吧！
作者: xxgzftj    时间: 2011-12-28 15:21
用极坐标证明，把A放在圆点，证明动弦减去半径后得到的点的轨迹不是圆不就行了
作者: xxgzftj    时间: 2011-12-28 15:38
看看我的判断有没有问题：0 H9 B* P3 U1 s0 s# t1 B
（用极坐标）不妨设圆M的方程是：ρ=2COSθ(半径为1），即圆上动点为K（ρ，θ），从而，在AK上取P,使PK=1 满足P点滿足方程ρ=2COSθ-1,可判断P的轨迹不是圆
作者: yinbaoli    时间: 2011-12-28 17:16
赞同楼上观点
作者: whlysu    时间: 2012-1-4 09:09
xxgzftj 发表于 2011-12-28 15:38 3 ?3 K" h/ @+ s* ]$ u7 x
看看我的判断有没有问题：  l6 t$ I" E9 n' {
（用极坐标）不妨设圆M的方程是：ρ=2COSθ(半径为1），即圆上动点为K（ρ，θ ...

2 U6 e$ M* x+ H3 g5 [/ F$ @$ w5 s点D出了弧BE的范围当然就不成立了，就的反证没有考虑题目中的条件
作者: xxgzftj    时间: 2012-1-4 19:59
whlysu 发表于 2012-1-4 09:09
7 m$ l! k2 O. P0 x' I4 o  }点D出了弧BE的范围当然就不成立了，就的反证没有考虑题目中的条件
4 w$ ~3 Z* Q. _  ]1 `7 s
整体上不是圆，局部上也不是圆弧。反之，若D在弧BE之间的任意一点都在圆上，则其轨迹不就是一段圆弧，两者不就矛盾了。
作者: xxgzftj    时间: 2012-1-4 20:01
一时没想周全，帮忙看看还有问题没
作者: xxgzftj    时间: 2012-1-4 20:02
能说一下这道题的题源么
作者: whlysu    时间: 2012-1-5 13:46
xxgzftj 发表于 2012-1-4 20:02
$ }% s: n* a' D' A4 h# i能说一下这道题的题源么

9 L' o2 }. q4 W) @+ I题源来自这里：7 K8 }/ Y  k+ q
http://www.madio.net/thread-104188-1-1.html+ D0 q! E. j0 q1 \2 P
在这个帖子中不知怎么得到AK+SK的。4 ]9 W/ x- C% m# D, h+ K! p8 N. {
最后得出结论：只要能证明我出的这道题就能证明那个帖子中的尺规三等分任意角。
作者: whlysu    时间: 2012-1-5 14:09
xxgzftj 发表于 2012-1-4 19:59 ) g5 r4 T- E! U) R/ @
整体上不是圆，局部上也不是圆弧。反之，若D在弧BE之间的任意一点都在圆上，则其轨迹不就是一段圆弧，两者 ...

6 y  D4 a- ]9 e* U整体上不是圆，局部上也可以是圆啊，& @1 r# @3 d. Q  P; _! f" [
只要点D在⌒BE间，AD就与圆N有交点，而且所有交点都在圆N上！！！
作者: xxgzftj    时间: 2012-1-6 15:32
whlysu 发表于 2012-1-5 14:09
2 Y9 B8 S+ i9 s( q整体上不是圆，局部上也可以是圆啊，
2 [6 z7 r; Q) c- H( a" j, x; s& g只要点D在⌒BE间，AD就与圆N有交点，而且所有交点都在圆N上！！！
8 \! Q/ z9 ^6 l% V( N" W- i/ ], a
局部也不是圆。要得到圆的话只有俩办法，（一）整体图形是圆，然后从其中取一部分；（二）整体图形由圆弧和其他图形分段连接而成，再取一部分。从ρ=2cosθ-1看应该都不符合
作者: xxgzftj    时间: 2012-1-14 23:11
whlysu 发表于 2012-1-4 09:09
) L! T$ |; s$ e. f" g4 |2 p( {点D出了弧BE的范围当然就不成立了，就的反证没有考虑题目中的条件
$ C( n( m& f9 f
再看看满意不
作者: xxgzftj    时间: 2012-1-18 20:52
作者: xxgzftj    时间: 2012-3-19 00:00
作者: 红柳树    时间: 2012-4-13 18:53
这道题可以这样表述：已知圆C：(x-R)^2+y^2=R^2,A(0,0);B为C上之动点，E为AB上的点且BE=R,求E的轨迹方程。
8 @0 k: V) F) D* n1 e        设E（x,y)
. d/ B: f4 y5 E# q4 j        用极坐标表示C的方程式：r=2*R*COSθ
/ J6 h1 t  k+ t        则E的方程式为：r=2*R*COSθ-R
/ i# ]8 k" H0 z" Q        可知 x=R*(2*cosθ - 1)*cosθ  ;   y=R*(2*cosθ - 1)*sinθ& s" o, k4 d& I. F% C  P
        化简它，看是不是圆或某段是圆，就行了
作者: cool-liu    时间: 2012-10-25 16:37
前面的几种证明思路我都看过了，我觉得都不好证明。这里其实用初中的几何知识和证明方法就可以证明本题了，我把我的思路大致的写下来，希望对解决这道题有帮助。我的思路是：首先我们要充分的利用好题目中的
& a% i. W& D+ w& V* K# C2）点F、G、I分别是线段AB、AC、AE上的点，且满足BF=CG=EI=⊙M半径，这个条件，连接BM,CM,EM和DM,我们要把证明HD等于圆M的半径转化为证明三角形HDM为等腰三角形，而前面的条件也类似的可以转化为几个等腰三角形，再利用这里的几个角与角之间的关系来转化，可能要用到圆心角，圆周角定理等，最会证明在三角形HDM中两底角相等，即证明它为等腰三角形，及证明HD等于圆MD的半径
作者: cool-liu    时间: 2012-11-28 16:42
大家看这题怎么解
作者: 蹶腿的圣徒    时间: 2012-12-20 23:11
可以确认结论是错误的。因为由对称性知：I可以位于直线NM下方，相应地H可位于NM上，那么只要圆N不经过点M,HD就不会等于半径。



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