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标题: 求证一个几何题目 [打印本页]
作者: whlysu    时间: 2011-11-24 17:04
标题: 求证一个几何题目
本帖最后由 whlysu 于 2011-11-24 17:08 编辑
* l3 r" {. U1 u4 y! e
. t, {  ^$ L+ U! @- t已知：如图8 b% I* @% r7 H0 A6 P
      1）点A、B、C、E是⊙M上的任意点- o& I( R1 D; T1 C) \
      2）点F、G、I分别是线段AB、AC、AE上的点，且满足BF=CG=EI=⊙M半径2 m! O) a; P" @4 M" i
      3）⊙N是过点F、G、I的圆
% I3 g  l3 m- e+ P$ ~5 V4 b      4）点D是⌒BE上的点，点H是线段AD与⊙N的交点
: C2 z' r& L8 W) Y求证：HD=⊙M半径
# n  z' o% [2 F2 i1 |" y8 ~( }6 G 求证.JPG % H) U3 d) E* j6 U# x

( |+ W# o7 h3 s- Z0 K* m& Y
作者: whlysu    时间: 2011-11-25 09:11
有木有高手啊？证明不相等也行啊！！) z! W/ D; k: ~' W4 |
自己顶
作者: zhenglingming    时间: 2011-11-26 11:59
作者: zhenglingming    时间: 2011-11-26 12:21
四边行nmbf,nmcg,nmdh,nmei可看做同一个四边行的不同角度，想成3微的情况
作者: whlysu    时间: 2011-11-26 17:40
本帖最后由 whlysu 于 2011-11-26 17:53 编辑 7 n, L4 n2 A+ g2 M7 W9 I0 s- H
zhenglingming 发表于 2011-11-26 12:21 $ i+ O* a! y1 n; D
四边行nmbf,nmcg,nmdh,nmei可看做同一个四边行的不同角度，想成3微的情况
3 i& M: V4 g) Z: u% S! u' }4 {! L

0 K" H2 f' H! U- h, z, C1 b如果HD=⊙M半径成立的话四边行nmbf,nmcg,nmdh,nmei的确可看做同一个四边行的不同角度，但HD=⊙M半径9 r  g/ s3 U; l8 c  |" ]/ N
现在不能当已知条件用啊，怎么来证明话四边行nmbf和nmdh就是四边对应相等呢？获知⌒BC对应的圆心角等于⌒FG对应的圆心角？
! X7 {; c& g" ~/ |求证明过程！！！
作者: whlysu    时间: 2011-11-29 10:13
怎么没人啊？高手们都来看看啊，第一个次发帖就没人理啊！！！！
作者: yinbaoli    时间: 2011-11-30 13:38
希望我的思考对解决这道题有帮助：（解析几何方法）
3 B# T) D9 r3 E, N在线段AD上截取DH‘=⊙M半径，只需证明F、G、I、H’四点共圆; p+ x- D. ?2 ~: c7 b" J4 m& u
以AM为x轴，M为坐标原点建立坐标系，这里不妨设⊙M半径为1，所以A（-1,0），
$ o; e+ U1 f4 H+ j设B（cosx1，sinx1）,C(cosx2,sinx2),E(cosx3,sinx3),这里-2pi/3<x1,x2,x3<2pi/3" V  c, Y# r& w, Y5 M) U
D坐标设为（cosx4,sinx4），x1<x4<x3
! H& T/ J3 Y+ k5 @0 G根据|BF|=|CG|=|EI|=1，可以求得F、G、I的坐标分别为
) B0 I  u9 A, A- X5 U（cosx1-cos(x1/2),sinx1-sin(x1/2)）、（cosx2-cos(x2/2),sinx2-sin(x2/2)）、（cosx3-cos(x3/2),sinx3-sin(x3/2)）
( r* y& h- C4 R6 x! U' k4 O同理，H‘的坐标为（cosx4-cos(x4/2),sinx4-sin(x4/2)）
2 f; ]8 _; f: L5 H3 ~由F、G、I三点确定的圆的方程为
1 H" n7 J$ z: e# U, ]/ I|x^2+y^2                x                              y                          1       |4 C$ d) o$ o- f5 f' D1 _+ N
|2-2cos(x1/2)   cosx1-cos(x1/2)      sinx1-sin(x1/2)               1      |
) ~: N" O. x5 l/ G+ [|2-2cos(x2/2)   cosx2-cos(x2/2)      sinx2-sin(x2/2)               1      |=00 P3 f! C2 K/ F" W4 }& a
|2-2cos(x3/2)   cosx3-cos(x3/2)      sinx3-sin(x3/2)               1      |
& B3 M6 [4 d  E2 D( H4 d* G& E7 T  p# z* W  S* a
把H’点代入上述行列式并证明其值为零即可。
4 a2 P! ?+ F( e! Q证明这个4阶行列式为零，我没有想到好的办法，只是找了几个值带进去用matlab验算了一下，应该是对的，也就是H‘和H应该是重合的。希望这对你有所帮助。。。
作者: whlysu    时间: 2011-11-30 16:25
yinbaoli 发表于 2011-11-30 13:38
0 P5 E) x4 P- U- ^7 M. r希望我的思考对解决这道题有帮助：（解析几何方法）  G4 @* f9 @( \& E( d' V
在线段AD上截取DH‘=⊙M半径，只需证明F、G、I、H’四 ...
% ]4 S% Y! i+ g8 L4 i& e4 g
你的思路是很清楚了，但四阶的行列式我也不会解了！！！
; [7 V! v9 w: h9 y: |* m7 H: o不过给了我点思路。。。。
2 E! p& _7 v, ~+ z3 S* ?$ a" Q我试试以A点建立极坐标系，看能不能求解
作者: yinbaoli    时间: 2011-11-30 22:39
whlysu 发表于 2011-11-30 16:25
! d+ k  h# S2 b+ s# b你的思路是很清楚了，但四阶的行列式我也不会解了！！！$ I7 S6 p: g$ `$ }; s5 B& C/ o1 }
不过给了我点思路。。。。( z. E) ]4 U/ D; w  r. `, {
我试试以A点建立极坐 ...

+ x8 H: C1 w1 S  x嗯，可以尝试~以后多多交流，我也很喜欢数学，不过最近有点忙，没有花太多时间在这道题上。希望能找到简单的方法。另外，一定要限定D在BE之间吗？我想应该有更大的范围吧
作者: whlysu    时间: 2011-12-1 08:42
yinbaoli 发表于 2011-11-30 22:39
, S1 G; `" R. `嗯，可以尝试~以后多多交流，我也很喜欢数学，不过最近有点忙，没有花太多时间在这道题上。希望能找到简单 ...

) Z8 l2 @! o0 ~2 o+ n* u6 F如果点D不在BE之间就不相等了啊，过A、M做直线与两圆相交就可以看出。
作者: yinbaoli    时间: 2011-12-1 14:11
whlysu 发表于 2011-12-1 08:42 * F# L+ @0 D* S+ \
如果点D不在BE之间就不相等了啊，过A、M做直线与两圆相交就可以看出。
3 {; K  O$ f; ~" S7 w
我不确定你的图做的是否标准。。。
作者: 严泉泡    时间: 2011-12-11 14:31
这个贴子要顶~~~~~~~~~~~~~~
作者: whlysu    时间: 2011-12-23 18:40
自己没做出来，但不想让帖子就这么沉了，等待高手中。。。。。。。。。。。。。
作者: xxgzftj    时间: 2011-12-28 15:17
结论不成立吧！
作者: xxgzftj    时间: 2011-12-28 15:21
用极坐标证明，把A放在圆点，证明动弦减去半径后得到的点的轨迹不是圆不就行了
作者: xxgzftj    时间: 2011-12-28 15:38
看看我的判断有没有问题：- F: d; ?" R; c( x9 {  |$ s+ b
（用极坐标）不妨设圆M的方程是：ρ=2COSθ(半径为1），即圆上动点为K（ρ，θ），从而，在AK上取P,使PK=1 满足P点滿足方程ρ=2COSθ-1,可判断P的轨迹不是圆
作者: yinbaoli    时间: 2011-12-28 17:16
赞同楼上观点
作者: whlysu    时间: 2012-1-4 09:09
xxgzftj 发表于 2011-12-28 15:38 4 V4 F  u8 h/ ~5 F# V
看看我的判断有没有问题：9 {# j( v' H) t$ X% c
（用极坐标）不妨设圆M的方程是：ρ=2COSθ(半径为1），即圆上动点为K（ρ，θ ...
6 Y2 b/ G' F( H9 P  s( A3 z
点D出了弧BE的范围当然就不成立了，就的反证没有考虑题目中的条件
作者: xxgzftj    时间: 2012-1-4 19:59
whlysu 发表于 2012-1-4 09:09 1 {; a8 u  Y1 P$ P. U
点D出了弧BE的范围当然就不成立了，就的反证没有考虑题目中的条件

9 j1 d* g( X+ H" g3 ^, \# a整体上不是圆，局部上也不是圆弧。反之，若D在弧BE之间的任意一点都在圆上，则其轨迹不就是一段圆弧，两者不就矛盾了。
作者: xxgzftj    时间: 2012-1-4 20:01
一时没想周全，帮忙看看还有问题没
作者: xxgzftj    时间: 2012-1-4 20:02
能说一下这道题的题源么
作者: whlysu    时间: 2012-1-5 13:46
xxgzftj 发表于 2012-1-4 20:02
9 g  I3 B5 r9 r. F能说一下这道题的题源么
; Z+ h. h# ^8 E" P  ^# ]: Y1 Z7 q- Y
题源来自这里：/ i/ d. x; A% v2 h
http://www.madio.net/thread-104188-1-1.html: c+ Y2 k. v7 O' A+ \* o
在这个帖子中不知怎么得到AK+SK的。% m4 s6 K+ I- a* n
最后得出结论：只要能证明我出的这道题就能证明那个帖子中的尺规三等分任意角。
作者: whlysu    时间: 2012-1-5 14:09
xxgzftj 发表于 2012-1-4 19:59
) v! |5 u+ B/ e' J% t2 R  v整体上不是圆，局部上也不是圆弧。反之，若D在弧BE之间的任意一点都在圆上，则其轨迹不就是一段圆弧，两者 ...
$ w3 ]1 f/ q, Z9 o: C: s: P
整体上不是圆，局部上也可以是圆啊，/ ~4 [" \5 m  [) f+ ]/ Y
只要点D在⌒BE间，AD就与圆N有交点，而且所有交点都在圆N上！！！
作者: xxgzftj    时间: 2012-1-6 15:32
whlysu 发表于 2012-1-5 14:09 . p  w7 d) O2 }" r$ Y) ]
整体上不是圆，局部上也可以是圆啊，
/ w- g: z4 k- v- I只要点D在⌒BE间，AD就与圆N有交点，而且所有交点都在圆N上！！！
: F5 L% I9 W5 Z( h) x: t# A
局部也不是圆。要得到圆的话只有俩办法，（一）整体图形是圆，然后从其中取一部分；（二）整体图形由圆弧和其他图形分段连接而成，再取一部分。从ρ=2cosθ-1看应该都不符合
作者: xxgzftj    时间: 2012-1-14 23:11
whlysu 发表于 2012-1-4 09:09 1 B* q: F7 C: [, @
点D出了弧BE的范围当然就不成立了，就的反证没有考虑题目中的条件

1 o/ s) e; o" o; H/ m4 x' S再看看满意不
作者: xxgzftj    时间: 2012-1-18 20:52
作者: xxgzftj    时间: 2012-3-19 00:00
作者: 红柳树    时间: 2012-4-13 18:53
这道题可以这样表述：已知圆C：(x-R)^2+y^2=R^2,A(0,0);B为C上之动点，E为AB上的点且BE=R,求E的轨迹方程。
7 s4 k% V& s+ q  ?( v$ T        设E（x,y)
" _7 A' v6 _4 k  P/ N& _        用极坐标表示C的方程式：r=2*R*COSθ# M2 X+ R! E/ V" a3 }
        则E的方程式为：r=2*R*COSθ-R
1 }$ R3 Y5 W6 N+ d% t( c% w        可知 x=R*(2*cosθ - 1)*cosθ  ;   y=R*(2*cosθ - 1)*sinθ
4 }: G- g- D5 R        化简它，看是不是圆或某段是圆，就行了
作者: cool-liu    时间: 2012-10-25 16:37
前面的几种证明思路我都看过了，我觉得都不好证明。这里其实用初中的几何知识和证明方法就可以证明本题了，我把我的思路大致的写下来，希望对解决这道题有帮助。我的思路是：首先我们要充分的利用好题目中的
% A7 f/ p) x5 [2）点F、G、I分别是线段AB、AC、AE上的点，且满足BF=CG=EI=⊙M半径，这个条件，连接BM,CM,EM和DM,我们要把证明HD等于圆M的半径转化为证明三角形HDM为等腰三角形，而前面的条件也类似的可以转化为几个等腰三角形，再利用这里的几个角与角之间的关系来转化，可能要用到圆心角，圆周角定理等，最会证明在三角形HDM中两底角相等，即证明它为等腰三角形，及证明HD等于圆MD的半径
作者: cool-liu    时间: 2012-11-28 16:42
大家看这题怎么解
作者: 蹶腿的圣徒    时间: 2012-12-20 23:11
可以确认结论是错误的。因为由对称性知：I可以位于直线NM下方，相应地H可位于NM上，那么只要圆N不经过点M,HD就不会等于半径。



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