数学二次函数知识点总汇

浅夏110

四种常见函数的图象和性质总结 　  图象  
特殊点  
性质  
  一 次函数  
   
　　与x轴交点  

　　与y轴交点（0，b）  
　　(1)当k>0时，y随x的增大而增大；  

　　(2)当k<0时，y随x的增大而减小.  
  正比例函数  
   
　　与x、y轴交点是原点(0,0)。　　　　　　　　　　　　　  
　　(1)当k>0时，y随x的增大而增大，且直线经过第一、三象限；  

　　(2)当k<0时，y随x的增大而减小，且直线经过第二、四象限  
  
反比例函数  
　  
　　与坐标轴没有交点，但与坐标轴无限靠近。  
　　(1)当k>0时，双曲线经过第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小；  

　　(2) 当k<0时，双曲线经过第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大。  
  
二次函数  
   
　　与x轴交点或，其中是方程的解，与y轴交点，顶点坐标是 (-,)。  
　　(1)当a>0时，抛物线开口向上，并向上无限延伸；对称轴是直线x=-, y最小值=。  

　　(2)当 a<0时，抛物线开口向下，并向下无限延伸；对称轴是直线x=-, y最大值=  
  


　　注意事项总结：  

　　1．关于点的坐标的求法：  

　　方法有两种，一种是直接利用定义，结合几何直观图形，先求出有关垂线段的长，再根据该点的位置，明确其纵、横坐标的符号，并注意线段与坐标的转化，线段转换为坐标看象限加符号，坐标转换为线段加绝对值；另一种是根据该点纵、横坐标满足的条件确定，例如直线y=2x和y=-x-3的交点坐标，只需解方程组就可以了。  

　　2．对解析式中常数的认识：  

　　一次函数y=kx+b (k≠0)、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)及其它形式、反比例函数y=(k≠0),不同常数对图像位置的影响各不相同，它们所起的作用，一般是按其正、零、负三种情况来考虑的，一定要建立起图像位置和常数的对应关系。  

　　3．对于二次函数解析式，除了掌握一般式即：y=ax2+bx+c((a≠0)之外，还应掌握“顶点式”y=a(x-h)2+　k及“两根式”y=a(x-x1)(x-x2)，（其中x1,x2即为图象与x轴两个交点的横坐标）。当已知图象过任意三点时，可设“一般式”求解；当已知顶点坐标，又过另一点，可设“顶点式”求解；已知抛物线与x轴交点坐标时，可设“两根式”求解。总之，在确定二次函数解析式时，要认真审题，分析条件，恰当选择方法，以便运算简便。  

　　4．二次函数y=ax2与y=a(x-h)2+k的关系：图象开口方向相同，大小、形状相同，只是位置不同。y=a(x-h)2+k图象可通过y=ax2平行移动得到。当h>0时，向右平行移动|h|个单位；h<0向左平行移动|h|个单位；k>0向上移动|k|个单位；k<0向下移动|k|个单位；也可以看顶点的坐标的移动, 顶点从（0，0）移到（h,k)，由此容易确定平移的方向和单位。  

　　二、例题分析：  

　　例1．已知P(m, n)是一次函数y=-x+1图象上的一点，二次函数y=x2+mx+n的图象与x轴两个交点的横坐标的平方和为1，问点N(m+1, n-1)是否在函数y=-图象上。  

　　分析：P(m, n)是图象上一点，说明P(m, n)适合关系式y=-x+1，代入则可得到关于m,n的一个关系，二次函数y=x2+mx+n与x轴两个交点的横坐标是方程x2+mx+n=0的两个根，则x1+x2=-m, x1x2=n, 由平方和为1即x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=1，又可得到关于m, n的一个关系，两个关系联立成方程组，可解出m, n，这种利用构造方程求函数系数的思想最为常见。  

　　解：∵P(m,n)在一次函数y=-x+1的图象上，  

　　∴ n=-m+1, ∴ m+n=1.  

　　设二次函数y=x2+mx+n的图象与x轴的两个交点的横坐标为x1,x2,  

　　∴x12+x22=1,  

　　又∵x1+x2=-m, x1x2=n,  

　　∴ (x1+x2)2-2x1x2=1, 即m2-2n=1  

　由解这个方程组得：或。  

　　把m=-3, n=4代入x2+mx+n=0,  

　　x2-3x+4=0, Δ<0.  

　　∴ m=-3, n=4(舍去).  

　　把m=1, n=0代入x2+mx+n=0,  

　　x2+x=0, Δ>0  

　　∴点N（2，-1），  

　　把点N代入y=-,当x=2时，y=-3≠-1.  

　　∴点N（2，-1）不在图象y=-上。  

　　说明：这是一道综合题，包括二次函数与一次函数和反比例函数，而且需要用到代数式的恒等变形，与一元二次方程的根与系数关系结合，求出m、n值后，需检验判别式，看是否与x轴有两个交点。当m=-3, n=4时，Δ<0，所以二次函数与x轴无交点，与已知不符，应在解题过程中舍去。是否在y=-图象上，还需把点（2，-1）代入y=-，满足此函数解析式，点在图象上，否则点不在图象上。  

　　例2．直线 y=-x与双曲线y=-的两个交点都在抛物线y=ax2+bx+c上，若抛物线顶点到y轴的距离为2，求此抛物线的解析式。  

　　分析：两函数图象交点的求法就是将两函数的解析式联立成方程组，方程组的解既为交点坐标。  

　　解：∵直线y=-x与双曲线y=-的交点都在抛物线y=ax2+bx+c上，  

　　由　　解这个方程组，得x=±1.  

　　∴当x=1时，y=-1.  

　　当x=-1时，y=1.  

　　经检验：，都是原方程的解。  

　　设两交点为A、B，∴A（1，-1），B（-1，1）。  

　　又∵抛物线顶点到y轴的距离为2，∴ 抛物线的对称轴为直线x=2或x=-2，  

　　当对称轴为直线x=2时，  

　　设所求的抛物线解析式为y=a(x-2)2+k，又∵过A（1，-1），B（-1，1），  

　　∴　解方程组得  

　　∴ 抛物线的解析式为y=(x-2)2-  

　　即 y=x2-x-.  

　　当对称轴为直线x=-2时，设所求抛物线解析式为y=a(x+2)2+k,  

　　则有　解方程组得，  

　　∴ 抛物线解析式为y=-(x+2)2+  

　　y=-x2-x+.  

　　∴所求抛物线解析式为：y=x2-x-或y=-x2-x+。  

　　说明：在求直线和双曲线的交点时，需列出方程组，通过解方程组求出x, y值，双曲线的解析式为分式方程，所以所求x, y值需检验。抛物线顶点到y轴距离为2，所以对称轴可在y轴左侧或右侧，所以要分类讨论，求出抛物线的两个解析式。  

　　例3、已知∠MAN=30°，在AM上有一动点B，作BC⊥AN于C，设BC的长度为x，△ABC的面积为y，试求y与x之间的函数关系式。  

　　分析：求两个变量y与x之间的函数关系式，就是想办法用x表示y,，BC=x,则想办法先用含x的代数式表示AC。  

　　解：如图  

　　在Rt△ABC中，  

　　∵∠A=30°，∠BCA=90° BC=x，  

　　∴AC=BC=x  

　　∴  

　　说明：在含有30°、45°、60°的直角三角形中，应注意利用边之间的特殊倍数关系（如AC=BC）。  

　　例4、如图，锐角三角形ABC的边长BC＝6，面积为12，P在AB上，Q在AC上，且PQ∥BC，正方形PQRS的边长为x，正方形PQRS与△ABC的公共部分的面积为y。   
　　（1）当SR恰落在BC上时，求x，  
　　（2）当SR在△ABC外部时，求y与x间的函数关系式；  
　　（3）求y的最大值。  

　　略解：（1）由已知，△ABC的高AD=4。  

　　∵△APQ∽△ABC，（如图一）  

　　设AD与PQ交于点E　∴

　　∴   

　　∴  

　　(2)当SR在△ABC的外部时， 同样有，  

　　则，即AE=  

　　∴y=ED·PQ＝x（4-）=-2+4x（）  

　　（3）∵a=-<0,y=-其中,  

　　∴当x=3时,y取得最大值6.  

　　说明:此例将线段PQ的长设为x,正方形PQRS与△ABC的公共部分的面积设为y,寻找它们之间的函数关系.注意自变量的取值范围;在y取最大值时,要注意顶点(3,6)的横坐标是否在取值范围内.  

　　例5．（ 潍坊市中考题）某公园草坪的护栏是由50段形状相同的抛物线组成的，为牢固起见，每段护栏需按间距0.4m加设不锈钢管（如图一）作成的立柱。为了计算所需不锈钢管立柱的总长度，设计人员利用图二所示的坐标系进行计算。  
　　（1）求该抛物线的解析式； 　　（2）计算所需不锈钢管立柱的总长度。  

　　  

　　分析：图中给出了一些数量，并已经过护栏中心建立了平面直角坐标系， 所以求二次函数的解析式关键是找到一些条件建立方程组。因为对称轴是 y轴，所以b=0,可以设二次函数为y=ax2+c.  

　　解：（1）在如图所示坐标中，设函数解析式为y=ax2+c,B点坐标为（0,0.5），C点坐标为（1，0）。  

　　分别代入y=ax2+c得：

　　，解得  

　　抛物线的解析式为：y=-0.5x2+0.5  

　　（2）分别过AC的五等分点，C1，C2，C3，C4，作x轴的垂线，交抛物线于B1，B2，B3，B4，则C1B1，C2B2，C3B3，C4B4的长就是一段护栏内的四条立柱的长，点C3，C4的坐标为（0.2，0）、(0.6,0)，则B3，B4点的横坐标分别为x3=0.2,x4=0.6.  
　　将x3=0.2和x4=0.6分别代入  

　　y=-0.5x2+0.5得y3=0.48,y4=0.32   

　　由对称性得知，B1，B2点的纵坐标：y1=0.32,y2=0.48  

　　四条立柱的长为：C1B1=C4B4=0.32（m）  

　　C2B2=C3B3=0.48（m）  

　　所需不锈钢立柱的总长为  

　　(0.32+0.48)×2×50=80(m)。  

　　答：所需不锈钢立柱的总长为80m。