中学生数学建模能力的影响因素及其培养策略

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中学生数学建模能力的影响因素及其培养策略

中学生数学建模能力的影响因素及其培养策略

但琦 朱德全 宋宝和

    培养学生的数学应用意识是新一轮基础教育课程改革的基本理念之一。《高中数学课程标准(实验稿)》中指出：“数学建模是数学学习的一种新的方式，它为学生提供了自主学习的空间，有助于学生体验数学在解决实际问题中的价值和作用，体验数学与日常生活和其他学科的联系，体验综合运用知识和方法解决实际问题的过程，增强应用意识；有助于激发学生学习数学的兴趣，发展学生的创新意识和实践能力。”

一  数学建模的过程和能力界说

(一)数学建模的过程

    数学建模是运用数学的原理、方法、语言解决实际问题的过程。数学建模的过程主要包括4个环节：1)问题分析：了解问题的实际背景材料，分析并找出问题的本质。2)假设化简：确定影响研究对象的主要因素，忽略次要因素，以便简化问题进行数学描述和抓住问题的本质。3)建模求解：根据分析建立相应的数学模型，并用数学方法或计算机程序(软件包)对模型进行求解。4)验证修改：检验模型是否符合实际，并对它做出解释，最后将它应用于实际生产、生活中，产生社会效益或经济效益。其活动过程可用图1来表示：

		数学抽象
	现实问题	━━━━→	数学模型
有无解	┃		┃
	↓	翻译、检验	↓
	现实问题解	━━━━→	解数学模型
	图1数学建模过程

    需要注意的是：数学建模的问题往往不是一个单纯的数学问题，它涉及到其他学科知识以及生活知识。数学建模的过程是一个多学科的合作过程，它促使学生把从各门课程中学到的知识加以融会贯通；促使学生根据需要查阅资料、获取知识；促使学生围绕问题收集信息，深化对问题的了解，并在此基础上解决问题。数学建模还可以培养学生推演、探索、猜想、计算以及使用计算器、计算机等的能力。

(二)数学建模能力的界说

吴长江指出：数学建模能力系指对问题做相应的数学化，构建恰当的数学模型，并将该模型求解回译到原问题中进行检验，最终将问题解决或做出解释的能力。阅数学建模的能力包括：阅读理解能力、逻辑推理能力、数学化能力、计算能力和自我监控能力。数学教学要通过学生数学建模能力的培养，使学生掌握必要的数学知识和方法，形成学习数学所需要的较广泛的能力、较强的数学观念或数学意识，能够运用数学知识建立解决日常生活、实际情境和非数学学科中间题的数学模型(即问题数学化)，具备使用计算器和计算机加工和处理数学信息的能力，学会设问、提问、探索、合作、交流等科学的研究方法。Iq

二  影响中学生数学建模能力的主要因素

(一)动机、态度：建模的动力

    动机是唤醒和推动学生进行数学建模的原动力。数学建模的问题不同于一般的数学问题，它是现实的、情境的、开放性的问题。在数学建模过程中，从提出问题到提出假设、分析问题、建立模型、解模型以及解释结果，每一个环节都不是一帆风顺的，必然会遇到挫折和失败。学生如果没有良好的动机和态度，就会产生数学建模太难而自己做不好的想法，就没有信心去解决实际问题。反之，如果学生在挫折和失败面前表现出很强的自信心和毅力，沉着冷静、理性思考、积极合作讨论、反复查阅资料，最后总能将问题解决。因此，积极的动机和态度，对于学生的数学建模具有明显的推动作用。要使学生对数学建摸具有积极的动机和态度，就要培养学生数学建模的兴趣和好奇心。兴趣可以激发学生的内在潜力，使学生保持持久的克服困难的信心。

(二)知识经验：建模的前提

    数学建模作为一种认知活动或思维活动，与知识存在着密切的关系：一方面，知识影响数学建模；另一方面，数学建模是获取知识的重要途径。但后者往往被忽视。凹

    丰富的知识经验是数学建模的基础。离开了基础知识，数学建模就会成为一句空话。数学建模的问题是实际问题，而实际问题涉及的知识面较广，因而数学建模需要跨学科的知识。已储存的知识经验可以帮助人们选择有关的信息，引导人们提取相关的知识和方法，形成解决问题的策略。研究表明：个体的创造力与其具有的相关知识的数量、性质及组织结构存在极大的正相关。[‘巾

    但是，强调知识经验的重要性并不意味着有了知识经验就一定有数学建模能力。知识经验是数学建模的必要条件而非充分条件。知识经验一方面是我们进行数学建模的基础，另一方面又可能束缚我们的建模思路，因为人们总喜欢用自己熟悉的方法去处理新问题，而较少考虑新问题与过去经验的不同之处。研究表明：数学建模能力强的学生并不全是数学基础知识成绩最好的学生。

    具有一定数量的正确知识是形成良好表征的前提，良好的知识结构则是良好表征形成的保证。已有的知识经验的结构也是影响数学建模能力的一个重要因素。良好的认知结构有助于数学建模。反过来，数学建模也可以培养学生良好的认知结构。仅仅有知识是不够的。我们常常遇到这样一种情况：学生虽然具备了数学建模所需要的所有知识，但仍然是苦苦思索而不能建立数学模型，一经指点便豁然开朗。其主要原因之一就是：学生头脑中的知识组织结构性差，运用时不能恰当表征。问题表征是对问题的理解过程，导致问题表征错误或不完整的因素是题意不完全理解、理解错误、解题思路被已有的知识干扰、没有良好的认知结构等。

    举一个例子：两个火车站相距160km。某个星期六下午2：00，有两列火车分别从两个火车站出发相向而行。当火车驶出车站时，有一只鸟从第一列火车出发飞向第二列火车，到达第二列火车后，5Z．q~回第一列，如此反复，直到两车相遇。如果两列火车的速度都为40km／h，小鸟的飞行速度为50km／h，那么，在两车相遇之时，小鸟飞行了多少km?

    如果把这个问题表征为一个距离问题，即依次求出小鸟在两列火车之间来回飞行的距离，再求出这些距离的总和，就显得麻烦。但是，如果把这个问题表征为时间问题，即不理会每次小鸟来回飞行的距离，只关注小鸟在空中飞行了多长时间，那么，由小鸟的飞行速度就很容易确定小鸟的飞行距离，即50x[160÷(40+40)]=lOOkm。[q

    虽然涉及行程问题的知识学生都已学过，但由于这个问题需要将行程问题转化为时间问题，学生如果不能将这些知识的结构组织好，缺乏良好的认知结构，就不能恰当地运用表征。

(三)认知过程：建模的关键

    数学建模的能力来自于基本的认知过程，每个人都具有数学建模的潜能。日常生活中，人们在使用语言和形式概念的过程中就表现出一定的建模能力。例如：人们每天到农贸市场或超市购买各种各样的物品，物品的种类、数量和价格都不一样，但最终每个人都能买到自己所需要的物品。

    数学建模能力具体体现在问题解决的载体上。海斯(Hayes)在1989年提出问题解决是“辨明问题、表征问题、计划解答过程、执行计划、评价计划、评价解题过程”的系列过程。对问题做怎样的表征，·这种表征是否得当，对问题解决有很大的直接影响作用。[517042不同的认知过程有不同的表征形式，也导致不同的效果，一个人的建模能力就体现在问题表征上。

    举一个人、狗、鸡、米渡河问题的例子：人带着狗、鸡、米过河。船除了需要人划之外，至多能载狗、鸡、米三者之一。当人不在场时，狗要吃鸡，鸡要吃米。试设计一个安全过河的方案，并使渡河次数尽量少。

    由于每个人的知识和认知结构不同，其认知过程和选择的认知策略也就不同。这个问题可以用四维向量表征，利用向量的转移来得到结果；也可以用立方体图表征，观察立方体顶点到顶点哪些路径是合理的；还可以用集合的状态转移来表征；最简单的、不需要很深的数学知识的方法就是直接逻辑推理方法，利用该方法，小学生也可以推出结果。

(四)元认知：建模的监控

元认知是认知主体对自身心理状态、能力、任务目标、认知策略等的认识，以及对自身各种认知活动的计划、监控和调节。数学建模过程是一种认知过程，元认知是它的基础并对它起影响作用。

    海斯(Hayes)在1989年提出了问题解决的系列过程，这个过程本身就包含了元认知活动。15171在数学建模过程中，元认知过程与认知过程并存。元认知在确定目标、选择认知策略、监控和评价过程以及对认知策略进行必要的修正等方面发挥着“监督”作用，对问题解决的质量起着决定性的影响。

    在数学建模过程中，分析模型、选择模型和建立模型并不是一蹴而就的，实际问题的模型与理论模型之间总存在一定的差距。要缩短这种差距，使理论模型能够完全反映实际问题，就需要通过元认知不断地修正理论模型，使之不断地接近实际问题的结果。

    再举一例：小明的家离学校1000米，小华的家离学校800米。请问：小明的家距小华的家有多远?

    对于这个问题，学生一般会回答200米或1800米。问题就这么简单吗?如果利用元认知再仔细审题，对目标进行反思和监控，我们就会发现：200米或1800米是小明、小华的家与学校的地理位置处在一条直线上的结果。如果小明、小华的家与学校的位置不在一条直线上，两家的距离又是多少?这时就可以把小明、小华的家与学校看成是二维的平面关系，用余弦定理可得小明与小华家的距离。

    类似地，我们还可以思考：这个问题可不可以推广到三维空间上?结果又如何呢?

三  培养中学生数学建模能力的策略

(一)拓展“最近发展区”

    高中生的学习动机和态度对于学习效果有显著的影响。动机是影响学习策略的重要因素，学习策略的选择又直接影响到学习效果。

    研究表明：知识处于“最近发展区”时，最能激发学生的学习动机。太难的问题会打击学生学习的积极性，太简单的问题会使学生失去兴趣。在数学教学活动中，教师若能挖掘出具有典型意义且能激发学生兴趣和好奇心的问题，并通过创设问题情景充分展现数学的应用价值，就能激发学生的求知欲。帮助学生正确认识数学建模活动的成败，使之建立起积极的期望和自信心，也可以端正学生的学习动机和态度。数学建模不像解常规的数学题，它是开放性的，具有一定的难度。如果学生一遇到困难就放弃，不敢挑战，没有克服困难的自信心和毅力，就很难提高数学建模能力。

    由于学生之间的差异较大，要调动学生学习的兴趣、好奇心和积极性，教师就应根据学生的基础知识、经验、性格等来设计数学建模的问题和教学活动的形式，及时了解学生反馈的情况，培养学生数学建模的兴趣，使之主动地参与数学建模活动，最终让不同水平的学生都获得成功的体验。

(二)强化“问题意识”

    解决任何问题都需要具备相应领域的知识，数学基础知识对于数学建模来说是必不可少的。数学建模需要综合性的、跨学科的知识。要使学生能有效地利用已获得的知识来进行数学建模，教师一定要引导学生学习，创设**和谐的氛围，鼓励学生大胆地提出问题，敢于质疑、猜想、发表自己的独立见解；帮助学生理清、掌握知识以及知识间的纵横联系、层次结构，让学生学会概括和组织知识，使新旧知识实现结构化、系统化；关注具体实际问题与抽象模式之间的灵活转换，学会数学建模的有效思维策略，形成一种在复杂的联系中思考问题的良好习惯。

    数学建模的过程是一个综合运用知识的过程，它不是简单的外部知识与内部知识的叠加过程，而是一个通过反复交流、相互作用而使知识重新组合的过程。数学建模的过程同时也是一个互动合作的过程，它真正体现了“做中学”。在这样的活动中，学生不再是被动接受知识的载体，而是整个活动的主要参与者、活动的主体。数学建模的问题是没有现成答案、没有固定求解模式的实际问题，它给学生提供了充分发挥自己创造力的空间，使学生在对问题进行抽象建模、求解验证的过程中体验到数学发现的全过程，进而发展数学思维、扩大知识面。

(三)建构“思维模式”

    我们既要把数学思想、数学方法理解为数学学习中深层次的基础知识，又要理解为数学建模的思维策略。在数学建模的过程中，策略性知识与事实性知识结合得非常紧密，相互渗透、相互融合，数学化能力要在高层次的策略性知识与低层次的描述性知识以及程序性知识之间不断地进行转换。数学建模教学的载体是数学知识，但数学建模的教学更应该注重学生对数学思想和数学方法的应用以及策略性知识的学习。认知心理学的研究已经表明：一个人不能“数学地”思考和解决问题的主要原因是缺乏必要的数学知识。I晌数学知识既包括描述性知识、程序性知识，也包括过程性知识。p，

    学生在将实际问题数学化时，需要从多角度思考问题，需要具有开阔的视野和灵活的思维，这就涉及到策略性知识。专家与新手在策略性知识的选用上有着明显的差别。训练学生策略性知识是提高学生数学化能力的基础。

    学生数学建模的认知策略主要有：1)形象表征和整体把握实际问题。通过阅读范例以及分析、思考和研究范例，使学生对数学建模的感知意识；借助数据、图形、表格的表征，使学生学会从局部到整体地把握实际问题。2)多向思维相结合。数学建模的问题都有假设条件及要达到的目标。建模就是要将条件与目标联系起来，这种联系是多向的，要完成它，不仅需要顺向思维，也需要逆向思维，更需要多向思维的结合。3)克服思维定势的消极影响，实现多角度思维相结合。在建立数学模型时，常常会出现“山穷水尽疑无路”的情况，这时，改变思维的角度和换一种思考方式就会“柳暗花明又一村”。4)利用信息技术丰富思维。通过上网查阅资料、阅读参考文献以及计算器、计算机模拟仿真等打开数学建模的思路。5)合作讨论。小组合作交流讨论，各抒己见，激发思维，提出不同的观点。6)总结建模思路。数学建模需要不断的总结和反思。唯其如此，学生的建模能力才能得到提高。

(四)调用“监控系统”

A·H·舍费尔得(A．H．Schhoenfeld)
明确指出了“调节”在解题中的作用。他认为：调节能使解题者减少盲目性，促使解题者对自身的行为进行评估。Iq”数学建模是一个反映学生综合能力的“调节”活动。数学建模可能会遇到许多问题。面对问题，学生需要不断地提出一些更为仔细的自我指导语：  “这是一个什么样的问题?”“它涉及到哪方面的知识?”“需要查阅哪方面的资料?”“这种分析问题的思路是否可行?”“实际问题的假设都考虑全了吗?”“变量之间的关系能这样处理吗?”“我为什么这样考虑?”“用什么方法求解模型?”“这个结果是否符合实际情况?”“我应该做怎样的修改?”数学建模尤其需要这样的思维活动。在建立数学模型时，学生一定要加强对元认知的监控，不断地修正数学模型。

摘自《中国教育学刊》2007。4（61~64）