例谈中学数学建模教与学活动设计

zhangtt123

例谈中学数学建模教与学活动设计

　　[关键词] 数学建模 教与学 活动设计 原则 注意事项
　　
　　数学的最终目的在于解决客观世界的现实问题。建模也就是建立数学模型，是把现实问题的主要特征、主要关系抽象出来，用数学语言概括或近似地表述出来的一种数学结构。而中学数学建模就是用中学学到的数学知识解决现实生活中的实际问题的过程。
　　数学建模教与学的活动设计应反映数学教育发展与改革的方向，具体说来应强调以下原则：1.着重发展学生的数学能力，特别是数学应用的能力；2.强调计算工具（计算器和计算机）的使用；3.更强调学生积极主动地参与，把教学过程更自觉地变成学生活动的过程。
　　设计数学建模活动时的注意事项如下：
　　1.注意结合学生的实际水平，分层次逐步推进
　　数学建模对教师和学生都有一个逐步学习和适应的过程。教师在设计数学建模活动时，特别应考虑学生的实际能力和水平，起始点要低，形式应有利于更多的学生能参与。
　　例如“打包问题”的教与学。问题：市场上一包火柴内装10盒火柴；一条香烟内装10包香烟……它们打包做外包装的形式一样吗？哪一种包装形式更能节省外包装材料呢？为了讨论方便，我们先来定义一种“规则打包”法，这是指打包时要求包内的相邻两物必须以全等的两个侧面来对接。打包后的结果仍是一个长方体。我们可以更数学地提问：火柴、香烟或其他长方体的物品，按“规则打包”的形式将10包打成一个大包，怎样打包可使表面积最小？为了节省时间，请大家先就10包香烟来讨论一下求解的方案。
　　五分钟以后，教师请三位同学上黑板画出他们设计的9种不同的打包方案。当黑板上已出现了9种打包摆放示意图（图略）后，教师问学生：现在可以做什么？学生众答：可以分别计算面积。；
　　几分钟后，学生对上面的每一种摆放的方法，分别算出它们的表面积（其中X=4000mm2，Y=1600mm2，Z=1000mm2），结果如下：①S1=2x+20Y+20z=56000mm2；②S2=2Y+20Z+20X=103200mm2；③S3=2z+20x+20y=114000mm2；④S4=4Y+10X+20Z=66400mm2；⑤S5=4Z+10X+20Y=76000mm2；⑥S6=4X+10y+20X=52000mm2；⑦S7=4Z+10y+20X=100000mm2；⑧S8=4Y+10Z+20X=96400mm2；⑨S9=4X+10Z+20Y=58000mm2。由计算发现：10包香烟表面积最小的打包方法是第六种所示，它的最小表面积是52000mm2。
　　教师：看起来我们的问题已经解决，但是既然对香烟来说第六种打包形式的表面积最小，可为什么外面买的香烟都不是这样打包，而是用第四种的形式打包的呢？请你们帮助我把这个问题想明白，告诉我好吗？
　　学生众人：长条的烟拿着“有派”，往大箱子里放比较方便。
　　教师补充：我想打包的表面积最小和最省包装材料并不十分一致，因为外包装的两端都有粘贴部分，这些地方的面积就有重叠。另外，做外包装的盒子时，是从一张更大的纸上下的料，因此这时“节约”所考虑的问题不是打包的表面积小，而是下料后的残料尽可能的小……
　　2.注意结合正常教学的教材内容
　　数学应用和建模应与现行数学教材有机结合，把应用和数学课内知识的学习更好地结合起来，而不要形成两套系统。教师应特别注意把握数学应用、数学建模与学生现实所学数学知识的“切入点”，引导学生在学中用、在用中学。“切入”的内容应该和正常的教学内容、教材的要求比较接近，以便于学生的理解和对教材知识的掌握。
　　例如通过建立方程模型和函数模型来解决“围栏”问题。问题：要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠着原有的一面墙，另三边用30米长的铁篱笆来围，并在中间将养鸡场分隔成两个矩形（如图）。
　　（1）设所围成的矩形面积为72平方米，求此时所围矩形的两邻边长；
　　（2）设所围成的面积为y平方米，求此时所围矩形的两邻边长；
　　（3）当所靠的这堵墙长度只有15米时，要围成面积为72平方米的如图所示的养鸡场，两邻边的长应为多少米？
　　（4）用你学过的数学知识帮助参谋一下，72平方米是否是最大面积？若不是，请算出怎样设计可达到最大面积。
　　简解：（1）设与墙垂直的一边AB=x（米），则矩形另一边BC=30-3x（米）。由题意，x（30-3x）=72。整理，得x2-10x+24=0，解得x1=4，x2=6。
　　当 x=4时，30-3x=18；当x=6时，30-3x=12。
　　∴此时所围矩形的两邻边长为4米、18米或6米、12米。
　　（2）由题意，y=x（30-3x）=30x-3x2，即y=-3x2+30（0＜x＜24（米））。
　　（3）如图，当MN=15米时，矩形的两邻边长AB=6米，BC=12米。
　　（4）72平方米不是矩形最大面积。∵y=-3x2+30x=-3（x-5）2+75，∵-3 ＜0，∴当x=5时，y最大值=75。即当x=5时，30-3x=15时，也就是当宽AB为5米、长BC为15米时，所设计的矩形面积为最大，此时最大面积为75平方米。
　　3.注意数学应用与数学建模的“活动性”
　　数学应用与数学建模的目的并不是仅仅为了给学生扩充大量的数学课外知识，也不是仅仅为了解决一些具体问题，而是要培养学生的应用意识、数学能力和数学素质。
　　在数学建模活动中，常常可以通过教师为学生创设的问题环境，让学生在解决问题的过程中学数学、用数学，从而培养与提高学生的观察能力、创造能力和良好的思维品质。
　　
　　[参考文献]
　　叶其孝主编《中学数学建模》