初中阶段的应用题类型

浅夏110

初中阶段其实只有三种应用题：一是问题表现是等量关系的问题；二是问题表现是不等关系的问题；三是问题表现函数关系的问题.

一、等量关系问题

题目类型：题目的已知条件中往往提供类似“和差倍分”的等量关系.

解决方案：设元，列方程（组）

特别说明：如有三个量问题，则已知中必有一个量是已知量，一个量是问询量（设元对象），则用已知量和设元量分别表示出另一个量后，用另一个量的相等关系列方程.

二、不等关系问题

题目类型：题目的已知条件中往往提供类似“大于、不超过”的不等关系.当然，有些不等关系的表达较为隐晦，需要注意.

解决方案：只设一个未知数，列不等式（组）

特别说明：大部分方案问题就是不等式（组）的应用问题.另，大部分是直接设元，但有时也需间接设元.

三、函数关系问题

题目类型：直接表明求函数关系，或以求最值方式体现的问题.

解决方案：先表示出两个变量之间的关系，再转化为函数关系式.

特别说明：有些变量的关系中，因变量有两个，这个时候要注意其中一个因变量要用自变量来表示，再代入这个函数关系式，最终转化成一个因变量和一个自变量的函数关系式（结果往往是二次函数）.另，注意自变量的取值范围.

例：（2013黔东南）某校校园超市老板到批发中心选购甲、乙两种品牌的文具盒，乙品牌的进货单价是甲品牌进货单价的2倍，考虑各种因素，预计购进乙品牌文具盒的数量y（个）与甲品牌文具盒的数量x（个）之间的函数关系如图所示．当购进的甲、乙品牌的文具盒中，甲有120个时，购进甲、乙品牌文具盒共需7200元．

（1）根据图象，求y与x之间的函数关系式；

（2）求甲、乙两种品牌的文具盒进货单价；

（3）若该超市每销售1个甲种品牌的文具盒可获利4元，每销售1个乙种品牌的文具盒可获利9元，根据学生需求，超市老板决定，准备用不超过6300元购进甲、乙两种品牌的文具盒，且这两种品牌的文具盒全部售出后获利不低于1795元，问该超市有几种进货方案？哪种方案能使获利最大？最大获利为多少元？

【解析】（1）问题1很直接就是根据图象求函数关系式，故在图中找两个已知点（50,250）和（200,100），利用待定系数法求出函数解析式y=-x+300，其中0≤x≤300.对于得到的关系式，我们应注意到其含义是“两种品牌的文具盒共买300个”.

（2）注意到题目中提供的已知条件（黑体字部分）是两个等量关系，已知是数量（即购进甲品牌文具盒120个、乙品牌文具盒180个（需通过第1题的关系式得出）），问询的是单价，故以单价设元（即设甲种品牌进货单价为a元，则乙种品牌进货单价为2a元），再根据总价的相等关系列方程（即120a+180·2a=7200），解得a=15，2a=30.

（3）注意到题目中有两个不等关系（黑体字部分），其方案数量应取决于这两个不等关系，故设元（即设购进甲品牌文具盒x个，乙品牌文具盒300-x个），列不等式组.（15x+30（300-x）≤6300和4x+9（300-x）≥1795），解得180≤x≤181，又x取整数，故x=180或181，即有两种进货方案.

（4）可以直接计算比较得出最大获利方案，但若方案数较多的问题，一般采用利用函数的性质或图像来确定最值.显然这里的利润随进货数量的改变而改变，故设总利润为w元，甲品牌文具盒的进货数量为x个，则可得w=4x+9（300-x），整理得w=-5x+2700，这是个一次函数且为减函数（k=-5），故当x取最小时，w最大，即当x=180时，w有最大值是1800.