初中应用题的解题技巧

浅夏110

初中应用题的解题技巧




[p=168, null, left][size=168px]应用问题的解题技巧

[p=168, null, left][size=168px]教学目标：应用问题是中学数学的重要内容．它与现实生活有一定的联系，它

[p=168, null, left][size=168px]通过量与量的关系以及图形之间的度量关系，形成数学问题．应用问题涉及较多的

[p=168, null, left][size=168px]知识面，要求学生灵活应用所学知识，在具体问题中，从量的关系

[p=168, null, left][size=168px]分析

[p=168, null, left][size=168px]入手，设定

[p=168, null, left][size=168px]未知数，发现等量关系列出方程，获得方程的解，并代入原问题进行验证．这一系

[p=168, null, left][size=168px]列的解题程序，要求对问题要深入的理解和

[p=168, null, left][size=168px]分析

[p=168, null, left][size=168px]，并进行严密的推理，因此对发展

[p=168, null, left][size=168px]创造性思维有重要意义．

[p=168, null, left][size=168px]重点：解应用问题的技能和技巧．

[p=168, null, left][size=168px]1

[p=168, null, left][size=168px]．直接设未知元

[p=168, null, left][size=168px]在全面透彻地理解问题的基础上，根据题中求什么就设什么是未知数，或要求

[p=168, null, left][size=168px]几个量，

[p=168, null, left][size=168px]可直接设出其中一个为未知数，

[p=168, null, left][size=168px]这种设未知数的方法叫作直接设未知元法．

[p=168, null, left][size=168px]例

[p=168, null, left][size=168px]1

[p=168, null, left][size=168px]某校初中一年级举行数学竞赛，参加的人数是未参加人数的

[p=168, null, left][size=168px]3

[p=168, null, left][size=168px]倍，如果该

[p=168, null, left][size=168px]年级学生减少

[p=168, null, left][size=168px]6

[p=168, null, left][size=168px]人，未参加的学生增加

[p=168, null, left][size=168px]6

[p=168, null, left][size=168px]人，那么参加与未参加竞赛的人数之比是

[p=168, null, left][size=168px]2

[p=168, null, left][size=168px]∶

[p=168, null, left][size=168px]1

[p=168, null, left][size=168px]．求参加竞赛的与未参加竟赛的人数及初中一年级的人数．

[p=168, null, left][size=168px]分析

[p=168, null, left][size=168px]本例中要求三个量，即参赛人数、未参赛人数，以及初中一年级人数．由

[p=168, null, left][size=168px]已知条件易知，可直接设未参赛人数为

[p=168, null, left][size=168px]x

[p=168, null, left][size=168px]，那么参赛人数便是

[p=168, null, left][size=168px]3x

[p=168, null, left][size=168px]．于是全年级共有

[p=168, null, left][size=168px](x+3x)

[p=168, null, left][size=168px]人．

[p=168, null, left][size=168px]由已知，全年级人数减少

[p=168, null, left][size=168px]6

[p=168, null, left][size=168px]人，即

[p=168, null, left][size=168px](x+3x)

[p=168, null, left][size=168px]-

[p=168, null, left][size=168px]6

[p=168, null, left][size=168px]，

[p=168, null, left][size=168px]①而未参加人数增加

[p=168, null, left][size=168px]6

[p=168, null, left][size=168px]人时，则

[p=168, null, left][size=168px]参加人数是未参加人数的

[p=168, null, left][size=168px]2

[p=168, null, left][size=168px]倍，从而总人数为

[p=168, null, left][size=168px](x+6)+2(x+6)

[p=168, null, left][size=168px]．②

[p=168, null, left][size=168px]由①，②自然可列出方程．

[p=168, null, left][size=168px]解

[p=168, null, left][size=168px]设未参加的学生有

[p=168, null, left][size=168px]x

[p=168, null, left][size=168px]人，则根据分析，①，②两式应该相等，所以有方程

[p=168, null, left][size=168px](x+6)+2(x+6)=(x+3x)

[p=168, null, left][size=168px]-

[p=168, null, left][size=168px]6

[p=168, null, left][size=168px]，

[p=168, null, left][size=168px]所以

[p=168, null, left][size=168px]x+6+2x+12=4x

[p=168, null, left][size=168px]-

[p=168, null, left][size=168px]6

[p=168, null, left][size=168px]，

[p=168, null, left][size=168px]所以

[p=168, null, left][size=168px] 3x+18=4x

[p=168, null, left][size=168px]-

[p=168, null, left][size=168px]6

[p=168, null, left][size=168px]，

[p=168, null, left][size=168px]所以

[p=168, null, left][size=168px] x=24(

[p=168, null, left][size=168px]人

[p=168, null, left][size=168px])

[p=168, null, left][size=168px]．

[p=168, null, left][size=168px]所以未参加竞赛的学生有

[p=168, null, left][size=168px]24

[p=168, null, left][size=168px]人，参加竞赛的小学生有

[p=168, null, left][size=168px]3

[p=168, null, left][size=168px]×

[p=168, null, left][size=168px]24=72(

[p=168, null, left][size=168px]人

[p=168, null, left][size=168px])

[p=168, null, left][size=168px]．

[p=168, null, left][size=168px]全年级有学生

[p=168, null, left][size=168px]4

[p=168, null, left][size=168px]×

[p=168, null, left][size=168px]24=96(

[p=168, null, left][size=168px]人

[p=168, null, left][size=168px])

[p=168, null, left][size=168px]．

[p=168, null, left][size=168px]说明

[p=168, null, left][size=168px]本例若按所求量次序设参加人数为

[p=168, null, left][size=168px]x

[p=168, null, left][size=168px]人，则未参加人数为

[p=168, null, left][size=168px]例

[p=168, null, left][size=168px]2

[p=168, null, left][size=168px]一工人在定期内要制造出一定数量的同样零件，若他每天多做

[p=168, null, left][size=168px]做多

[p=168, null, left][size=168px]少个零件？

[p=168, null, left][size=168px]定期是多少天？

[p=168, null, left][size=168px]分析

[p=168, null, left][size=168px]若直接设这个工人要做

[p=168, null, left][size=168px]x

[p=168, null, left][size=168px]个零件，定期为

[p=168, null, left][size=168px]y

[p=168, null, left][size=168px]天，则他每天做

[p=168, null, left][size=168px]另一方面，如果他每天少做

[p=168, null, left][size=168px]5

[p=168, null, left][size=168px]个，则要增加

[p=168, null, left][size=168px]3

[p=168, null, left][size=168px]天工期，因此，

[p=168, null, left][size=168px]显然，将此两式联立，解出

[p=168, null, left][size=168px]x

[p=168, null, left][size=168px]，

[p=168, null, left][size=168px]y

[p=168, null, left][size=168px]即可．

[p=168, null, left][size=168px]解

[p=168, null, left][size=168px]设工人要做

[p=168, null, left][size=168px]x

[p=168, null, left][size=168px]个零件，定期为

[p=168, null, left][size=168px]y

[p=168, null, left][size=168px]天，则他每天做

[p=168, null, left][size=168px]x/y

[p=168, null, left][size=168px]个，依

[p=168, null, left][size=168px]分析

[p=168, null, left][size=168px]有方程组

[p=168, null, left][size=168px]整理得

[p=168, null, left][size=168px]②×

[p=168, null, left][size=168px]2+

[p=168, null, left][size=168px]①得

[p=168, null, left][size=168px]将

[p=168, null, left][size=168px]x=50y

[p=168, null, left][size=168px]代入②得

[p=168, null, left][size=168px]y=27

[p=168, null, left][size=168px]，

[p=168, null, left][size=168px] x=50y=1350

[p=168, null, left][size=168px]，

[p=168, null, left][size=168px]答

[p=168, null, left][size=168px]工人要做

[p=168, null, left][size=168px]1350

[p=168, null, left][size=168px]个零件，定期为

[p=168, null, left][size=168px]27

[p=168, null, left][size=168px]天．

[p=168, null, left][size=168px]例

[p=168, null, left][size=168px]3

[p=168, null, left][size=168px]一队旅客乘坐汽车，要求每辆汽车的旅客人数相等．起初每辆汽车乘了

[p=168, null, left][size=168px]22

[p=168, null, left][size=168px]人，结果剩下

[p=168, null, left][size=168px]1

[p=168, null, left][size=168px]人未上车；如果有一辆汽车空着开走，那么所有旅客正好能平均分

[p=168, null, left][size=168px]乘到其他各车上．

[p=168, null, left][size=168px]已知每辆汽车最多只能容纳

[p=168, null, left][size=168px]32

[p=168, null, left][size=168px]人，

[p=168, null, left][size=168px]求起初有多少辆汽车？有多少

[p=168, null, left][size=168px]名旅客？

[p=168, null, left][size=168px]解

[p=168, null, left][size=168px]设起初有汽车

[p=168, null, left][size=168px]m

[p=168, null, left][size=168px]辆，开走一辆空车后，平均每辆车所乘旅客为

[p=168, null, left][size=168px]n

[p=168, null, left][size=168px]人．由于

[p=168, null, left][size=168px]m

[p=168, null, left][size=168px]≥

[p=168, null, left][size=168px]2

[p=168, null, left][size=168px]，

[p=168, null, left][size=168px]n

[p=168, null, left][size=168px]≤

[p=168, null, left][size=168px]32

[p=168, null, left][size=168px]，依题意有

[p=168, null, left][size=168px]22m+1=n(m

[p=168, null, left][size=168px]-

[p=168, null, left][size=168px]1)

[p=168, null, left][size=168px]．

[p=168, null, left][size=168px]所以

[p=168, null, left][size=168px]因为

[p=168, null, left][size=168px]n

[p=168, null, left][size=168px]为自然数，所以

[p=168, null, left][size=168px]23/m

[p=168, null, left][size=168px]-

[p=168, null, left][size=168px]1

[p=168, null, left][size=168px]为整数，因此

[p=168, null, left][size=168px]m

[p=168, null, left][size=168px]-

[p=168, null, left][size=168px]1=1

[p=168, null, left][size=168px]，或

[p=168, null, left][size=168px]m

[p=168, null, left][size=168px]-

[p=168, null, left][size=168px]1=23

[p=168, null, left][size=168px]，

[p=168, null, left][size=168px]即

[p=168, null, left][size=168px] m=2

[p=168, null, left][size=168px]或

[p=168, null, left][size=168px]m=24. 

[p=168, null, left][size=168px]当

[p=168, null, left][size=168px] m=2

[p=168, null, left][size=168px]时，

[p=168, null, left][size=168px]n=45(

[p=168, null, left][size=168px]不合题意，舍去

[p=168, null, left][size=168px])

[p=168, null, left][size=168px]；当

[p=168, null, left][size=168px]m=24

[p=168, null, left][size=168px]时，

[p=168, null, left][size=168px]n=23(

[p=168, null, left][size=168px]符合题意

[p=168, null, left][size=168px])

[p=168, null, left][size=168px]．

[p=168, null, left][size=168px]所以旅客人数为：

[p=168, null, left][size=168px]n(m

[p=168, null, left][size=168px]-

[p=168, null, left][size=168px]1)=23

[p=168, null, left][size=168px]×

[p=168, null, left][size=168px](24

[p=168, null, left][size=168px]-

[p=168, null, left][size=168px]1)=529(

[p=168, null, left][size=168px]人

[p=168, null, left][size=168px])

[p=168, null, left][size=168px]．

[p=168, null, left][size=168px]答

[p=168, null, left][size=168px]起初有汽车

[p=168, null, left][size=168px]24

[p=168, null, left][size=168px]辆，有乘客

[p=168, null, left][size=168px]529

[p=168, null, left][size=168px]人．

[p=168, null, left][size=168px]注意

[p=168, null, left][size=168px]解方程后所得结果必须代入原题检验根的合理性，并根据情况做具体讨

[p=168, null, left][size=168px]论．

[p=168, null, left][size=168px]2

[p=168, null, left][size=168px]．间接设元

[p=168, null, left][size=168px]如果对某些题目直接设元不易求解，便可将并不是直接要求的某个量设为未知

[p=168, null, left][size=168px]数，从而使得问题变得容易解答，我们称这种设未知数的方法为间接设元法．