浅谈如何使初中生理解数学建模

浅夏110

       把实际问题经过抽象转化，构建数学模型，是解决问题的重要途径，是一种“提出问题——解决问题”的认知过程。随着国家基础课程改革的不断深入，要求学生不仅要掌握必要的科学知识，而且还要具备一定的提出问题、分析问题、解决问题的能力。但数学建模的问题还未引起数学教师们的足够重视，教师们仍然重视传授知识，而忽略数学知识与我们周围现实世界的密切联系。学生由于缺乏解决实际问题的锻炼，面对实际问题往往不知从何着手，不知数学模型为何物，更不知面对错综复杂的实际问题如何建立合理的数学模型。
       由于“数学建模”比较抽象，初中学生较难理解，所以在整个初中数学的教材内，并未出现过“数学建摸”一词。只是在义务教育课程标准实验教科书数学（北京师范大学出版社）八年级上册第六章《一次函数》的引言部分提到“函数是刻画变量之间关系的常用模型”；第七章《二元一次方程组》的引言中提到“方程（组）是刻画现实世界中的等量关系的有效模型”；在九年级上册第二章《一元二次方程》中的引言中提到“与一次方程和分式方程一样，一元二次方程也是刻画现实问题的有效数学模型”；第五章《反比例函数》的引言中提到“函数是刻画变量之间关系的数学模型”。“模型”一词着实令学生费解，“建立数学模型”就更让学生困惑了。而实质上，新教材从七年级到九年级的编排里一直渗透着数学建模的思想，尤其是在方程和函数方面。而且，数学建模既可以培养学生良好的数学观和方法论，又可以促进学生树立面向实际的眼光和观念，增强学生解决实际问题的能力。所以笔者认为，教师在教学中应抓好数学建模的启蒙教育，使学生理解什么是数学建模，而不是完全避开。
       什么是数学建模？当人们面对一个实际问题时，不是直接就现实材料本身寻找解决问题的办法，而是经过一番必要而且合理的假设和简化，恰当地运用数学语言、方法去近似地刻画实际问题，得到一个 数学结构（数学模型），通过数学上的结构揭示其实际问题中的含义，合理地返回到实际中去，这个过程就称为数学建模。
数学模型，按广义理解，一切数学概念、数学理论体系、数学公式、方程以及算法系统都可称为数学模型；按狭义理解，数学模型是指解决特定问题的一种数学框架或结构，如二元一次方程是“鸡兔同笼”问题的数学模型，“一笔划”问题是“七桥问题”的数学模型，等等。在一般情况下数学模型按狭义理解，尤其是在初中阶段。
       而数学建模，简单的说，建立数学模型的过程就是数学建模，它是一种数学的思考方法，包括对实际问题进行抽象、简化，建立数学模型、求解数学模型、验证数学模型解的全过程。
数学建模的步骤并没有固定模式，不同的人有不同的看法。现就一般情况给出其步骤：它包括模型准备、模型假设、模型建立、模型求解、模型分析、模型检验、模型应用，即向左转|向右转

       初中数学的建模显然不能具备以上完整过程。从初中生的年龄特点、接受能力、储备知识等实际情况出发，初中数学的建模应从狭义角度来理解，并且要求不能太高。只要学生能对已成型的数学问题，用已掌握的数学知识，建立合适的数学模型，并且求解即可。在教学中必须坚持以学生为主体，不能脱离学生搞一些不切实际的建模教学。
       那么，怎样在初中阶段使学生理解数学建模呢？
       教师如果能在平时有意识地寻找一些良好的、适当的切入点，就可以使学生更容易地理解和接受数学建模。比如下面这道生活中的实际问题：
【例1】一汽车以100km/h的平均速度沿京沪高速公路从上海驶往北京，共用12.65h，如果返回时的平均速度是110km/h，那么需要行驶多长时间？
这道题学生很可能会用小学列算式的方法来解：
北京到上海的距离为：100×12.65＝1265（km）
所以，汽车返回时行驶的时间为：1265÷110＝11.5（h）
此时，教师应适时地引导学生：“方程与函数也是刻画数量之间关系的数学模型，如何把一些实际问题引入到一个特定的模型，是问题能否得以解决的关键，而其中的建立数学模型的意识更显得尤为重要。这个实际问题如果用方程来解决，即是建立方程模型；如果用函数思想来解决，即是建立函数模型。这就是数学模型。”向左转|向右转

使学生理解数学建模还可以从其它相关学科入手。由于数学是学习其它自然科学和社会科学的工具，而且其它学科与数学的联系也相当密切。因此，我们在教学中应注意与其它学科的呼应，这不但可以帮助学生加深对数学建模的理解，也能培养学生的建模意识。这样的模型意识不仅仅是抽象的数学知识，而且对他们将来用数学建模探讨其它学科知识产生深远影响。比如下面这道与物理有关的问题：向左转|向右转
向左转|向右转

生活中的实际问题还可以建立几何模型来解决，诸如工程定位、边角余料加工、拱桥计算、皮带传动、修复破残轮片、跑道的设计与计算等应用问题，涉及一定图形的性质，常需建立几何模型求解。选一些通过建立几何模型来解决的实际问题，也可以帮助学生更好的理解数学建模。比如下面这道有趣的实际问题：
【例3】如图1，足球赛中，一球员带球沿直线 逼近球门AB，他应在什么地方起脚射门最为有利？
建立模型向左转|向右转
　  这是几何定位问题，根据常识，起脚射门的最佳位置P应该是直线 上对AB张角最大的点，此时进球的可能性最大，问题转化为在直线 上求点P．使∠APB最大．为此，过A、B两点作圆与直线 相切，切点P即为所求．当直线 垂直线段PB时，易知P点离球门越近，起脚射门越有利。可见“临门一脚”的功夫理应包括选取起脚射门的最佳位置。
由此，我们可以看到，运用数学建模解决实际问题，关键是把实际问题抽象为数学问题。我们必须先通过观察分析、提炼出实际问题的数学模型，然后再把数学模型纳入某知识系统去处理，这不但要求学生有一定的抽象能力，而且要有相当的观察、分析、综合、类比能力。
学生的这种能力的获得不是一朝一夕的事情，需要把数学建模意识贯穿在整个中学教学的始终，初中只是管中窥豹，为它打下了一些基础。将来学生升入高中或大学再次接受数学建模教育时会发现，原来数学建模的领域如此广泛、要求如此之高。
生活中存在着许许多多能够通过数学建模解决的问题，只要我们用心寻找，就可以找到帮助学生理解数学建模的实际例子。要使学生充分理解数学建模问题，教师要选择适当的实际问题，创设合理的问题情境，自己动手，因地制宜地收集、编制，改造成适合学生使用、贴近学生生活实际的数学建模问题，同时注意问题的开放性与可扩展性，尽可能地创设一些合理、新颖、有趣的问题情境，不仅要使学生理解数学建模，更要激发学生探索数学建模的好奇心和求知欲。