走近中考看有理数运算

浅夏110

有关有理数运算的问题，一直是中考命题的一个热点，走近中考看一下有关有理数的运算问题，将有助于明确复习的方向，更好地掌握有理数的有关知识.
　　
　　一、 开放发散型问题
　　例1（2005年海南省中考试题）在下面等式的□内填数，○内填运算符号，使等号成立（两个等式中的运算符号不能相同）：□○□＝－6，□○□＝－6.
　　分析：这是一道典型的开放题，给考生思考的空间很大，其答案众多，只要符合题目的要求即可，例如，可依次填-2，+，-4；2，-，8；-2，×，3；，÷，-；等等.
　　
　　二、数形结合型问题
　　例2（2006年山东省济南市中考试题）如图，数轴上A，B两点所表示的两数的（）.
　　Ａ．和为正数 Ｂ．和为负数
　　Ｃ．积为正数 Ｄ．积为负数
　　分析：A、B两点对应的数分别是-3和3，这两个数的和为0，既不是正数，也不是负数；积为-9，应选D.
　　
　　三、分类讨论型问题
　　例3（2006年黑龙江省哈尔滨市中考试题）若x的相反数是3，|y|＝5，则x
　　+y的值为（ ）.
　　A．-8B.2C.8或-2D.-8或2
　　分析：由题知，x＝-3，y＝5或y＝-5.因此，要分类求解：当x＝-3，y＝5时，
　　x+y＝-3+5＝2；当x＝-3，y＝-5时，x+y＝-3+（-5）＝-8 ，应选D.
　　
　　四、规律探索型问题
　　例4（2006年四川省南充市中考试题）在小学我们已经知道，有规律排列的一列数：2，4，6，8，10，12，… 它的每一项可用式子2n（n是正整数）来表示．那么，对于有规律排列的一列数：1，-2，3，- 4，5，-6，7，-8，…
　　(1)它的每一项你认为可用怎样的式子来表示？
　　(2)它的第100个数是多少？
　　(3) 2006是不是这列数中的数？如果是，是第几个数？
　　分析：要解决这个问题，关键是研究其符号和数字的排列规律.经观察比较易发现，如果不考虑正负号，这一列数是小学学过的从1开始由小到大排列的自然数.题目告诉我们：有规律排列的一列数：2，4，6，8，10，12，… 它的每一项可用式子2n（n是正整数）来表示，因此可类比它用n（n是正整数）来表示这列数；再考虑正负号的添加规律，发现奇数项为正，偶数项为负，结合n为正整数，因此要分类给出其规律.其规律是：当n为奇数时，表示为n；当n为偶数时，表示为-n.当然，也可用（－１）n+1或－（－１）n来表示正负号的变化规律，从而这一列数可表示为（－１）n+1n或－（－１）nn（n是正整数）.有了这一规律，问题的求解就容易了.
　　解：（1）它的每一项可用式子表示为：（－１）n+1n（n是正整数）或－（－１）nn（n是正整数）；（2）它的第100个数是偶数，因此应为-100；（3）由于第2006个数为偶数，这个数应是负数，因此2006不是这列数中的数.
　　
　　五、定义新运算型问题
　　例5（2006年江苏省无锡市中考试题）在有理数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“�”如下：当a≥b时，a�b＝b2；当a＜b时，a�b＝a．则当x＝2时，(1�x)・x－(3�x)的值为(“・”和“－”仍为有理数运算中的乘号和减号)．
　　分析：解决新定义运算问题的关键是读懂题目中给出的运算新规则，然后将其转化为常规的有理数运算来解决.
　　解：根据定义的新运算法则，当x＝2时，因为1＜2，3＞2，所以1�x＝1，
　　3�x＝x２，原式＝1×x-x２＝2-２２＝-2.
　　
　　六、实际应用型问题
　　例6（2006年湖北省黄冈市中考试题）黄冈某商场在世界杯足球比赛期间举行促销活动，并设计了两种方案：一种是以商品价格的九五折优惠的方式进行销售；一种是采用有奖销售的方式，具体措施是：①有奖销售自2006年6月9日起，发行奖券10000张，发完为止；②顾客累计购物满400元，赠送奖券一张(假设每位顾客购物每次都恰好凑足400元)；③世界杯后，顾客持奖券参加抽奖；④奖项是：特等奖2名，各奖3000元奖品；一等奖10名，各奖1000元奖品；二等奖20名，各奖300元奖品；三等奖100名，各奖100元奖品；四等奖200名，各奖50元奖品；纪念奖5000名，各奖10元奖品.试就商场的收益而言，对两种促销方法进行评价，选用哪一种更为合算？
　　分析：这是一个生活中的实际问题，解决它的关键是通过精确的计算得出结果.
　　解：设在定价销售额为400×10000元的情况下，采用打折销售的实际销售金额为W1元，采用有奖销售的实际销售金额为W2元，由题意有W1＝400×10000×95％＝3800000（元），W2＝400×10000-（2×3000+10×1000+20×300+100×100+200×50+5000×10）＝3908000（元），比较知：W1＜W2.因为在定价销售额相同的情况下，实际销售额大，收益就大，所以就商场的收益而言，选用有奖销售的方式，更为合算.