尺规三等分任意角的证明(轨迹)
尺规三等分任意角的证明(轨迹)苏小光
2011年2月22日
我本无意研究尺规三等分任意角,一旦研究,又收不住手,现对三等分角又给出新的证明.
公式1:设N为圆心角,R为半径,l_{1}为扇形弧长,则有
l_{1}=(NR\pi )/180 .
公式2:设l_{2}为圆周长,r为半径,则
l_{2}=2r\pi .
定理1 若0<∠BAC<(或等于)360度,则尺规作图可得
∠BAG=1/3 ∠BAC
证明 以∠BAC一边AB为半径,以A点为圆心作弧BC,设弧BC为l_{1},∠BAC=N,则
根据公式1 有
l_{1}=(NAB\pi )/180
设圆周长 l_{2}=l_{1},根据公式 2,有
2r\pi=(NAB\pi )/180
所以圆半径
r=NAB/360,
在AB的延长线上取点D,使
r=BD,
以点D为圆心,以r为半径,作圆D,用圆规三等分圆周,得三等分点B、E、F,圆D在弧BC上旋转,使点F与点G重合,点E与点H重合,点B与点I 重合,显然弧BG的长等于三分之一l_{1},连接AG所以
∠BAG=1/3 ∠BAC
证毕.
例:∠BAC=60(度),尺规作图,使∠BAG=20(度).
解 以∠BAC一边AB为半径,以A点为圆心作弧BC,设弧BC为l_{1},∠BAC=60(度),
根据公式1 有
l_{1}=(60AB\pi )/180
设圆周长 l_{2}=l_{1},根据公式 2,有
2r\pi=(60AB\pi )/180
所以圆半径
r=AB/6,
在AB的延长线上取点D,使
BD=AB/6
以点D为圆心,以AB/6为半径,作圆D,用圆规三等分圆周,得三等分点B、E、F,圆D在弧BC上旋转,使点F与点G重合,点E与点H重合,点B与点I 重合,显然弧BG的长等于三分之一l_{1},连接AG.所以
∠BAG=20(度).
(附图) 尺规三等分任意角的证明 已知 AB=a,求作 x=(1/6)a.
作图: 作AB=a,在AB的延长线上作BC=6a,作AC的垂线CD=a,连接DB,延长DB交CA的垂线于点E,AE=x,显然
AE/AB=CD/BC
x=(a/6a)a=(1/6)a
尺规三等分任意角.
强悍。。。。 没细看，曾经我也是痴迷于推翻不能三等分的论断，但是失败了～ 做梦都想一鸣惊人，可以理解 楼主可以写篇论文发表啊，尺规三等分角可是世界难题 楼主热于思考数学历史中的难题，精神可贵！但是……
尺规作图要求直尺没有刻度，那么请问该怎样做出BD=r呢？
另外，倍立方体、化圆为方、三等分角这三大几何作图难题在近世数学中已被解决，结论是：不可能！
我记得曾经读到过这样一句话，大概说，在群论中，这三大问题已经被作为普通的习题解决掉了…… {:soso_e179:} 答8楼yinbaoli
关于怎样作出 BD=r
由一楼有
r／AB=N／360
显然有
r／AB=a／b,
a,b为正整数。
在平面上作线段AB,作BA的延长线AC=b× AB ,作AC的垂线EC=a ×AB ,连接EA,作EA的延长线交AB的垂线BD于点D.
易证
△ACE∽△ABD，
所以
EC／AC＝BD／AB，
即
BD＝(a／b)AB.
令
BD=r
即为所取.
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