尺规三等分任意角的证明(轨迹)

数学1+1

                     尺规三等分任意角的证明(轨迹)
                             苏小光
                          2011年2月22日
" W& l" [! G, p, ]     我本无意研究尺规三等分任意角,一旦研究,又收不住手,现对三等分角又给出新的证明.
    公式1:设N为圆心角,R为半径,l_{1}为扇形弧长,则有
           l_{1}=(NR\pi )/180 .
' L' x8 x6 `, Z' P* A2 l4 d, D    公式2:设l_{2}为圆周长,r为半径,则
. a) G) K2 e1 f( A           l_{2}=2r\pi .
    定理1 若0<∠BAC<(或等于)360度,则尺规作图可得
            ∠BAG=1/3 ∠BAC
# A% `5 u& t& _7 c& ?3 Q    证明 以∠BAC一边AB为半径,以A点为圆心作弧BC,设弧BC为l_{1},∠BAC=N,则
# _) {4 n' O6 }# D, j5 F根据公式1 有
1 F8 a+ u+ c% Q  O           l_{1}=(NAB\pi )/180
1 F6 O" J; ~9 W   设圆周长 l_{2}=l_{1},根据公式 2,有
* R7 D; @+ o6 P: ]! }           2r\pi=(NAB\pi )/180
, F% m* S" L6 x5 I0 r   所以圆半径
          r=NAB/360,
0 H; w5 T6 ?2 {) r   在AB的延长线上取点D,使
$ b9 ^  a" A" g! ^         r=BD,
+ S2 ^: ^/ x2 f* q3 S   以点D为圆心,以r为半径,作圆D,用圆规三等分圆周,得三等分点B、E、F,圆D在弧BC上旋转,使点F与点G重合,点E与点H重合,点B与点I 重合,显然弧BG的长等于三分之一l_{1},连接AG所以
! [+ v  y/ u4 |" K           ∠BAG=1/3 ∠BAC
证毕.
! \$ h3 o$ c( J    例:∠BAC=60(度),尺规作图,使∠BAG=20(度).
解 以∠BAC一边AB为半径,以A点为圆心作弧BC,设弧BC为l_{1},∠BAC=60(度),
, k9 J, Q/ \/ g1 M& q' Y0 |根据公式1 有
           l_{1}=(60AB\pi )/180
    设圆周长 l_{2}=l_{1},根据公式 2,有
          2r\pi=(60AB\pi )/180
8 S; c0 g5 T' ]1 R) P  y2 X1 r0 A     所以圆半径
         r=AB/6,
    在AB的延长线上取点D,使
* Z/ S$ r: O0 |8 j        BD=AB/6
    以点D为圆心,以AB/6为半径,作圆D,用圆规三等分圆周,得三等分点B、E、F,圆D在弧BC上旋转,使点F与点G重合,点E与点H重合,点B与点I 重合,显然弧BG的长等于三分之一l_{1},连接AG.所以
       ∠BAG=20(度).
+ u1 U8 {0 N# ~1 g1 D   (附图)

数学1+1

尺规三等分任意角的证明

数学1+1

已知 AB=a,求作 x=(1/6)a.
作图:   作AB=a,在AB的延长线上作BC=6a,作AC的垂线CD=a,连接DB,延长DB交CA的垂线于点E,AE=x,显然
               AE/AB=CD/BC
5 m1 v" T  i5 r- q1 \6 A             x=(a/6a)a=(1/6)a
" ^' v8 o. L+ c: c尺规三等分任意角.
( d1 y9 k2 v# `! n

gaoshanliu水

强悍。。。。

六棵槐树

没细看，曾经我也是痴迷于推翻不能三等分的论断，但是失败了～

inRm

做梦都想一鸣惊人，可以理解

羅雲琦

楼主可以写篇论文发表啊，尺规三等分角可是世界难题

yinbaoli

楼主热于思考数学历史中的难题，精神可贵！但是……
尺规作图要求直尺没有刻度，那么请问该怎样做出BD=r呢？
) g4 W# k5 z" _另外，倍立方体、化圆为方、三等分角这三大几何作图难题在近世数学中已被解决，结论是：不可能！
我记得曾经读到过这样一句话，大概说，在群论中，这三大问题已经被作为普通的习题解决掉了……

xxgzftj

数学1+1

答8楼yinbaoli
            关于怎样作出 BD=r   
        由一楼有
              r／AB=N／360
/ }1 d. }; \3 ]) J& V9 t        显然有
/ A3 U6 }1 Z3 a/ D" t: K              r／AB=a／b,
         a,b为正整数。
         在平面上作线段AB,作BA的延长线AC=b× AB  ,作AC的垂线EC=a ×AB ,连接EA,作EA的延长线交AB的垂线BD于点D.
        易证
        △ACE∽△ABD，
, D7 s0 f* p9 _" m. H) G       所以
& E, [+ S% S- q, A( R$ v/ a. d       EC／AC＝BD／AB，
# }3 j( x% s- ?     即
0 ]' q4 X1 _& c8 V! `4 E       BD＝(a／b)AB.
  U6 G8 C# N& W% E     令
: g0 i* Y8 B- w& w7 z( w; a       BD=r
     即为所取.