尺规三等分任意角的证明(轨迹)

数学1+1

                     尺规三等分任意角的证明(轨迹)
                             苏小光
8 P" C* Q+ l, Q1 u) J                          2011年2月22日
: G) B( k+ Y/ @9 _5 O     我本无意研究尺规三等分任意角,一旦研究,又收不住手,现对三等分角又给出新的证明.
    公式1:设N为圆心角,R为半径,l_{1}为扇形弧长,则有
) n  O1 X) W( q" K6 r! R9 x           l_{1}=(NR\pi )/180 .
    公式2:设l_{2}为圆周长,r为半径,则
           l_{2}=2r\pi .
    定理1 若0<∠BAC<(或等于)360度,则尺规作图可得
2 O3 u4 n5 z- |5 [# d            ∠BAG=1/3 ∠BAC
    证明 以∠BAC一边AB为半径,以A点为圆心作弧BC,设弧BC为l_{1},∠BAC=N,则
根据公式1 有
6 U- d' Q+ c: K+ R/ ?) k           l_{1}=(NAB\pi )/180
   设圆周长 l_{2}=l_{1},根据公式 2,有
           2r\pi=(NAB\pi )/180
/ d9 I1 l/ x8 A8 ^2 H0 i5 \1 g9 _   所以圆半径
9 F0 B9 c; o* U          r=NAB/360,
   在AB的延长线上取点D,使
( O. L/ z- ~9 X" ^4 `, T$ j% K1 A# r/ y         r=BD,
) X! F; V, e. W% ?/ g* A+ C   以点D为圆心,以r为半径,作圆D,用圆规三等分圆周,得三等分点B、E、F,圆D在弧BC上旋转,使点F与点G重合,点E与点H重合,点B与点I 重合,显然弧BG的长等于三分之一l_{1},连接AG所以
( F, r$ F' ~9 L+ r           ∠BAG=1/3 ∠BAC
+ f1 G  L9 j8 C. c' @证毕.
    例:∠BAC=60(度),尺规作图,使∠BAG=20(度).
, T1 t% H9 ?. C4 N解 以∠BAC一边AB为半径,以A点为圆心作弧BC,设弧BC为l_{1},∠BAC=60(度),
! c( c4 b* u: ]根据公式1 有
) q2 j& x$ i# F; r           l_{1}=(60AB\pi )/180
    设圆周长 l_{2}=l_{1},根据公式 2,有
" r% w" [: f4 B3 j% q          2r\pi=(60AB\pi )/180
     所以圆半径
* n7 Q  z1 q+ d5 }/ c1 G/ r         r=AB/6,
    在AB的延长线上取点D,使
        BD=AB/6
) C% s! \9 \$ X    以点D为圆心,以AB/6为半径,作圆D,用圆规三等分圆周,得三等分点B、E、F,圆D在弧BC上旋转,使点F与点G重合,点E与点H重合,点B与点I 重合,显然弧BG的长等于三分之一l_{1},连接AG.所以
       ∠BAG=20(度).
, V/ ~) {3 L) o' U& y, u, g   (附图)

数学1+1

尺规三等分任意角的证明

数学1+1

已知 AB=a,求作 x=(1/6)a.
( G- j; {" s: @# G% u作图:   作AB=a,在AB的延长线上作BC=6a,作AC的垂线CD=a,连接DB,延长DB交CA的垂线于点E,AE=x,显然
               AE/AB=CD/BC
% y0 i7 g4 ^9 D7 U: J# H7 x             x=(a/6a)a=(1/6)a
  L' l4 M8 F2 ^/ J- E/ j尺规三等分任意角.
% B% w0 N5 S: u' X

gaoshanliu水

强悍。。。。

六棵槐树

没细看，曾经我也是痴迷于推翻不能三等分的论断，但是失败了～

inRm

做梦都想一鸣惊人，可以理解

羅雲琦

楼主可以写篇论文发表啊，尺规三等分角可是世界难题

yinbaoli

楼主热于思考数学历史中的难题，精神可贵！但是……
1 [1 }  a$ A0 ~3 u尺规作图要求直尺没有刻度，那么请问该怎样做出BD=r呢？
另外，倍立方体、化圆为方、三等分角这三大几何作图难题在近世数学中已被解决，结论是：不可能！
0 `1 `1 m" L* d* ~6 m: j我记得曾经读到过这样一句话，大概说，在群论中，这三大问题已经被作为普通的习题解决掉了……

xxgzftj

数学1+1

答8楼yinbaoli
            关于怎样作出 BD=r   
        由一楼有
0 u* V* U5 A% i8 W. f              r／AB=N／360
" I: @8 D! p  r: r7 k        显然有
9 k- p$ e6 P- ]7 \* k# g              r／AB=a／b,
* S% y! q8 ^' E8 P3 |& t         a,b为正整数。
+ L8 H$ D- M. N6 R8 _- I# a$ L         在平面上作线段AB,作BA的延长线AC=b× AB  ,作AC的垂线EC=a ×AB ,连接EA,作EA的延长线交AB的垂线BD于点D.
        易证
        △ACE∽△ABD，
       所以
$ B1 F$ A, @: p2 p0 a       EC／AC＝BD／AB，
     即
       BD＝(a／b)AB.
     令
       BD=r
2 Z; M$ X7 n5 ^, `1 K     即为所取.