尺规三等分任意角的证明(轨迹)

数学1+1

                     尺规三等分任意角的证明(轨迹)
                             苏小光
  K# @7 j  L, A( t                          2011年2月22日
     我本无意研究尺规三等分任意角,一旦研究,又收不住手,现对三等分角又给出新的证明.
. G0 u5 m: `2 N% ~    公式1:设N为圆心角,R为半径,l_{1}为扇形弧长,则有
           l_{1}=(NR\pi )/180 .
/ F, |( J& h: Z3 W) V1 r) }* z    公式2:设l_{2}为圆周长,r为半径,则
/ U2 q4 m2 p6 B0 |! e% M7 V           l_{2}=2r\pi .
    定理1 若0<∠BAC<(或等于)360度,则尺规作图可得
8 V: K" f0 R$ |5 m            ∠BAG=1/3 ∠BAC
# W% N8 {. ^( W# T5 `9 W" _    证明 以∠BAC一边AB为半径,以A点为圆心作弧BC,设弧BC为l_{1},∠BAC=N,则
1 a/ i. ^- G2 C( D根据公式1 有
           l_{1}=(NAB\pi )/180
! i2 k5 [& x- y& W& s& Z   设圆周长 l_{2}=l_{1},根据公式 2,有
           2r\pi=(NAB\pi )/180
   所以圆半径
          r=NAB/360,
+ Z& `1 c5 h+ V2 x3 P   在AB的延长线上取点D,使
; w' C8 L6 I- i( Y# A3 a         r=BD,
   以点D为圆心,以r为半径,作圆D,用圆规三等分圆周,得三等分点B、E、F,圆D在弧BC上旋转,使点F与点G重合,点E与点H重合,点B与点I 重合,显然弧BG的长等于三分之一l_{1},连接AG所以
8 @" b; ]/ k2 |( Q- ^6 z# E           ∠BAG=1/3 ∠BAC
, }! [4 z& I+ p, H/ T* u证毕.
    例:∠BAC=60(度),尺规作图,使∠BAG=20(度).
% e# Y& v7 I* B4 r' w解 以∠BAC一边AB为半径,以A点为圆心作弧BC,设弧BC为l_{1},∠BAC=60(度),
根据公式1 有
7 A8 v( @9 B" a8 }/ k           l_{1}=(60AB\pi )/180
    设圆周长 l_{2}=l_{1},根据公式 2,有
          2r\pi=(60AB\pi )/180
( M, W6 D+ y5 c- O: g. k1 `6 y# P     所以圆半径
         r=AB/6,
    在AB的延长线上取点D,使
        BD=AB/6
    以点D为圆心,以AB/6为半径,作圆D,用圆规三等分圆周,得三等分点B、E、F,圆D在弧BC上旋转,使点F与点G重合,点E与点H重合,点B与点I 重合,显然弧BG的长等于三分之一l_{1},连接AG.所以
% x& c# H1 u' \  r3 E       ∠BAG=20(度).
   (附图)

数学1+1

尺规三等分任意角的证明

数学1+1

已知 AB=a,求作 x=(1/6)a.
作图:   作AB=a,在AB的延长线上作BC=6a,作AC的垂线CD=a,连接DB,延长DB交CA的垂线于点E,AE=x,显然
               AE/AB=CD/BC
5 Q* q' V0 V6 ?             x=(a/6a)a=(1/6)a
: a+ H/ }* [6 C; r+ R# m6 T0 m$ |尺规三等分任意角.
3 b! D; J# e7 k; j- z- C

gaoshanliu水

强悍。。。。

六棵槐树

没细看，曾经我也是痴迷于推翻不能三等分的论断，但是失败了～

inRm

做梦都想一鸣惊人，可以理解

羅雲琦

楼主可以写篇论文发表啊，尺规三等分角可是世界难题

yinbaoli

楼主热于思考数学历史中的难题，精神可贵！但是……
尺规作图要求直尺没有刻度，那么请问该怎样做出BD=r呢？
7 t9 ~7 i! u  l9 D! Y9 g另外，倍立方体、化圆为方、三等分角这三大几何作图难题在近世数学中已被解决，结论是：不可能！
( f" n- Y; I% a+ D0 s我记得曾经读到过这样一句话，大概说，在群论中，这三大问题已经被作为普通的习题解决掉了……

xxgzftj

数学1+1

答8楼yinbaoli
            关于怎样作出 BD=r   
        由一楼有
              r／AB=N／360
        显然有
              r／AB=a／b,
, ?" D" Y* H1 z6 S, P         a,b为正整数。
; u. u2 ^: ]. V0 T/ U         在平面上作线段AB,作BA的延长线AC=b× AB  ,作AC的垂线EC=a ×AB ,连接EA,作EA的延长线交AB的垂线BD于点D.
        易证
        △ACE∽△ABD，
) N+ v1 C2 U7 `3 r- I! [: F( a/ `       所以
/ c$ c/ |2 r, g/ o" E+ N       EC／AC＝BD／AB，
" X; J4 @) x! V9 l9 h, D     即
       BD＝(a／b)AB.
     令
6 _! \% H* A, J5 S- v       BD=r
     即为所取.