尺规三等分任意角的证明(轨迹)

数学1+1

                     尺规三等分任意角的证明(轨迹)
3 b6 d. `' j5 b2 V) N3 Y* c                             苏小光
6 e5 j2 a: V5 O: E- @                          2011年2月22日
" `7 k! Z( ]& r9 \& ?     我本无意研究尺规三等分任意角,一旦研究,又收不住手,现对三等分角又给出新的证明.
    公式1:设N为圆心角,R为半径,l_{1}为扇形弧长,则有
. l2 D; b! }/ [; u. ~! }           l_{1}=(NR\pi )/180 .
% A: k/ p8 ]  }- U    公式2:设l_{2}为圆周长,r为半径,则
           l_{2}=2r\pi .
    定理1 若0<∠BAC<(或等于)360度,则尺规作图可得
, c; b* f; v8 w. z7 I* ?            ∠BAG=1/3 ∠BAC
    证明 以∠BAC一边AB为半径,以A点为圆心作弧BC,设弧BC为l_{1},∠BAC=N,则
根据公式1 有
% b) w2 s( }; W8 g# y           l_{1}=(NAB\pi )/180
  J3 A$ ?  ?$ P4 }, @   设圆周长 l_{2}=l_{1},根据公式 2,有
           2r\pi=(NAB\pi )/180
# i# U: q( ]1 X8 l   所以圆半径
          r=NAB/360,
   在AB的延长线上取点D,使
         r=BD,
* K/ n* B1 B% T- X3 k   以点D为圆心,以r为半径,作圆D,用圆规三等分圆周,得三等分点B、E、F,圆D在弧BC上旋转,使点F与点G重合,点E与点H重合,点B与点I 重合,显然弧BG的长等于三分之一l_{1},连接AG所以
           ∠BAG=1/3 ∠BAC
证毕.
' `7 S/ P0 M. C: C+ r/ P0 A    例:∠BAC=60(度),尺规作图,使∠BAG=20(度).
解 以∠BAC一边AB为半径,以A点为圆心作弧BC,设弧BC为l_{1},∠BAC=60(度),
* W( l  u# B& l6 X  r根据公式1 有
           l_{1}=(60AB\pi )/180
' t% l8 `$ |* b& C4 m- L    设圆周长 l_{2}=l_{1},根据公式 2,有
3 z' [  A$ }, `4 }, E          2r\pi=(60AB\pi )/180
     所以圆半径
+ {( \* E- j6 R& z+ N- y$ c         r=AB/6,
    在AB的延长线上取点D,使
        BD=AB/6
6 P' J# c: G* M4 Q    以点D为圆心,以AB/6为半径,作圆D,用圆规三等分圆周,得三等分点B、E、F,圆D在弧BC上旋转,使点F与点G重合,点E与点H重合,点B与点I 重合,显然弧BG的长等于三分之一l_{1},连接AG.所以
       ∠BAG=20(度).
, q/ E2 j& S% R/ n" s" F- ]   (附图)

数学1+1

尺规三等分任意角的证明

数学1+1

已知 AB=a,求作 x=(1/6)a.
作图:   作AB=a,在AB的延长线上作BC=6a,作AC的垂线CD=a,连接DB,延长DB交CA的垂线于点E,AE=x,显然
               AE/AB=CD/BC
             x=(a/6a)a=(1/6)a
尺规三等分任意角.

gaoshanliu水

强悍。。。。

六棵槐树

没细看，曾经我也是痴迷于推翻不能三等分的论断，但是失败了～

inRm

做梦都想一鸣惊人，可以理解

羅雲琦

楼主可以写篇论文发表啊，尺规三等分角可是世界难题

yinbaoli

楼主热于思考数学历史中的难题，精神可贵！但是……
" I1 D. g) M  m5 V7 a  h- l尺规作图要求直尺没有刻度，那么请问该怎样做出BD=r呢？
另外，倍立方体、化圆为方、三等分角这三大几何作图难题在近世数学中已被解决，结论是：不可能！
. K$ m* z6 K) x6 C' T- s, k8 N我记得曾经读到过这样一句话，大概说，在群论中，这三大问题已经被作为普通的习题解决掉了……

xxgzftj

数学1+1

答8楼yinbaoli
& r# p; A4 u: i+ J) I            关于怎样作出 BD=r   
        由一楼有
              r／AB=N／360
; t4 }; B: m( I; ?( S, A        显然有
3 i+ L, L, d5 F5 S; ]! ]( h              r／AB=a／b,
         a,b为正整数。
  ~6 r3 r+ v! e+ ]         在平面上作线段AB,作BA的延长线AC=b× AB  ,作AC的垂线EC=a ×AB ,连接EA,作EA的延长线交AB的垂线BD于点D.
6 z4 b; o9 a, R" g: L: N  G        易证
, K2 c' u1 D% I3 j4 b: `        △ACE∽△ABD，
5 _) R( j  F  q8 e+ O3 N0 ^- E       所以
$ s/ X  j) M* r& O7 Z- l       EC／AC＝BD／AB，
     即
) _4 \5 Y, d& K; G. n. Y" @" s       BD＝(a／b)AB.
     令
       BD=r
     即为所取.