尺规三等分任意角的证明(轨迹)

数学1+1

                     尺规三等分任意角的证明(轨迹)
                             苏小光
1 ?  a# W/ @- U$ D) w$ f- e                          2011年2月22日
     我本无意研究尺规三等分任意角,一旦研究,又收不住手,现对三等分角又给出新的证明.
    公式1:设N为圆心角,R为半径,l_{1}为扇形弧长,则有
           l_{1}=(NR\pi )/180 .
    公式2:设l_{2}为圆周长,r为半径,则
* M3 K) J4 d4 p3 O' {           l_{2}=2r\pi .
, G8 T  p4 A$ w; x+ q* A    定理1 若0<∠BAC<(或等于)360度,则尺规作图可得
            ∠BAG=1/3 ∠BAC
    证明 以∠BAC一边AB为半径,以A点为圆心作弧BC,设弧BC为l_{1},∠BAC=N,则
根据公式1 有
, \. Y$ E$ P9 e           l_{1}=(NAB\pi )/180
$ l0 Q6 o1 ~0 X) ^" W0 k0 L3 }5 g   设圆周长 l_{2}=l_{1},根据公式 2,有
           2r\pi=(NAB\pi )/180
+ d/ j% @  q  u: S' P4 I& ~- A. c; a   所以圆半径
          r=NAB/360,
8 W1 {& z" V# u" l. I$ g  Q0 F) J1 f   在AB的延长线上取点D,使
/ c$ b  m) b' c/ D( v& x         r=BD,
' b4 P( Y/ J8 m   以点D为圆心,以r为半径,作圆D,用圆规三等分圆周,得三等分点B、E、F,圆D在弧BC上旋转,使点F与点G重合,点E与点H重合,点B与点I 重合,显然弧BG的长等于三分之一l_{1},连接AG所以
           ∠BAG=1/3 ∠BAC
证毕.
3 d0 U7 o0 M% D) Y8 J+ V9 E( [    例:∠BAC=60(度),尺规作图,使∠BAG=20(度).
* R7 g5 h5 d0 D  g6 _解 以∠BAC一边AB为半径,以A点为圆心作弧BC,设弧BC为l_{1},∠BAC=60(度),
根据公式1 有
           l_{1}=(60AB\pi )/180
    设圆周长 l_{2}=l_{1},根据公式 2,有
4 A: y  V# M% Y- D1 o( Z          2r\pi=(60AB\pi )/180
     所以圆半径
+ y6 H# t4 n0 U" {         r=AB/6,
% h, x8 q* M8 S6 i! }( k' }    在AB的延长线上取点D,使
        BD=AB/6
    以点D为圆心,以AB/6为半径,作圆D,用圆规三等分圆周,得三等分点B、E、F,圆D在弧BC上旋转,使点F与点G重合,点E与点H重合,点B与点I 重合,显然弧BG的长等于三分之一l_{1},连接AG.所以
% l% K3 g  d) e' ^/ z1 `0 b- ?       ∠BAG=20(度).
0 Q5 K6 o- t# ~" p4 n   (附图)

数学1+1

尺规三等分任意角的证明

数学1+1

已知 AB=a,求作 x=(1/6)a.
作图:   作AB=a,在AB的延长线上作BC=6a,作AC的垂线CD=a,连接DB,延长DB交CA的垂线于点E,AE=x,显然
9 N# y# T& [- ?) D+ ^: l               AE/AB=CD/BC
             x=(a/6a)a=(1/6)a
( G, s. j- K5 W% U, D; ?" J) u尺规三等分任意角.
! g1 E4 k2 F8 Y8 I. f4 {( Z& U

gaoshanliu水

强悍。。。。

六棵槐树

没细看，曾经我也是痴迷于推翻不能三等分的论断，但是失败了～

inRm

做梦都想一鸣惊人，可以理解

羅雲琦

楼主可以写篇论文发表啊，尺规三等分角可是世界难题

yinbaoli

楼主热于思考数学历史中的难题，精神可贵！但是……
6 c* e( E$ x& _7 {$ k* F( N尺规作图要求直尺没有刻度，那么请问该怎样做出BD=r呢？
另外，倍立方体、化圆为方、三等分角这三大几何作图难题在近世数学中已被解决，结论是：不可能！
我记得曾经读到过这样一句话，大概说，在群论中，这三大问题已经被作为普通的习题解决掉了……

xxgzftj

数学1+1

答8楼yinbaoli
1 H) _7 Z6 |# S  U            关于怎样作出 BD=r   
, Z: M  F3 `4 k& s        由一楼有
              r／AB=N／360
        显然有
7 u6 q2 [  \+ o0 Y              r／AB=a／b,
         a,b为正整数。
         在平面上作线段AB,作BA的延长线AC=b× AB  ,作AC的垂线EC=a ×AB ,连接EA,作EA的延长线交AB的垂线BD于点D.
        易证
        △ACE∽△ABD，
* H+ z- F& f# n3 c! l2 W! O. q) h       所以
8 W' V- s1 c+ w' \- r, ~       EC／AC＝BD／AB，
     即
' @5 q0 n3 u* z; i8 D* G/ d       BD＝(a／b)AB.
5 F: I9 N3 ~1 a3 Y     令
       BD=r
     即为所取.