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签到天数: 848 天 [LV.10]以坛为家III
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尺规三等分任意角的证明(轨迹)
3 b6 d. `' j5 b2 V) N3 Y* c 苏小光
6 e5 j2 a: V5 O: E- @ 2011年2月22日
" `7 k! Z( ]& r9 \& ? 我本无意研究尺规三等分任意角,一旦研究,又收不住手,现对三等分角又给出新的证明.3 v4 i1 _: |+ I' j# \2 g0 T1 S
公式1:设N为圆心角,R为半径,l_{1}为扇形弧长,则有
. l2 D; b! }/ [; u. ~! } l_{1}=(NR\pi )/180 .
% A: k/ p8 ] }- U 公式2:设l_{2}为圆周长,r为半径,则$ G% X2 D6 ~& o5 z0 p
l_{2}=2r\pi ., O5 R2 \# T0 n; K$ A" ?
定理1 若0<∠BAC<(或等于)360度,则尺规作图可得
, c; b* f; v8 w. z7 I* ? ∠BAG=1/3 ∠BAC; @+ J! e+ R9 B7 ]% _' k
证明 以∠BAC一边AB为半径,以A点为圆心作弧BC,设弧BC为l_{1},∠BAC=N,则8 o: s- K7 D! t5 H' ^9 W
根据公式1 有
% b) w2 s( }; W8 g# y l_{1}=(NAB\pi )/180
J3 A$ ? ?$ P4 }, @ 设圆周长 l_{2}=l_{1},根据公式 2,有+ C |$ \' ]7 }% g- R! {* I
2r\pi=(NAB\pi )/180
# i# U: q( ]1 X8 l 所以圆半径3 [3 D3 S0 `4 ~, o# _3 s; @
r=NAB/360,& J9 {2 s/ ?6 Q# _5 z: f; b {
在AB的延长线上取点D,使5 q2 Z9 C% A [* r( F
r=BD,
* K/ n* B1 B% T- X3 k 以点D为圆心,以r为半径,作圆D,用圆规三等分圆周,得三等分点B、E、F,圆D在弧BC上旋转,使点F与点G重合,点E与点H重合,点B与点I 重合,显然弧BG的长等于三分之一l_{1},连接AG所以8 m0 P1 y" n( C5 r5 F2 N8 Q- F
∠BAG=1/3 ∠BAC& I7 X7 D) S1 r+ t# n8 s
证毕.
' `7 S/ P0 M. C: C+ r/ P0 A 例:∠BAC=60(度),尺规作图,使∠BAG=20(度).- f& @+ {% w1 n
解 以∠BAC一边AB为半径,以A点为圆心作弧BC,设弧BC为l_{1},∠BAC=60(度),
* W( l u# B& l6 X r根据公式1 有8 F0 l" J6 Y% ~9 k. ~* f \: \
l_{1}=(60AB\pi )/180
' t% l8 `$ |* b& C4 m- L 设圆周长 l_{2}=l_{1},根据公式 2,有
3 z' [ A$ }, `4 }, E 2r\pi=(60AB\pi )/180' M W5 l5 z4 W) m
所以圆半径
+ {( \* E- j6 R& z+ N- y$ c r=AB/6,' ~; H4 F, k4 D" B; M P" J
在AB的延长线上取点D,使/ }2 B j( g% `8 ]6 y/ D
BD=AB/6
6 P' J# c: G* M4 Q 以点D为圆心,以AB/6为半径,作圆D,用圆规三等分圆周,得三等分点B、E、F,圆D在弧BC上旋转,使点F与点G重合,点E与点H重合,点B与点I 重合,显然弧BG的长等于三分之一l_{1},连接AG.所以0 k4 n# y8 \. W& z, K
∠BAG=20(度).
, q/ E2 j& S% R/ n" s" F- ] (附图) |
zan
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