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尺规三等分任意角的证明(轨迹)

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    发表于 2011-2-23 00:58 |只看该作者 |倒序浏览
    |招呼Ta 关注Ta
                         尺规三等分任意角的证明(轨迹)
    & H3 _; C& o( p                             苏小光( q9 S3 q5 a' m0 g
                              2011年2月22日) ~6 c1 |- M+ r# N5 Q) \
         我本无意研究尺规三等分任意角,一旦研究,又收不住手,现对三等分角又给出新的证明.
    ! Q! h0 e: n6 Y, h    公式1:设N为圆心角,R为半径,l_{1}为扇形弧长,则有  I$ G* Z' Z3 |9 W1 [" n3 Q# o
               l_{1}=(NR\pi )/180 .  X( d+ F+ h* j: C
        公式2:设l_{2}为圆周长,r为半径,则% H' Q; L* `3 U8 E3 U7 `
               l_{2}=2r\pi .
    ( w% Y4 \. _4 y  T    定理1 若0<∠BAC<(或等于)360度,则尺规作图可得: K2 o$ K; j+ D2 L1 c' z3 j2 t
                ∠BAG=1/3 ∠BAC
    4 l9 F2 Y0 T& L: q    证明 以∠BAC一边AB为半径,以A点为圆心作弧BC,设弧BC为l_{1},∠BAC=N,则
    * p0 d4 ]: C9 n# H3 O. ^根据公式1 有( c- @: i% R4 b% |; {/ u1 L
               l_{1}=(NAB\pi )/180
    2 B* Z5 \3 h# z2 l0 b% G" y   设圆周长 l_{2}=l_{1},根据公式 2,有( `, W" m. L3 c' w4 H
               2r\pi=(NAB\pi )/180
    1 j; ]9 g' O6 G   所以圆半径0 w8 t" P( r' @- {9 @7 i" e
              r=NAB/360,
    ' C! N# T5 w) l3 o$ u. _   在AB的延长线上取点D,使; S( a6 H9 @! g! ^4 P2 K$ }; R
             r=BD,' u4 k8 f4 g! e! P. a8 [4 O
       以点D为圆心,以r为半径,作圆D,用圆规三等分圆周,得三等分点B、E、F,圆D在弧BC上旋转,使点F与点G重合,点E与点H重合,点B与点I 重合,显然弧BG的长等于三分之一l_{1},连接AG所以7 _- i% `: X5 A$ f' A2 k5 M
               ∠BAG=1/3 ∠BAC& g; K* ], M5 N: q. c0 ]
    证毕., Z; Z0 [  x$ l3 u9 a# ^1 M
        例:∠BAC=60(度),尺规作图,使∠BAG=20(度).
    3 U/ o+ n, I* ?! A解 以∠BAC一边AB为半径,以A点为圆心作弧BC,设弧BC为l_{1},∠BAC=60(度),) w9 B: |. {1 p0 A+ i1 j
    根据公式1 有
    / I7 f% U2 i7 e: r, t           l_{1}=(60AB\pi )/1804 z, R9 b0 Y9 `. R* n2 ?7 K" J# `- l
        设圆周长 l_{2}=l_{1},根据公式 2,有
    ) q- K3 ~2 O& c! d# u7 h3 q$ N          2r\pi=(60AB\pi )/180
    " |# [3 t: a) Z! G, Y( J1 i     所以圆半径2 O8 |- l9 P" i! A, P4 e
             r=AB/6,
    : k1 F; a. g1 H% ^+ [* H7 T    在AB的延长线上取点D,使$ [, ~" [8 h! o5 V4 \
            BD=AB/6, d& r0 v2 {" h5 {- N1 e5 g4 g
        以点D为圆心,以AB/6为半径,作圆D,用圆规三等分圆周,得三等分点B、E、F,圆D在弧BC上旋转,使点F与点G重合,点E与点H重合,点B与点I 重合,显然弧BG的长等于三分之一l_{1},连接AG.所以
    2 b, `  O  s  ~& O! z* _0 t       ∠BAG=20(度).
    " {" u. `6 [/ ~% A8 S   (附图)
    zan
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    已知 AB=a,求作 x=(1/6)a.& g5 j. X. u+ d* K8 \' C( q/ S  }
    作图:   作AB=a,在AB的延长线上作BC=6a,作AC的垂线CD=a,连接DB,延长DBCA的垂线于点E,AE=x,显然! k# s0 }3 ^. n6 k3 ?6 c
                   AE/AB=CD/BC
    . i2 U0 o) T/ ?             x=(a/6a)a=(1/6)a
    ) v7 G: `2 ]2 a& O* y% A尺规三等分任意角.
      @# ~0 K% z$ i. `9 U
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    我是來自四川省合江縣的男孩,樂觀自信

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    楼主热于思考数学历史中的难题,精神可贵!但是……# @8 @' F: [+ P' ?  \7 N( u
    尺规作图要求直尺没有刻度,那么请问该怎样做出BD=r呢?5 h, P5 w8 N% {; T; b8 j
    另外,倍立方体、化圆为方、三等分角这三大几何作图难题在近世数学中已被解决,结论是:不可能!
    ( P/ i' E% ]* M- w6 m我记得曾经读到过这样一句话,大概说,在群论中,这三大问题已经被作为普通的习题解决掉了……
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    答8楼yinbaoli9 H, B. r$ I: a, M) d
                关于怎样作出 BD=r   
      q2 s7 R6 q* |0 }. ~# ?& J        由一楼有' b. h- l' s* \1 q  L  h8 a
                  r/AB=N/360
    # g) A5 U2 N9 `- L) Z7 d, o8 ?        显然有
    3 e3 M8 @1 ~+ d$ W" P7 }8 ]' G              r/AB=a/b,6 Q1 Q1 ]* }6 w( p7 ?; g
             a,b为正整数。0 ]. R0 }; |& T1 q# J, h
             在平面上作线段AB,作BA的延长线AC=b× AB  ,作AC的垂线EC=a ×AB ,连接EA,作EA的延长线交AB的垂线BD于点D.
    # o. i: Z# Y( c! d  t8 ]% r        易证
    7 D/ z) g' |+ C6 Q, ^: ^- j, c0 `2 a        △ACE∽△ABD,# x5 r9 Y: C* o, o4 {
           所以8 @0 }* W0 v0 \+ ?8 Y- W7 k
           EC/AC=BD/AB,; G+ M, `1 n$ B
         即
    / g3 X& d# J9 \) L3 g       BD=(a/b)AB.5 Y# q  B6 n: B, M
         令
    2 V& J* a# t/ A       BD=r& P3 B1 K: o& X1 r  e+ `) K
         即为所取.
    5 G1 z- m# A4 x4 p# _! Q+ C! D
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