尺规三等分任意角的证明(轨迹)

数学1+1

                     尺规三等分任意角的证明(轨迹)
& H3 _; C& o( p                             苏小光
                          2011年2月22日
     我本无意研究尺规三等分任意角,一旦研究,又收不住手,现对三等分角又给出新的证明.
! Q! h0 e: n6 Y, h    公式1:设N为圆心角,R为半径,l_{1}为扇形弧长,则有
           l_{1}=(NR\pi )/180 .
    公式2:设l_{2}为圆周长,r为半径,则
           l_{2}=2r\pi .
( w% Y4 \. _4 y  T    定理1 若0<∠BAC<(或等于)360度,则尺规作图可得
            ∠BAG=1/3 ∠BAC
4 l9 F2 Y0 T& L: q    证明 以∠BAC一边AB为半径,以A点为圆心作弧BC,设弧BC为l_{1},∠BAC=N,则
* p0 d4 ]: C9 n# H3 O. ^根据公式1 有
           l_{1}=(NAB\pi )/180
2 B* Z5 \3 h# z2 l0 b% G" y   设圆周长 l_{2}=l_{1},根据公式 2,有
           2r\pi=(NAB\pi )/180
1 j; ]9 g' O6 G   所以圆半径
          r=NAB/360,
' C! N# T5 w) l3 o$ u. _   在AB的延长线上取点D,使
         r=BD,
   以点D为圆心,以r为半径,作圆D,用圆规三等分圆周,得三等分点B、E、F,圆D在弧BC上旋转,使点F与点G重合,点E与点H重合,点B与点I 重合,显然弧BG的长等于三分之一l_{1},连接AG所以
           ∠BAG=1/3 ∠BAC
证毕.
    例:∠BAC=60(度),尺规作图,使∠BAG=20(度).
3 U/ o+ n, I* ?! A解 以∠BAC一边AB为半径,以A点为圆心作弧BC,设弧BC为l_{1},∠BAC=60(度),
根据公式1 有
/ I7 f% U2 i7 e: r, t           l_{1}=(60AB\pi )/180
    设圆周长 l_{2}=l_{1},根据公式 2,有
) q- K3 ~2 O& c! d# u7 h3 q$ N          2r\pi=(60AB\pi )/180
" |# [3 t: a) Z! G, Y( J1 i     所以圆半径
         r=AB/6,
: k1 F; a. g1 H% ^+ [* H7 T    在AB的延长线上取点D,使
        BD=AB/6
    以点D为圆心,以AB/6为半径,作圆D,用圆规三等分圆周,得三等分点B、E、F,圆D在弧BC上旋转,使点F与点G重合,点E与点H重合,点B与点I 重合,显然弧BG的长等于三分之一l_{1},连接AG.所以
2 b, `  O  s  ~& O! z* _0 t       ∠BAG=20(度).
" {" u. `6 [/ ~% A8 S   (附图)

数学1+1

尺规三等分任意角的证明

数学1+1

已知 AB=a,求作 x=(1/6)a.
作图:   作AB=a,在AB的延长线上作BC=6a,作AC的垂线CD=a,连接DB,延长DB交CA的垂线于点E,AE=x,显然
               AE/AB=CD/BC
. i2 U0 o) T/ ?             x=(a/6a)a=(1/6)a
) v7 G: `2 ]2 a& O* y% A尺规三等分任意角.
  @# ~0 K% z$ i. `9 U

gaoshanliu水

强悍。。。。

六棵槐树

没细看，曾经我也是痴迷于推翻不能三等分的论断，但是失败了～

inRm

做梦都想一鸣惊人，可以理解

羅雲琦

楼主可以写篇论文发表啊，尺规三等分角可是世界难题

yinbaoli

楼主热于思考数学历史中的难题，精神可贵！但是……
尺规作图要求直尺没有刻度，那么请问该怎样做出BD=r呢？
另外，倍立方体、化圆为方、三等分角这三大几何作图难题在近世数学中已被解决，结论是：不可能！
( P/ i' E% ]* M- w6 m我记得曾经读到过这样一句话，大概说，在群论中，这三大问题已经被作为普通的习题解决掉了……

xxgzftj

数学1+1

答8楼yinbaoli
            关于怎样作出 BD=r   
  q2 s7 R6 q* |0 }. ~# ?& J        由一楼有
              r／AB=N／360
# g) A5 U2 N9 `- L) Z7 d, o8 ?        显然有
3 e3 M8 @1 ~+ d$ W" P7 }8 ]' G              r／AB=a／b,
         a,b为正整数。
         在平面上作线段AB,作BA的延长线AC=b× AB  ,作AC的垂线EC=a ×AB ,连接EA,作EA的延长线交AB的垂线BD于点D.
# o. i: Z# Y( c! d  t8 ]% r        易证
7 D/ z) g' |+ C6 Q, ^: ^- j, c0 `2 a        △ACE∽△ABD，
       所以
       EC／AC＝BD／AB，
     即
/ g3 X& d# J9 \) L3 g       BD＝(a／b)AB.
     令
2 V& J* a# t/ A       BD=r
     即为所取.
5 G1 z- m# A4 x4 p# _! Q+ C! D