[请教]一道数学分析习题
本帖最后由 helloyupp 于 2009-11-9 01:24 编辑设f(x)在R上有定义，且
（1）这种函数有几个？
（2）若f(x)为单调增加函数，问这种函数有几个？
ps:北大《数学分析解题指南》里面的习题。自学分析，无奈书后答案不详，还望高手不吝赐教啊，先谢谢了！ 第一题无穷多个，第二题只有一个
解：记y=f（x） .. ………………1
则有f（f（x））=f（y）=x ………2
由1，2 两式有
f（x）=y……..3
f（y）=x………4
若x=y，则有f（x）=x
若x不等于y，则
由3，4两式得
【f（x）- f（y）】/【x-y】=-1
也就是f（x）的斜率恒等于-1，上式x趋向于y的时候相当于导函数
斜率恒等于-1就是f（x）=-x+a；a为任意常数
所有这种函数有无穷多个，而只有f（x）=x是增函数，于是增函数就只有一个 回复 2# 87lv
非常感谢！ 严谨吗？。。。。。。。。。。。。。。。 不严谨，下面的函数亦可：
f(x)=\left\{\begin{matrix}
x,x= 0\\ \frac{1}{x},x\neq 0
\end{matrix}\right. 不严谨，下面的函数亦可：
f(x)=\left\{\begin{matrix} x,x= 0\\ \frac{1}{x},x\neq 0 \end{matrix}\right. “【f（x）- f（y）】/【x-y】=-1
也就是f（x）的斜率恒等于-1，上式x趋向于y的时候相当于导函数
斜率恒等于-1就是f（x）=-x+a；a为任意常数"
由此不可以得出斜率是-1的结论，因为x、y并不是f（x）函数上面的任意两点，此时y是x的函数，不符合导函数的定义。 87lv 中答案错误,因为x和y是有内在联系的，不是任取的，所以不能说明所有点的斜率都为-1！
(1)有可数个.
(2)只有一个.因为存在反函数. 回复 7# mrx
谢谢你，我考虑错了！！呵呵！！ 回复 1# helloyupp
先看看
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