[请教]一道数学分析习题

helloyupp

2 }% F3 I( z% D! A
设f(x)在R上有定义，且
( E! h2 _& T  @, t+ o
+ W, p2 t. _* R$ J/ `& d
（1）这种函数有几个？
0 i  Q* N5 c; s" J) H（2）若f(x)为单调增加函数，问这种函数有几个？

ps:北大《数学分析解题指南》里面的习题。自学分析，无奈书后答案不详，还望高手不吝赐教啊，先谢谢了！

87lv

第一题无穷多个，第二题只有一个

; K& Q7 Z/ T2 o  z7 B解：记y=f（x） .. ………………1
$ v0 P- ^4 A! V* l- D& _4 f则有f（f（x））=f（y）=x ………2

" D' h2 F, ]; k: A% R5 M由1，2 两式有
. L, B9 \1 U! a6 I7 D' Z
f（x）=y……..3
  ^0 E, q+ k6 If（y）=x………4
/ N9 A% e1 p$ ]4 Z! p0 E1 a
5 p2 J  }* x# M若x=y，则有f（x）=x

若x不等于y，则

由3，4两式得

【f（x）- f（y）】/【x-y】=-1
5 F. a2 c; N' U! }也就是f（x）的斜率恒等于-1，上式x趋向于y的时候相当于导函数
8 L4 c3 h% s0 U$ O8 b0 X& d1 r5 s
3 ~1 F0 h1 G6 G6 \& H斜率恒等于-1就是f（x）=-x+a；a为任意常数

  u: J9 e, k/ Z/ S2 c1 J8 X. |) D所有这种函数有无穷多个，而只有f（x）=x是增函数，于是增函数就只有一个

helloyupp

回复 2# 87lv


$ [  A5 m/ a0 J9 I# g2 P/ p    非常感谢！

zhoutao15935

严谨吗？。。。。。。。。。。。。。。。

mrx

不严谨，下面的函数亦可：
  l& ?: c! t0 F7 Jf(x)=\left\{\begin{matrix}
  v6 Z2 v1 a; D) u# d8 X3 a4 zx,x= 0\\ \frac{1}{x},x\neq 0
7 n) H; C6 V, i$ E\end{matrix}\right.

mrx

不严谨，下面的函数亦可：
[tex] f(x)=\left\{\begin{matrix} x,x= 0\\ \frac{1}{x},x\neq 0 \end{matrix}\right.[/tex]

mrx

“【f（x）- f（y）】/【x-y】=-1
$ v% L' q; x# l8 [6 @! \也就是f（x）的斜率恒等于-1，上式x趋向于y的时候相当于导函数
4 A2 E! o4 ]7 ?2 u斜率恒等于-1就是f（x）=-x+a；a为任意常数"
由此不可以得出斜率是-1的结论，因为x、y并不是f（x）函数上面的任意两点，此时y是x的函数，不符合导函数的定义。

BenCam

87lv 中答案错误,因为x和y是有内在联系的，不是任取的，所以不能说明所有点的斜率都为-1！

(1)有可数个.
) d" k+ M# Q+ ]! k) [9 G: b% {
9 C. K: m& {- r$ U' m) E(2)只有一个.因为存在反函数.

87lv

回复 7# mrx


    谢谢你，我考虑错了！！呵呵！！

彩虹天堂

回复 1# helloyupp
) J0 u3 d- ?: `% o+ X2 `1 a0 C

( p- {# ~' O1 k/ p0 U    先看看