[请教]一道数学分析习题

helloyupp

/ Q( m4 M6 c* Z  Z设f(x)在R上有定义，且

6 f% H; f% @- L3 W6 |
（1）这种函数有几个？
（2）若f(x)为单调增加函数，问这种函数有几个？

2 G5 }7 T5 \8 b# dps:北大《数学分析解题指南》里面的习题。自学分析，无奈书后答案不详，还望高手不吝赐教啊，先谢谢了！

87lv

第一题无穷多个，第二题只有一个
" Y' Q. \: [/ K9 G( Q5 S9 {% G8 I% {% q
解：记y=f（x） .. ………………1
则有f（f（x））=f（y）=x ………2

/ Y- q% a  \0 b& V: z! ]: r由1，2 两式有

( {& I% P" c: V1 {' B$ S2 Qf（x）=y……..3
& X7 n. ^2 n0 u& p; s$ tf（y）=x………4
" K+ v. d/ k: n. {
8 c: Z7 W0 l( N. _0 e9 a2 P若x=y，则有f（x）=x
6 r$ u; L+ _7 j1 p( N% B3 Y
  F! o2 i1 F4 a1 m5 M0 L若x不等于y，则
. X9 P6 r: i* F6 ^1 O7 Q
由3，4两式得

) k- u7 F. x! H2 y【f（x）- f（y）】/【x-y】=-1
$ g5 K) ?7 }- e也就是f（x）的斜率恒等于-1，上式x趋向于y的时候相当于导函数

7 L; ]" u' Y- b( ^) _. [; L) w斜率恒等于-1就是f（x）=-x+a；a为任意常数

所有这种函数有无穷多个，而只有f（x）=x是增函数，于是增函数就只有一个

helloyupp

回复 2# 87lv
9 N$ K: I4 Q% h; x" d

    非常感谢！

zhoutao15935

严谨吗？。。。。。。。。。。。。。。。

mrx

不严谨，下面的函数亦可：
f(x)=\left\{\begin{matrix}
% v2 x) _- t  |7 r  v" z* ]x,x= 0\\ \frac{1}{x},x\neq 0
\end{matrix}\right.

mrx

不严谨，下面的函数亦可：
# ?4 }  q# @2 v* f' q& Y% s4 s8 G[tex] f(x)=\left\{\begin{matrix} x,x= 0\\ \frac{1}{x},x\neq 0 \end{matrix}\right.[/tex]

mrx

“【f（x）- f（y）】/【x-y】=-1
7 z* c( ^( N  i2 {8 G也就是f（x）的斜率恒等于-1，上式x趋向于y的时候相当于导函数
+ N  N3 w' w0 g$ T2 R+ D斜率恒等于-1就是f（x）=-x+a；a为任意常数"
由此不可以得出斜率是-1的结论，因为x、y并不是f（x）函数上面的任意两点，此时y是x的函数，不符合导函数的定义。

BenCam

87lv 中答案错误,因为x和y是有内在联系的，不是任取的，所以不能说明所有点的斜率都为-1！
2 m: J" ~9 k5 Z8 L* V0 Z
(1)有可数个.
$ N& P, W' c% y9 o" }
(2)只有一个.因为存在反函数.

87lv

回复 7# mrx

5 Z8 r+ S# `$ E- Q$ Q5 a" v
6 u1 L8 z, J# c    谢谢你，我考虑错了！！呵呵！！

彩虹天堂

回复 1# helloyupp

6 l. p- L, @4 d
4 e+ h  o& E) P    先看看