[请教]一道数学分析习题

helloyupp

# y) N) g4 |/ l) L" G
2 n: U0 Y& U1 g! Q" G8 K+ B# B设f(x)在R上有定义，且
/ p$ Q5 n0 v- X7 H5 k0 X
- X1 z1 J! D" }0 m6 w
（1）这种函数有几个？
' G9 ^, K2 {1 M4 {' o（2）若f(x)为单调增加函数，问这种函数有几个？

ps:北大《数学分析解题指南》里面的习题。自学分析，无奈书后答案不详，还望高手不吝赐教啊，先谢谢了！

梦透明天

敢问可数个的结论怎么证明出来的

梦透明天

先看看再说

rivuletwj

第一题显然有无穷多个
' q- p. X) _" n) ]' y6 \+ |第二题只有唯一一个f(x)=x
# \: u5 k2 U, P  W0 v# o7 g用反证法，假设存在x0使得f(x0)≠x0
8 p; ]* @- {' G) b% f若f(x0)>x0,由f的单增性可知f(f(x0))≧f(x0)>x0,这与f(f(x0))=x0矛盾
( q1 T5 w# A$ X) M+ B若f(x0)<x0,同理可得矛盾
因此对于任意的x都有f(x)=x
) `9 s% g( _# p: J" o另一方面，f(x)=x也符合条件，所以符合条件的函数存在且唯一。

baggio25465

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7 |! [1 K' A2 }1 `. L$ ?
% f1 P1 @2 p4 t3 ~) G% W
) T& O2 ?* N9 Z- e2 B6 p    精神可嘉

sxhqjfl

; }5 g" {% I9 i$ x

可以根据基本初等函数来逐个分析构造：

（1）常值函数（也称常数函数） y =c（其中c 为常数）

　　（2）幂函数 y =x^a（其中a 为实常数）

　　（3）指数函数 y =a^x（a＞0,a≠1）

　　（4）对数函数 y =log a(x)（a＞0,a≠1）

　　（5）三角函数：

　　正弦函数 y =sin(x)

　　余弦函数 y =cos(x)

　　正切函数 y =tan(x)

　　余切函数 y =cot(x)

　　正割函数 y =sec(x)

　　余割函数 y =csc(x)

　　（6）反三角函数：

　　反正弦函数 y =arcsinx 或y=sin-1x

　　反余弦函数 y =arccosx 或y=cos-1x

　　反正切函数 y =arctanx 或y=tan-1x

　　反余切函数 y =arccotx 或y=cot-1x

（反正割函数、反余割函数一般不用）

4 j1 }# x4 K9 q' s

sxhqjfl

回复 1# helloyupp

, d  z& N3 Q: Z( d4 ]
    题目是找一个定义在R上的函数，且这个函数的反函数是其自身。
  初看此题，感觉没有什么思路。知识凭感觉写出了：y=x  和y=-x 。
后来看了二楼的做法有点启发。在得出【f(x)-f(y)】/x-y=-1 后，不能说明斜率恒等于-1，因为y是x对应的函数值。只能说明：对于定义域R上的任意x，点（x，f(x)）和点（f(x),x）的连线的斜率是-1.   但是可以特殊化，假设斜率是恒等于-1的，就得到y=-x+a（a为任意值）。
于是有了问题：怎样推导出满足条件的所有初等函数函数表达式？
已经有例子,反比例函数。

Galois.L

(1)有无数个，验证函数f（x）=-x+a，a为任意实数

彩虹天堂

回复 1# helloyupp


0 l* M0 Y/ Z7 r* o! L    先看看

87lv

回复 7# mrx
1 o$ w1 S9 m- d& a/ h7 L. ~. h
/ I" ^" n( P( S% z
    谢谢你，我考虑错了！！呵呵！！