[请教]一道数学分析习题

helloyupp

( V; G. k1 I4 t" s
5 w# q9 s, E& ^( j4 p设f(x)在R上有定义，且


（1）这种函数有几个？
（2）若f(x)为单调增加函数，问这种函数有几个？

ps:北大《数学分析解题指南》里面的习题。自学分析，无奈书后答案不详，还望高手不吝赐教啊，先谢谢了！

87lv

第一题无穷多个，第二题只有一个
3 ?" C* |9 d3 r3 J2 l' U
解：记y=f（x） .. ………………1
则有f（f（x））=f（y）=x ………2
) l+ q5 O# Y! E
- A* ?1 C' N1 A6 W% x由1，2 两式有

f（x）=y……..3
4 |5 C; V% Q. O9 _  Uf（y）=x………4
! ^2 t) @4 v- T
若x=y，则有f（x）=x

. B0 U( G1 t) e# C, Y. g& P7 P若x不等于y，则
) a! c. ?% S; Z% c1 V7 ~3 B; m
& |0 p0 ]8 A+ A, r由3，4两式得
$ h' c) ?$ c3 I" F+ q
* d2 H$ B4 u4 W0 }9 y$ N【f（x）- f（y）】/【x-y】=-1
9 Q5 A0 B+ |% D. T% Y. I! @也就是f（x）的斜率恒等于-1，上式x趋向于y的时候相当于导函数

$ l+ @0 u9 T) ]+ Z( ]+ e斜率恒等于-1就是f（x）=-x+a；a为任意常数

所有这种函数有无穷多个，而只有f（x）=x是增函数，于是增函数就只有一个

helloyupp

回复 2# 87lv
5 \/ C6 L/ Y0 E+ s- ]( ]1 Z# K
6 S, O: H1 B7 r6 v
    非常感谢！

zhoutao15935

严谨吗？。。。。。。。。。。。。。。。

mrx

不严谨，下面的函数亦可：
" l& \6 J2 G$ T3 H' qf(x)=\left\{\begin{matrix}
x,x= 0\\ \frac{1}{x},x\neq 0
, ^2 l  b; o: }* j% N4 ^9 Q\end{matrix}\right.

mrx

不严谨，下面的函数亦可：
- i- s! W3 v$ R! k- j[tex] f(x)=\left\{\begin{matrix} x,x= 0\\ \frac{1}{x},x\neq 0 \end{matrix}\right.[/tex]

mrx

“【f（x）- f（y）】/【x-y】=-1
2 H6 L- y  v0 [7 G6 C也就是f（x）的斜率恒等于-1，上式x趋向于y的时候相当于导函数
斜率恒等于-1就是f（x）=-x+a；a为任意常数"
由此不可以得出斜率是-1的结论，因为x、y并不是f（x）函数上面的任意两点，此时y是x的函数，不符合导函数的定义。

BenCam

87lv 中答案错误,因为x和y是有内在联系的，不是任取的，所以不能说明所有点的斜率都为-1！

(1)有可数个.

  e: b+ [; N! ~3 _! I(2)只有一个.因为存在反函数.

87lv

回复 7# mrx


3 q' I5 g  z2 q& ~' s    谢谢你，我考虑错了！！呵呵！！

彩虹天堂

回复 1# helloyupp


    先看看