[请教]一道数学分析习题

helloyupp

" L/ L# w: z$ r& @  B  W2 r设f(x)在R上有定义，且

, K  ^/ g7 P& p9 X& n
- x# T) t' o5 P! E( j（1）这种函数有几个？
（2）若f(x)为单调增加函数，问这种函数有几个？

! x! M1 t- B. X3 N$ e" b: jps:北大《数学分析解题指南》里面的习题。自学分析，无奈书后答案不详，还望高手不吝赐教啊，先谢谢了！

87lv

第一题无穷多个，第二题只有一个
- S, l/ z! `; B# F  u. d5 u
解：记y=f（x） .. ………………1
  J3 D) Q" _* L4 U, c则有f（f（x））=f（y）=x ………2
+ Z$ t. h+ C) k7 i/ M- K0 w, f/ ?
由1，2 两式有
; [/ S4 {2 J9 e! r
: R+ M! v* h) N, T' n0 d$ n( e% jf（x）=y……..3
/ U3 ^- ~, H0 f" ^  rf（y）=x………4

若x=y，则有f（x）=x

: J1 o7 F3 X$ j$ A/ o5 z: z若x不等于y，则
! y1 h' r% i/ I& _, V
3 p) N/ y% v1 l0 p* M由3，4两式得
# r" r0 B  c- _- v& {- Q
【f（x）- f（y）】/【x-y】=-1
0 |1 ?1 v" O+ k" V也就是f（x）的斜率恒等于-1，上式x趋向于y的时候相当于导函数
( \: g1 z) ^! N
斜率恒等于-1就是f（x）=-x+a；a为任意常数
% t0 E, ?& U- T
所有这种函数有无穷多个，而只有f（x）=x是增函数，于是增函数就只有一个

helloyupp

回复 2# 87lv

7 B  l4 s# C! T  }
, }/ m$ v& i# e$ b' n+ s    非常感谢！

zhoutao15935

严谨吗？。。。。。。。。。。。。。。。

mrx

不严谨，下面的函数亦可：
f(x)=\left\{\begin{matrix}
& }; r/ r  X: |$ Yx,x= 0\\ \frac{1}{x},x\neq 0
- ~1 F8 q- M) B1 K; H& B\end{matrix}\right.

mrx

不严谨，下面的函数亦可：
[tex] f(x)=\left\{\begin{matrix} x,x= 0\\ \frac{1}{x},x\neq 0 \end{matrix}\right.[/tex]

mrx

“【f（x）- f（y）】/【x-y】=-1
也就是f（x）的斜率恒等于-1，上式x趋向于y的时候相当于导函数
, P- M  C- Y$ \, }" ~  V斜率恒等于-1就是f（x）=-x+a；a为任意常数"
- j- A3 T6 I: ]) Z1 ^由此不可以得出斜率是-1的结论，因为x、y并不是f（x）函数上面的任意两点，此时y是x的函数，不符合导函数的定义。

BenCam

87lv 中答案错误,因为x和y是有内在联系的，不是任取的，所以不能说明所有点的斜率都为-1！
" D' K. k( t8 z5 f; @8 J2 _
: K3 @# {) J- W+ j9 |% v(1)有可数个.

! C# j, M! w3 M6 o1 q(2)只有一个.因为存在反函数.

87lv

回复 7# mrx
) `0 M1 W# P# ?+ g) V
) X0 C9 {" }: C/ e. T
% ~/ _; |! ?9 G, r( v    谢谢你，我考虑错了！！呵呵！！

彩虹天堂

回复 1# helloyupp
+ }" D9 R) s5 r" f6 A5 k0 ^- t% E
" m. ~3 L1 W5 _
    先看看