[请教]一道数学分析习题

helloyupp

9 o% y' n. k" O- m! {" ~' F
. G- x' k/ C3 P/ b5 I; X设f(x)在R上有定义，且
2 j7 X( @6 ]$ n
+ [& s( Q( \3 b4 Y0 j3 k/ K
# Q( M8 c! o5 p8 A1 _8 F' X+ F（1）这种函数有几个？
* _# y1 C6 ]8 U/ I/ H9 P3 O（2）若f(x)为单调增加函数，问这种函数有几个？

ps:北大《数学分析解题指南》里面的习题。自学分析，无奈书后答案不详，还望高手不吝赐教啊，先谢谢了！

87lv

第一题无穷多个，第二题只有一个

( G5 E3 o; |4 T) K4 q解：记y=f（x） .. ………………1
' Q2 O3 a1 G$ K2 \) \. A则有f（f（x））=f（y）=x ………2
+ G& {2 I# O: ]
; l- K# x* Y8 W' S# s4 N由1，2 两式有

' G' Z4 {; ]5 x* }! {5 Bf（x）=y……..3
3 L; g/ O$ W, u! y! e  T( ^f（y）=x………4
7 ]( @5 A) s; b
$ c* ~3 }( \6 m若x=y，则有f（x）=x
. `( R/ h9 q) {) z& A' w
若x不等于y，则
( R" p( h$ Y. A% U3 i
# k% p2 m; U2 l2 J! ]. `# \由3，4两式得

【f（x）- f（y）】/【x-y】=-1
也就是f（x）的斜率恒等于-1，上式x趋向于y的时候相当于导函数

2 }# m/ i6 O0 S1 {& d1 [斜率恒等于-1就是f（x）=-x+a；a为任意常数

所有这种函数有无穷多个，而只有f（x）=x是增函数，于是增函数就只有一个

helloyupp

回复 2# 87lv
& R9 w9 J- N/ T5 B8 B
% x" L1 w4 F. h" d/ D. l
' q: h9 O/ Q7 l6 M/ y# m7 W    非常感谢！

zhoutao15935

严谨吗？。。。。。。。。。。。。。。。

mrx

不严谨，下面的函数亦可：
f(x)=\left\{\begin{matrix}
x,x= 0\\ \frac{1}{x},x\neq 0
\end{matrix}\right.

mrx

不严谨，下面的函数亦可：
[tex] f(x)=\left\{\begin{matrix} x,x= 0\\ \frac{1}{x},x\neq 0 \end{matrix}\right.[/tex]

mrx

“【f（x）- f（y）】/【x-y】=-1
也就是f（x）的斜率恒等于-1，上式x趋向于y的时候相当于导函数
8 r7 _8 r% k- z- B$ J5 f9 [斜率恒等于-1就是f（x）=-x+a；a为任意常数"
  f7 j% f, h) e  s) L1 I/ c: m由此不可以得出斜率是-1的结论，因为x、y并不是f（x）函数上面的任意两点，此时y是x的函数，不符合导函数的定义。

BenCam

87lv 中答案错误,因为x和y是有内在联系的，不是任取的，所以不能说明所有点的斜率都为-1！
" k, C6 d: z3 M% k/ j/ }6 H
(1)有可数个.

(2)只有一个.因为存在反函数.

87lv

回复 7# mrx

2 E  P; F  ]; X& \) v% [" L
    谢谢你，我考虑错了！！呵呵！！

彩虹天堂

回复 1# helloyupp
' i, E4 |; A- X0 f- e, t. _
3 _4 J; o; M5 B8 z% E
% a0 f4 U3 p: y. r    先看看