比较1跟0.999999...之间的大小关系
本帖最后由 数学者 于 2010-4-25 16:20 编辑求助：如何用数学方法证明1跟0.9999...（无穷个9）之间的关系呢？
若只比较最高位数字的大小，显然1>0.9999...
然而，若将两个数都除于3，即有1/3=0.3333...（无穷个3）= 0.999.../3=0.3333...
以上两种方法得到的结果显然不同，是上述某种方法不够恰当，还是两个数字之间另有其他什么关系呢？
恳望各位高手帮忙用数学方法解决一下，不胜感激！
. 核心问题就是0.999...是什么东西. 我们不知道它是不是有理数, 因此只能用有理数的极限来表示它:
0.999... = lim 0.99..99(n个9)
注意右边的极限就是1.
更好的理解请看看实数系的构造, Dedekind分割和有理数的Cauchy列两种定义都可以说明相等. 0.9999999_____n个=1-1/10000000000000000（n个0）不知对不对 进行大小比较，先将两个数都变成无穷小数，利用无穷小数的n位不足近似或者n位过剩近似去比较，即可得到。具体可以参考《数学分析》华东师范大学数学系编的有高教出版，第三版的第一章内容即可 我将版主的方法改写成下面的形式：
lim(1*10^n-0.999...*10^n)=1 (n趋向无穷)
则1*10^n > 0.999...*10^n
两边再同除于10^n将不改变它们之间的大小关系，即1 > 0.999...
这样是否又是跟2楼的结论相矛盾了？ 楼上的极限算错了，应是lim(1*10^n-0.999...*10^n)=0
另外二楼的做法是对的 两者是相等的。0.9999999...是无限循环小数，这里用等比数列和极限理论证明即可。严格证明如下：
证明：
0.99999....=9*（1/10+(1/10)^2+(1/10)^3+(1/10)^4+(1/10)^5+...） 等比数列求和公式a1*(1-q^n)/(1-q)并求极限
=9*(1/9)
=1
证毕！
申请加精！:) 2楼和9楼正解，我就不重复了。
有些问题就是让人觉得感觉很简单，却琢磨不透。
这让我想到一个以前在贴吧看到的问题，1/3=0.33333333…，0.333333…*3=0.999999……不等于1！
两个题目有点类似哈！看来很多人在学习过程中都会遇到这样的困惑。 嗯，明白了，多谢各位的指点~:handshake 本帖最后由 funintears 于 2009-12-6 14:55 编辑
这涉及到p进制无限小数的问题。我们将大于0小于等于1的数用p进制无限小数表示是指an/p^n对n求和，这里an可以等于0，1，2……p-1，并且有无限多个an不等于0.可以证明任意大于0小于等于1的实数都可以唯一用p进制表示法表示。在这样定义下。1不表示为1.0000……，而表示为0.9999……。这是合理的。可以由级数收敛说明9/(10^n)对n从1到无穷求和是收敛的且等于1。7楼已经给出具体方法了。