在计算机科学中，分治法是一种很重要的算法。字面上的解释是“分而治之”，就是把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题，再把子问题分成更小的子问题……直到最后子问题可以简单的直接求解，原问题的解即子问题的解的合并。这个技巧是很多高效算法的基础，如排序算法(快速排序，归并排序)，傅立叶变换(快速傅立叶变换)……
    任何一个可以用计算机求解的问题所需的计算时间都与其规模有关。问题的规模越小，越容易直接求解，解题所需的计算时间也越少。例如，对于n个元素的排序问题，当n=1时，不需任何计算。n=2时，只要作一次比较即可排好序。n=3时只要作3次比较即可，…。而当n较大时，问题就不那么容易处理了。要想直接解决一个规模较大的问题，有时是相当困难的。
    分治法的设计思想是，将一个难以直接解决的大问题，分割成一些规模较小的相同问题，以便各个击破，分而治之。
    分治策略是：对于一个规模为n的问题，若该问题可以容易地解决（比如说规模n较小）则直接解决，否则将其分解为k个规模较小的子问题，这些子问题互相独立且与原问题形式相同，递归地解这些子问题，然后将各子问题的解合并得到原问题的解。这种算法设计策略叫做分治法。
    如果原问题可分割成k个子问题，1<k≤n ，且这些子问题都可解并可利用这些子问题的解求出原问题的解，那么这种分治法就是可行的。由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式，这就为使用递归技术提供了方便。在这种情况下，反复应用分治手段，可以使子问题与原问题类型一致而其规模却不断缩小，最终使子问题缩小到很容易直接求出其解。这自然导致递归过程的产生。分治与递归像一对孪生兄弟，经常同时应用在算法设计之中，并由此产生许多高效算法。
    分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征：
    1) 该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决
    2) 该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质。
    3) 利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解；
    4) 该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子子问题。
    上述的第一条特征是绝大多数问题都可以满足的，因为问题的计算复杂性一般是随着问题规模的增加而增加；第二条特征是应用分治法的前提它也是大多数问题可以满足的，此特征反映了递归思想的应用；第三条特征是关键，能否利用分治法完全取决于问题是否具有第三条特征，如果具备了第一条和第二条特征，而不具备第三条特征，则可以考虑用贪心法或动态规划法。第四条特征涉及到分治法的效率，如果各子问题是不独立的则分治法要做许多不必要的工作，重复地解公共的子问题，此时虽然可用分治法，但一般用动态规划法较好。
    分治法的基本步骤
    分治法在每一层递归上都有三个步骤：
    分解：将原问题分解为若干个规模较小，相互独立，与原问题形式相同的子问题；
    解决：若子问题规模较小而容易被解决则直接解，否则递归地解各个子问题
    合并：将各个子问题的解合并为原问题的解。
    它的一般的算法设计模式如下：
    Divide-and-Conquer(P)
    1. if |P|≤n0
    2. then return(ADHOC(P))
    3. 将P分解为较小的子问题 P1 ,P2 ,...,Pk
    4. for i←1 to k
    5. do yi ← Divide-and-Conquer(Pi) △ 递归解决Pi
    6. T ← MERGE(y1,y2,...,yk) △ 合并子问题
    7. return(T)
    其中|P|表示问题P的规模；n0为一阈值，表示当问题P的规模不超过n0时，问题已容易直接解出，不必再继续分解。ADHOC(P)是该分治法中的基本子算法，用于直接解小规模的问题P。因此，当P的规模不超过n0时直接用算法ADHOC(P)求解。算法MERGE(y1,y2,...,yk)是该分治法中的合并子算法，用于将P的子问题P1 ,P2 ,...,Pk的相应的解y1,y2,...,yk合并为P的解。
    分治法的复杂性分析
    一个分治法将规模为n的问题分成k个规模为n／m的子问题去解。设分解阀值n0=1，且adhoc解规模为1的问题耗费1个单位时间。再设将原问题分解为k个子问题以及用merge将k个子问题的解合并为原问题的解需用f(n)个单位时间。用T(n)表示该分治法解规模为|P|=n的问题所需的计算时间，则有：
           
    通过迭代法求得方程的解：
          
    递归方程及其解只给出n等于m的方幂时T(n)的值，但是如果认为T(n)足够平滑，那么由n等于m的方幂时T(n)的值可以估计T(n)的增长速度。通常假定T(n)是单调上升的，从而当mi≤n<mi+1时，T(mi)≤T(n)<T(mi+1)。



求最大值和最小值的分治算法 
    实践题目：
    给定一个顺序表，编写一个求出其最大值和最小值的分治算法。
    分析：
    由于顺序表的结构没有给出，作为演示分治法这里从简顺序表取一整形数组数组大小由用户定义，数据随机生成。我们知道如果数组大小为 1 则可以直接给出结果，如果大小为 2则一次比较即可得出结果，于是我们找到求解该问题的子问题即: 数组大小 <= 2。到此我们就可以进行分治运算了，只要求解的问题数组长度比 2 大就继续分治，否则求解子问题的解并更新全局解以下是代码。
    */
    /*** 编译环境TC ***/
    #include <stdio.h>
    #include <stdlib.h>
    #include <limits.h>
    #define M 40
    /* 分治法获取最优解 */
    void PartionGet(int s,int e,int *meter,int *max,int *min){
    /* 参数:
    * s 当前分治段的开始下标
    * e  当前分治段的结束下标
    * meter 表的地址
    * max 存储当前搜索到的最大值
    * min 存储当前搜索到的最小值
    */
    int i;
    if(e-s <= 1){ /* 获取局部解，并更新全局解 */
    if(meter[s] > meter[e]){
    if(meter[s] > *max)
    *max = meter[s];
    if(meter[e] < *min)
    *min = meter[e];
    }
    else{
    if(meter[e] > *max)
    *max = meter[s];
    if(meter[s] < *min)
    *min = meter[s];
    }
    return ;
    }
    i = s + (e-s)/2; /* 不是子问题继续分治,这里使用了二分，也可以是其它 */
    PartionGet(s,i,meter,max,min);
    PartionGet(i+1,e,meter,max,min);
    }
    int main(){
    int i,meter[M];
    int max = INT_MIN;   /* 用最小值初始化 */
    int min = INT_MAX;   /* 用最大值初始化 */
    printf("The array's element as followed:\n\n");
    randomize();    /* 初始化随机数发生器 */
    for(i = 0; i < M; i ++){  /* 随机数据填充数组 */
    meter[i] = rand()%10000;
    if(!((i+1)%10))   /* 输出表的随机数据 */
    printf("%-6d\n",meter[i]);
    else
    printf("%-6d",meter[i]);
    }
    PartionGet(0,M - 1,meter,&max,&min); /* 分治法获取最值 */
    printf("\nMax : %d\nMin : %d\n",max,min);
    system("pause");
    return 0;
    }