这个世界的数学模型

                     

                       陈光剑 编著

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

南京邮电大学

二零零九年十月

 

 

什么是数学模型

 

建立数学模型的方法

 

通信领域中的数学模型

 

自动控制领域中的数学模型

 

密码学中的数学模型

 

药理学中的数学模型

 

计算机网络中的数学模型

 

电子电路中的数学模型

 

信号与系统中的数学模型

 

微观经济学中的数学模型

 

生态系统中的数学模型

 

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什么是数学模型

 

数学模型（Mathematical Model）是我们人类理性认识世界的核心方法之一。它通过合理的理想化假设、严密的数学演绎推理与分析综合、直观的图像曲线结论等，形成对世界规律的定量的认识。它是近些年发展起来的新学科，是数学理论与实际问题相结合的一门科学。它将现实问题归结为相应的数学问题，并在此基础上利用数学的概念、方法和理论进行深入的分析和研究，从而从定性或定量的角度来刻画实际问题，并为解决现实问题提供精确的数据或可靠的指导。

 

但是，广义地看，只要是应用了数学理论来分析研究客观世界规律的学问，无论是纳米材料科技，还是混沌通信；无论是自动控制理论，还是经济学中的方程曲线；无论是医药学中的药理，还是生态系统的动态平衡——本质都是应用数学模型认识这个世界的规律。

 

数学模型是大脑思维抽象的概括的产物——当然，建立一个漂亮的模型，更需要丰富的想象——其原型可以是我们实际生活中具体对象及其性质、关系，也可以是数学对象及其性质、关系。数学模型有广义和狭义两种解释。

 

广义地说，数学概念，如数、集合、向量、方程都可称为数学模型——微积分就是一个比较大的系统数学模型——微积分滥觞于解决运动学中的瞬时速度问题、曲线的相关问题、求解函数的最值问题。其本质的哲学思想就是增量无限趋近于零，割线无限趋近于切线，曲线无限趋近于直线，从而以直代曲，以线性化的方法解决非线性问题，这就是微积分理论的精髓所在。微积分是与实际应用联系着发展起来的，它在天文学、力学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学等多个分支中，有越来越广泛的应用。特别是计算机的发明更有助于这些应用的不断发展。 客观世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始终都在运动和变化着。因此在数学中引入了变量的概念后，就有可能把运动现象用数学来加以描述了。由于函数概念的产生和运用的加深，也由于科学技术发展的需要，一门新的数学分支就继解析几何之后产生了，这就是微积分学。微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的，可以说它是继欧氏几何后，全部数学中的最大的一个创造。

 

射影几何学——我们完全可以看做是关于在建筑、绘图、航空、测量中这些涉及到投影的问题。投影过程图形几何性质不变性就是射影几何这个数学模型研究的核心。所以今天我们就看到了射影几何——几何学的一个重要分支学科，它是专门研究图形的位置关系的，也是专门用来讨论在把点投影到直线或者平面上的时候，图形的不变性质的科学。

 

整个的微观经济学——主要以单个经济单位(单个的生产者、单个的消费者、单个市场的经济活动)作为研究对象，分析单个生产者如何将有限的资源分配在各种商品的生产上以取得最大的利润；单个消费者如何将有限的收入分配在各种商品的消费上以获得最大的满足的数学模型。 它的内容主要有：均衡价格理论、消费者行为理论、生产者行为理论（包括生产理论、成本理论和市场均衡理论）、分配理论、一般均衡理论与福利经济学、市场失灵与微观经济政策——这些不过是数学模型结论的后期描述罢了。

 

现在数学模型还没有一个统一的准确的定义，因为站在不同的角度可以有不同的定义。不过我们可以给出如下定义。"数学模型是关于现实世界中一个特定规律的一个抽象的、简化的数学结构。"具体来说，数学模型就是为了某种目的，用字母、数学及其它数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图象、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构表达式。

 

 

 

数学模型的分类

 

数学模型大致可分为二类：(1)描述客体必然现象的确定性模型，其数学工具一般是代效方程、微分方程、积分方程和差分方程等，（2）描述客体或然现象的随机性模型，其数学模型方法是科学研究相创新的重要方法之一。

静态和动态模型 静态模型是指要描述的系统各量之间的关系是不随时间的变化而变化的，一般都用代数方程来表达。动态模型是指描述系统各量之间随时间变化而变化的规律的数学表达式，一般用微分方程或差分方程来表示。经典控制理论中常用的系统的传递函数也是动态模型，因为它是从描述系统的微分方程变换而来的（见拉普拉斯变换）。

 

分布参数和集中参数模型 分布参数模型是用各类偏微分方程描述系统的动态特性，而集中参数模型是用线性或非线性常微分方程来描述系统的动态特性。在许多情况下，分布参数模型借助于空间离散化的方法，可简化为复杂程度较低的集中参数模型。

 

连续时间和离散时间模型 模型中的时间变量是在一定区间内变化的模型称为连续时间模型，上述各类用微分方程描述的模型都是连续时间模型。在处理集中参数模型时，也可以将时间变量离散化，所获得的模型称为离散时间模型。离散时间模型是用差分方程描述的。

 

随机性和确定性模型 随机性模型中变量之间关系是以统计值或概率分布的形式给出的，而在确定性模型中变量间的关系是确定的。

　参数与非参数模型 用代数方程、微分方程、微分方程组以及传递函数等描述的模型都是参数模型。建立参数模型就在于确定已知模型结构中的各个参数。通过理论分析总是得出参数模型。非参数模型是直接或间接地从实际系统的实验分析中得到的响应，例如通过实验记录到的系统脉冲响应或阶跃响应就是非参数模型。运用各种系统辨识的方法，可由非参数模型得到参数模型。如果实验前可以决定系统的结构，则通过实验辨识可以直接得到参数模型。

 

线性和非线性模型 线性模型中各量之间的关系是线性的，可以应用叠加原理，即几个不同的输入量同时作用于系统的响应，等于几个输入量单独作用的响应之和。线性模型简单，应用广泛。非线性模型中各量之间的关系不是线性的，不满足叠加原理。在允许的情况下，非线性模型往往可以线性化为线性模型，方法是把非线性模型在工作点邻域内展成泰勒级数，保留一阶项，略去高阶项，就可得到近似的线性模型。 </div>

 

建立数学模型的方法

 

通信领域中的数学模型

 

自动控制领域中的数学模型

 

密码学中的数学模型

 

药理学中的数学模型

 

计算机网络中的数学模型

 

电子电路中的数学模型

 

信号与系统中的数学模型

 

微观经济学中的数学模型

 

生态系统中的数学模型

 

气象中的数学模型