数学建模社区-数学中国

标题: (原创笔记)《数学模型》学习笔记（姜启源老师第三版）可作预习、辅助、大纲 - 公开欢 [打印本页]

---

作者: sdccumcm    时间: 2012-7-19 11:00
标题: (原创笔记)《数学模型》学习笔记（姜启源老师第三版）可作预习、辅助、大纲 - 公开欢


6 `0 R: g, J! x3 b% D' L3 s

《数学模型(第三版)》学习笔记

& }* y$ E# w2 w7 k  g  a/ r写在开始
$ m7 r+ h4 q5 i% X2 X: s5 L& B- a      今天第一次归纳、复习，整理思路重点，从最后两章（除了“其他模型”）开始，想可能印象比较深刻。可实际开始总结才发现对于知识的理解和掌握还有很大差距，自己也是自学看书，非常希望各位提出宝贵意见，内容、学习方法经验上的都是.
      整本书读下来感觉思路、数学都有很大拓展，总结起来有一下几个特点：
: \. l4 y0 T7 m, u
; T1 ?" Q) B3 P, b* h5 H3 Q(一)  “实际—>模型”的建模过程很关键，本书的模型很多虽然所谓“简单”、“假设多”，但简化分析中，还真难找到比它更合适、更合理、更巧妙的建模、假设了；
(二)  模型求解之后的处理，许多地方似乎求解完毕可以结束，但却都未戛然而止，而是进一步“结果分析”、“解释”，目的不一，要看进程而定，有的促进了模型的改进，有的对数学结果做出了现实对应的解释（这一点建模过程中也经常做，就是做几步解释一下实际意义），也还有纯数学分析的，这些都是很重要的，在我看来，这本书中的许多模型、论文似乎到了“结果分析”这一步才刚刚开始，前面的求解似乎是家常便饭了；
(三)  用各种各样的数学工具、技巧、思想来建模的过程，这本书读下来愈发觉得线性代数、高等数学基础的重要性，同时书中也设计到了一些（虽是浅浅涉及）新的数学知识和技巧，许多我在读的过程中只是试图了解这个思想，而推导过程未能花很多时间琢磨，但即便如此，还是让我的数学知识有了很大的拓展（作为工科专业学生）。
5 U. c- [1 F. }! B6 ]! r) F% E2 G
8 |. A, m" {- m3 D5 @+ V      从上周六继续自学《数学模型》开始一周，比预期的时间长了许多，但是过程中我觉得即便如此也很难领会完整这本书的内容。最近学习任务比较多，所以两天前快看完时到现在一直未能做个小结，从今天起每天做2章的小结，既是复习总结重点，也是请诸位同学指教、提意见交流——毕竟自己领会很有限。
/ |; o$ P9 z9 M5 a* u     也可以作为未读过、准备读这本书的同学的参考~
                                                                                                                 ——Tony Sun   July 2012, TJU

（目前已更新：全12章）

4 h# O$ b, f( U7 y

第1章 建立数学模型
% x' S9 \2 d: g; [: I7 d6 S1 M4 f8 @关键词：数学模型 意义 特点

   
   第1章是引入的一章，对数学模型的意义来源，做了很好的解释。其实数学模型也是模型的一种，是我们用来研究问题、做实验的工具之一，只不过它比较“理论”、“摸不着”而已。但通常，数学模型有严谨的特点，而且我们可以根据建模实际需要改变模型，成本也比较低；同时数学模型手段之一计算机模拟也有很好的效果。
   椅子在不平的地面上放稳、商人安全过河、预报人口增长这3个熟悉的例子，用简单的数学进行描述、建模分析，给数学模型一个最好的诠释：用数学语言描述事物、现象——往往增添了说服力。
6 e' Y# }9 E# u% d3 C

- Y& C& y) p$ G8 U7 O# O, j9 b

第2章 初等模型
关键词：初等数学 简化技巧 思想

    这一章顾名思义，是一些用“初等”数学知识建立、求解的模型，虽然数学知识比较易懂，但是其中的巧妙思想确实十分重要的。
    如何把问题做恰当的简化，到简单的数学工具能够表示、求解的程度，本章做出了很好的例子，同时分析也很精彩。
- Q% u- G' ?4 W    2.1节公平席位分配，通过定义不公平程度等衡量标准，确立目标，提出Q值法。有意思的是，在考虑是否存在一个理论上公平的分配方法时，根据所提出的4个（毋庸置疑的）公理，得出的结论却是：不存在满足上述公理的分配方法。这种类似情况在本书中后面的例子也出现过。  这给我们什么启示呢？有些问题和工作，比如公平席位的分配，日常中是一定要做的，就算不能达到绝对公平也要分配，但一旦证明不存在理论上公平的分配方法时，我们还有分配的意义吗？答案不一；在这个例子中，固然是有意义的，我们自然转而寻求一个相对公平的分配方法，抑或，就是回溯查看提出的“公理”是不是那么的“公理”，看能否通过删改公理来取得更公平方案。
: `- W& s% G2 N    录像机计数器、双层玻璃功效、刹车距离等模型，均是用日常现象、基础的物理知识和巧妙简化进行的建模分析，这里每个例子中的分析，求解后的解释很重要——它们是整个模型的关键，阐述现象。
! ^  k1 y. O3 o. p+ M    2.7 实物交换——是后面经济学模型的雏形，无差别曲线的图形方法，确定这种曲线实际中要收集大量的数据；核军备竞赛一节，也是一个动态的变化过程，基本全是用曲线进行分析的——这里给我们一个思想，得出表达式后，许多时候我们只关注曲线的形状、趋势，因此作图分析是很好的方法，图中可以给我们很多信息（交点，截距，极限值……），而这些信息都一一对应着它们的实际意义；有些即使没有明显的含义，但也很可能为接下来的铺垫、预测作下铺垫。
" t) k( m& Y( ?% m7 _& q     2.10 量纲分析与无量纲化——是另一种重要的求解方法，大致来说思想就是：仅知道变量之间的制约关系（正/负相关），系数、阶数均未知，即只能得出表达式的“形式”，要我们通过“量纲齐次性”（等式两端必须保持量纲的一致）来确定具体的表达式。这是与按理论推导建模并列的另一种方法，这一节用单摆、抛射等物理问题很好地诠释了这种方法的强大。  关键：恰当地选择特征尺度，不仅可以减少独立参数的个数，还帮助我们决定舍弃哪些次要因素。物理知识和经验是关键。

1 H) C9 a* L7 y4 }( N! t! {第2章小结：
% r+ \1 }5 K6 w7 P9 `& O    本章可以总结为“初等数学知识+巧妙简化技巧+思想”，10节涉及了不同类型的问题、数学方法，很多都是本书后面章节模型的雏形、基础。
, P$ T# W, K! F" F& I

第3章 简单的优化模型
关键词：简单优化 微分法 建模思想

$ c& ~1 g0 v' K$ ]$ L5 c6 I# O    本章与第4章连续两章都是优化、规划的问题，可以看成一类问题——内容上也是由简单到复杂。在第3章中，主要是几个简单的优化模型，可以归结到函数极值问题来求解，直接用微分法。虽然模型、数学计算难不倒，但是还是那句——建模，求解之后结果分析、结果解释的思想，是我们要学习和引入脑中的。

3.1 存贮模型
    分不允许、允许缺货两种讨论，中间推出一个最小费用的结果——经济订货批量公式EOQ。 对存贮量函数q(t)作图，观察规律，对结果解释。
( P( M' s6 R- c6 i9 L3.2 生猪出售时机
# `  L8 Z/ Y5 _1 P    关键点在于敏感性分析和强健性分析——这对于优化模型是否实用、有效是很重要的。
3.3 森林救火
    亮点是对火势蔓延程度dB/dt的形式作出的数条假设，以及假设对应的实际解释。只要合理、自圆其说，就是一个好的对实际问题的简化。
3.4 最优价格
    主要是引出边际收入、编辑支出，以及经济学一条著名定律——最大利润在边际收入等于编辑支持时达到。
' j, A+ i/ J2 h. x. G3.5 血管分支
" L, e5 l9 `& l7 Z; d    是很有趣的一节，用数学模型研究生理问题，我们还是只关注建模、数学的层面，而对于血管系统几何形状等生理学知识不讨论过多，用合理有力的假设代之。
( }& Q. n/ j) {6 }% ^6 n% m1 Z  y3.6 消费者的选择
    一个消费者买两种产品时，钱应该如何分配。分配比例使他得到最大的满意度的最优比例乘务消费者均衡，而建立消费者均衡模型的关键在于确定效用函数U(q1,q1)。
9 Q! X9 A; q0 k) R1 l! `. }: K3.7 冰山运输
9 g, T" E: M+ N! x* \+ L7 [    也是很有趣的问题，考虑各种因素，基于一些假设，这节研究怎样运输冰山使费用最小。其中用实际数据建立了经验公式，二是假设冰山为球形，简化了融化规律等的计算。
1 k# F7 n+ R) u( X! A
1 z# e0 C# u2 \5 w9 |, Y. p# ^: J

第4章 数学规划模型
关键词：数学规划方法 lingo/lindo软件 结果深入分析 变量个数

    约束条件、可行域、目标函数，构成了常说的“数学规划”模型。本章揭示了数学规划的本质，和它与传统优化数学问题的区别：常理优化模型属于函数极值问题的范畴，但实际中更多的是决策变量数、约束个数较大，且最优解往往在边界上取得的问题，因此不能用传统的“微分法”求解——因此要引入“数学规划”方法。

/ M! v7 U; ?7 Q8 j6 y    这一章内容不少，但都是一类问题，主要点有几个：
4 w- W- U. f3 ]4 S1 `6 H3 b5 c1. lingo、lindo求解的使用——运行结果中还有一些平时未留意的信息，可以作为结果分析来用，前两节叙述较多；
* s: M5 ~- n4 c& K" W& g2. 一些细节之处：把一句话用数学公式表达，它往往作为约束条件，如p102的式（19）；
3. 多目标规划的处理，p109的“选课策略”——基本思想是通过加权组合形成一个新的目标，从而化为单目标规划；
4. 同前面章节一样地，对一个问题解出结果后，问题虽然解决了，但分析并没有结束——我们要学习这种further discussion的精神，发现这个结果“恰与…相同…”之类的，不妨多问自己一句：“这是偶然的吗？”然后继续分析，得出一般的结论，这样往往能看到更多的风景，得出的结论更有含金量/启发性，而不是仅仅是解决了该个问题而已。如p109选课策略。
5. 减少变量个数，简化模型、式子（简化起见，同时lingo对变量个数有限制），p115销售的例子。
+ u( e  P: I: Q; _) q; [/ Y3 s$ q6. 求最优解时，为了减少搜索范围，加快速度，可以先去一个特殊情况求出一个可行解，然后让最优解至少优于它。
& a( k8 c$ Y* `' D$ D
* @# F- p0 T! }6 W" Z
, K# ]& B8 a% ~/ u! ]; Z) |

第5章 微分方程模型
9 {, U! x$ W# P- b  B( g关键词：动态模型 合理假设 分析预测 控制

( @' \( N1 |/ G# D    这一章是非常经典的一章，对微分方程模型作了很好的诠释、介绍，每一个模型都有丰富的价值。对于随时间连续变化的对象或状态，当我们要 1）分析变化规律；2）预测；3）研究如何控制它的时候，就要建立相应的微分方程模型。
    自然地，这样的模型功能非常强大，也具有一般性，也自然地需要在简化假设上动脑筋——如何用数学语言能表述的东西来刻画一个实际动态过程。一个方程，有时就表示着一件事，这件事有可能还持续几十年——多么有趣而强大。

5.1 传染病模型
" {$ _0 l# E# @- p; s2 X    本节是解决“传播”、“蔓延”微分方程问题的典例，模型分三部分层层递进：SI（只分为易感染着、已感染者），SIS（已感染者可以被治愈，重新变为易感染者），SIR（治愈后具免疫力，即增加了“移出者”）。可以说从基础模型到一步步递进，是对实际传染病情况的逐渐深入、全面的考虑，而其中的分析十分重要，也是本章分析得最细的章节。其中引入了“相轨线”分析法，是很有力的工具，后面多次用到，这一节有很详细的介绍。
! u  ?: J* K% {    模型改进、建模目的性、方法三者配合，是本节亮点。
5.2 经济增长模型
" ~; T! x% N2 f$ p; d+ F    通过建立产值与1）资金；2）劳动力之间的关系，来研究1）资金与劳动力的最佳分配，使效益最大；2）如何调节资金、劳动力增长率，使劳动生产率有效增长。
  r# d9 Q: K: j) i1 W. u+ ?/ U    本模型虽然不长，但推导出计量经济学一重要模型——Douglas生产函数。本节给出的模型推导稍繁，但结果简明，有合理解释。
: m1 M% C8 v& L* u, z5.3 正规战与游击战
    这一节介绍了历史上用过的、经典的预测战争结局的数学模型，有传统正规战争、稍复杂的游击战，以及混合战。重点在于建模过程：如何描述战争双方的特性，如何作假设。然后用来分析硫磺岛战役。这节很好地体现了微分方程的强大。
# s. Z+ L; p5 Y# D& J: E- {5.4 药物在体内的分布与排除
    本节建立了房室模型，研究血药浓度的变化过程，为制订给药方案、剂量大小提供数量依据。重点在于1）模型的假设：尽管是简化，但由临床试验证明是正确的，可以接受；2）对参数的估计。
先由机理分析确定方程形式，再由测试数据估计参数。
5.5 香烟过滤嘴的作用
    看起来不易下手的一个问题，用恰当的假设，引入两个基本函数q,w,及物理学常用的守恒定律，建立出微分方程模型，从而构造动态模型。本例是经典的建模案例。
5.6 人口的预测和控制
    本节模型与之前的区别在于：考虑年龄的分布，即除了时间外，年龄是另一个自变量。过程中重要的是数学公式中，系数、因子的实际含义要解释。
4 Z0 J( A% N* ]0 w6 a# b& t5.7 烟雾的扩散与消失
    这个模型巧妙地引入了“仪器灵敏度”指标，不仅帮助建模，而且该指标本身是客观存在的，并非虚构，这样更加有说服力。
" q% u# n; d3 ?+ ?+ L  E1 M2 V5.8 万有引力定律的发现
    十分有意义的一节。我们初中就熟悉的牛顿万有引力定律，是由开普勒第三定律和牛顿第二定律一同推导出的，这一节再现了这个推导过程。这个模型告诉我们：正确假设+用数学演绎建模=对自然科学研究的巨大作用。我们要学习科学家前辈们如何创造性地运用数学方法，来提升我们解决实际问题的能力。
" Q2 _1 J+ i5 M9 o$ v& u  S+ z
1 o& s+ L! W3 _8 z
& Y) ]5 i  F$ [* T

第6章 稳定性模型
关键词：稳定性理论 建而不解 平衡状态 趋势 相轨线

    本章是建立在上一章的基础上，在微分方程基础上引入的一种重要思想/概念，那就是——对于某些问题，我们可能不关注动态过程的每个瞬时状态，而是研究稳定状态的特征，特别是时间充分长以后的状态/趋势，从而判断是否“稳定”。这时我们往往不需要“求解”微分方程（组），即“建而不解”；而是利用“微分方程稳定性理论”直接研究平衡状态稳定性即可。

+ F6 ~3 F& N+ D*6.6 微分方程稳定性理论简介
. y1 H& n/ q: P" X4 ^   这一节应为优先阅读的一节，介绍了如何判断一阶、二阶方程的平衡点和稳定性。数学推导稍复杂（对于未接触过的同学），重要在于了解一些概念、结论，在模型实例中来进一步理解。

6.1 捕鱼业的持续收获
& [$ n. }) t1 c' N9 m$ Y" U    研究捕鱼业产量、效益和捕捞过度问题，如何捕捞能获得最大收益。这个问题虽然看似只需要给出一个“捕捞量”的答案就可以了，但是模型整个过程分析中还是得出了许多结论，如经济学捕捞过度、生态学捕捞过度等概念。在稳定的前提下步步深入。
6.2 军备竞赛
    这个问题在第二章初等模型中就出现过，这里用微分方程稳定性的知识来分析。正如本节引言所说，军备竞赛因素很多，无法圆满描述，只是想告诉我们：一个复杂实际过程可以被合理简化到什么程度，得到的结果又怎样解释实际现象。
/ D6 m$ L) q; O0 c  K; Z3 P6.3 种群的相互竞争 6.4 种群的相互依存 6.5 食饵-捕食者模型
7 [! y) k, a8 R; ]5 n0 i  {6 o2 U    这三节作为一个系列，用种群竞争、依存、捕食这类生物学案例来诠释稳定性模型的应用。其中，相轨线分析法再次成为主角，它的意义在于：从图中曲线上直观地看出发展趋势，且特殊点对应的意义作出解释。

! m! `. }' p. f

第7章 差分方程模型
关键词：差分方程稳定性 离散时段 差分阻滞增长 混沌

4 [- Q+ m. j. W9 `" M    将时间离散化后，就可以建立与微分方程相对应的差分方程模型。这章与第8章讨论的是确定性离散模型。实际上有些问题既可以用连续，又可以用离散，要看目的而定。离散的一个优势在于，便于计算机求解。
  r4 S1 b1 v+ R& ]  Z  Q
7.5 差分方程简介：介绍差分方程稳定性的知识，判别稳定的条件。本章要用到的知识。
+ }  d  A0 ~/ u# e7.1 市场经济中的蛛网模型
    先用图形法建立市场经济的“蛛网模型”，给出趋于稳定的条件，再用差分方程建模，解释结果。本节开头的“问题前瞻、介绍”部分很经典，可作为建模论文写作的参考。
1 R) F7 ]) ]2 R6 u, \# u    本节最后对结果的解释也非常值得学习：启示我们，一些数学结果如参数前后的变大/变小，可能意味着什么，我们不要轻易放过，而是要时刻不忘解释相对应的原因。
" f/ }# s( R( S7 I1 F5 h9 x7.2 减肥计划——节食与运动
    这是一个很生活的问题，主要讨论如何把一个“超重”的人减到目标的正常范围内（均以WTO颁布的体重指数BMI衡量）。
    我认为这个模型的两点仍然在建模本身：及如何将减肥计划中“减肥”这一件事量化，用数学的语言可以表达，写出差分方程。其中p208的“基本方程”式（1）是整个模型的基石，有了此式后面的工作就可以往上搭建了。注意到，式（1）其实是一个“建而不解”的方程。
) C7 t0 Z, f( x. b8 m$ {7 J8 a, k7 z0 e4 K    但正如节末评注中所述，实际参数的设置会更复杂，代谢消耗系数beta也因人而异、因环境而异，所以要有更多核对。但我们先要学习的还是建模这一步。
  r( ~; R! G* W! y" F; ^# A7.3 差分形式的阻滞增长模型
    此节是与之前用微分方程Logistic规律描述的“阻滞增长”规律最好的对比。有时，用离散化的时间研究比较方便，本节是很好的参考。（按：本人曾经做过用差分方程加修正，描述人数传播问题，个人认为很多情况用差分方程更好，也更“诚实”些，因为我们也只是想要每个时段的数量）
. }! o' N) Q3 T7 m% D+ Y    要注意的是：若用离散描述，需要说明各“时段”指代意义。推出p211的式（6）后，这个一阶分线性差分方程，也是“建而不解”，但注意：此处“不解”是指不需求通项公式，但各项的值仍要计算——用计算机递推可方便得到。我们最关心的往往是k趋向无穷时，y/x收敛情况，即平衡点稳定性的问题。这里微分、差分方程判别上有区别。
; X  P- M$ }3 r' v    P212中，通过深入讨论和213页的数据表发现，不同的参数b下收敛情况不一，然后发现了“倍周期收敛”的规律，即存在多个收敛的子序列。然后发现当n区域无穷时，不在存在任何倍周期收敛，出现混沌现象（Chaos）。
9 \1 [- y& X5 I5 U: q3 T- ?    混沌的特点为对初值极度敏感，这一点在物理课中老师也提到过，许多非线性方程均是如此，即“差之毫厘，失之千里”，蝴蝶效应。
- d5 a; d3 c8 u6 Q1 `5 a7.4 按年龄分组的种群增长
    这个模型的主要区别在于：将种群分成n个年龄组，分析各年龄组对种群总量增减的影响。这一节的数学推导稍繁。

, N5 r' _" n$ j1 |
9 @+ L' N& [# I2 N' E! \7 \7 g

第8章 离散模型
关键词：层次分析 排名次 冲量过程 “分赃” 群体决策
（本章是确定性离散模型的应用、方法）

/ t& r/ `8 d6 x  n. L  F5 W8.1 层次分析模型
' e1 m4 V8 c, M3 Y) _    社会经济系统分析工具。排名、评分评价，排等级都可以用层次分析模型解决，数学知识虽然不深，但是思想十分巧妙且合理，可扩展性也很好。关键在于1）“成对比较矩阵”的确定及修正，2）特征根法求权向量的原理（重要），3）1-9比较尺度（Satty等人提出），4）一致性检验。
8.2 循环比赛的名次
( h7 R! t- u! v! K    这节也是对一些排名评价“难题”给出一种经典解法：邻接矩阵+得分向量。转化为计算各级得分向量s、A最大特征根&对应特征向量s。按常理一般只会想到基于原邻接矩阵的1级得分向量，若比不出则停滞了；但若将i级乘回邻接矩阵，可以“发展”到i+1级得分向量——这个思想是本模型的关键，而且简单易用易理解。
    对于所谓的“下一级”得分向量定义的原理依据，或实际意义，是此思想的关键，我觉得可以接受，看上去很有道理，但未想出具体的解释，这里欢迎指教、讨论。（p246）
8.3 社会经济系统的冲量过程
" ]8 K+ R' r' \    区别于机理分析、统计分析，冲量过程与层次分析属于“系统分析”，是近20年来发展起来的解决复杂系统的有力工具。
    这节模型研究能源系统中，各个因素的趋势、预测问题。主要工具有：带符号加权的有向图，冲量过程（类比物理“冲量“概念）。其目的无非是研究系统的“稳定性”，以及如何“调整”到稳定。这是实际问题关注的。
0 d: ]7 ?" S" d7 j7 y8.4 效益的合理分配
* K' b1 s9 A8 ?& x& N) Z! }7 R    几方（大于3方）合作，已知不同子组合可获得不同收益，那么一起合作后，谁的功劳最大？也就是说，干完活后，如何“分赃”——这里是理性的、用数学推理的公平的“分赃”。
本节介绍了3类方法：Shapley值，协商解等，Raiffa解。最后用一个3方分配例子对比了这3种方法。3种方法特点在p262。是客观求各因素权重的有力途径。
) V, P+ x  S$ l6 I. Q6 }2 n. ?: [8.5 存在公正的选举规则吗
    这一节类似第2章的“公平席位”。主要讨论的是“群体决策”这一类问题。
    首先是简单的选举规则。
    接着介绍Arrow K的工作：提出一组公理，却证明不存在满足这组公理的选举规则，但很具有启发性。
0 y# _/ ^7 m% p$ W* [3 ~    然后是联合尺度选举规则，它是一个简单易行的规则（但是对投票情况限制了，才可能满足Arrow公理）。
2 v/ o) @" t# Q; @- k8 o8 @0 o! [    最后是一种与Arrow公理无关的规则——最小距离，这是一种类比思想，很巧妙地把公平转化为距离之和最小的最优化问题。
; W% b+ [2 l' I0 B6 y, [

* G% }" ?- w- ?! t

第9章 概率模型
. x, r, A# Y# P4 s关键词：随机模型 基础概率 生灭过程 数值解分析

7 s# U/ f& X& n6 X: J' @$ J    相对“确定性”模型来说，当随机因素的影响不可忽略时，就要建立随机模型。概率模型就是比较简单的随机模型，这一章用我们熟悉的概率分布、期望、方差等知识介绍概率模型怎样处理随机因素的。
  T# N: D# Q3 {! y" R    关键点有：
% l8 B1 C4 @' O4 Y8 S+ _1. 如何定义随机因素相关的量。针对一个实际问题，做好定义是开始工作的根本。
. @, u5 b8 f! d( T& {! u% b2. 随机概率模型一般从离散角度（一个个时段）下手，但求解中为了需要可能会转化为连续（如p274的求和转化为积分）。
3. 要灵活根据实际问题，决定哪些参数应设为定值，哪些参数会变（如9.4轧钢问题，重量服从正态分布中，均方差应认为是已知的定值，而均值是可以调整的）。
4. 一般的“生灭过程”参考9.5的随机人口模型——相比之前的人口模型，这个更加一般，考虑的因素更多，更接近实际。
5. 有些模型无法解析求解，然而数值计算的结果已满足我们对问题进行分析的需要（9.6预订票策略）。

第10章 统计回归模型
关键词：数据拟合 MATLAB统计 残差分析 自相关 逐步回归

  N# ^1 x9 l1 h0 l0 ~4 `$ W    对于有些内部规律复杂、无法分析内在机理的问题，我们建模、拟合的通常做法就是搜集大量的数据，用统计方法建立模型——统计回归模型。
0 I8 V: g, {, q% v    关键点有：
1. 做散点图，大致判断函数趋势（比如有明显的线性增长），确定方程形式，待定系数。
2. 用MATLAB统计工具箱regress拟合，得出结果；重点：如何由MATLAB输出结果下结论（如置信区间不要包含零点，R^2、F）。
. h# V9 t8 R* J3 v  g$ @2 o' l5 D$ @3. （考虑实际问题制约）适当引入变量简化问题，如10.1中引入价格差（p297最后一段说明）。
; u! [$ J/ ?- N+ q' m9 T4. 利用好回归变量的预测（置信）区间。
5. 改进回归模型：逐渐考虑回归变量之间的交互作用——在方程中引入二次项、交叉项。若MATLAB拟合输出信息表明有改进，则说明模型更符合实际。还可加上作图对比前后模型（p300）。
6. 残差分析（p305，但这页我未看懂具体做法，待交流），及分析得出的结论，我们应该怎样改进模型。
7. p307评注内容：0-1变量法、残差分析法、异常值应剔除。
8. 线性化（p309），及非线性MATLAB求解（p310）；p315最后两段。
9. 自相关的考虑（10.4节）：若存在自相关性（具有滞后性，即前期对后期有影响的时间序列），普通回归模型将失去意义。我们必须先检测是否存在自相关（D-W检验、广义差分法），同时注意若高阶自相关，则必须改进直至不存在自相关为止。
6 k: E) O% l# {3 B10. 逐步回归：因素较多时，排除次要因素，用来选择影响因素显著的变量。

第11章 马氏链模型
2 y; }; k3 \: ^6 C) `关键词：离散随机过程 无后效性 转移概率 状态选取

基本概念
    这一章介绍了处理离散随机过程的重要工具——马氏链模型，及若干个应用。总体从浅到深，阐述了马氏链的主要思想。
1. 无后效性/Markov性： 系统在每个时期所处的状态时随机的，这个时期到下个时期状态按照一定概率进行转移，且下个时期状态只取决于 1）这个时期状态 2）转移概率，与以前各时期状态无关。
2. 马氏链（Markov Chain）模型通常描述： 已知现在，将来与历史无关，具有无后效性的，时间状态均离散的随即转移过程。
3. 一些确定性系统的状态转移问题也能用马氏链处理。

一、健康与疾病
    主要介绍马氏链基本概念、要素： 系统的状态，状态概率，转移概率，马氏链基本方程，状态概率向量，转移概率矩阵。本章讨论时齐的（转移概率与时段n无关）马氏链。
    同时介绍2种主要类型——
    1）正则链：从任意状态出发，经过有限次转移都能达到另外的任意状态（如何判断是正则链、相应定理）；
9 U$ O2 ~9 T6 Q# e    2）吸收链：首先引入吸收状态，顾名思义吧，就是某个状态的转移概率=1，即进了这个状态就出不来了，被“吸收”掉。  吸收链是（至少）存在一个吸收状态，使马氏链从每个费吸收状态出发，能有限次到某个吸收状态。
二、钢琴销售的存贮策略
6 M$ Y5 d1 O, E4 F$ y' ^    动态随机存贮。一个简化的存贮模型，关键是从中理解状态变量、需求量、转移矩阵的设置和求解。 判断转移矩阵P为正则链后，用公式求出稳态概率分布w，就是达到稳态后的情况，然后用全概率公式算出失去销售机会的可能性。 这个模型虽然简单，但却是动态存储马氏链的浅显易懂的好例子，其中结合实际问题具体分析是最值得学习的。
三、基因遗传
8 ?3 b6 w4 j  q7 M    用马氏链模型研究遗传过程，关键是建模的过程——即选取系统的状态，这在“随机交配”和“近亲繁殖”中需用不同的设法。  随机交配过程推导的结果是 (p^2, 2pq, q^2) 分布将保持下去，即遗传学中的Hardy-Weinberg平稳定律；然而，近亲繁殖中，得到的转移矩阵发现是一个“吸收链”——即如果近亲结婚的话，若干代繁殖终将变成全是优种/全是劣种，并保持下去。这两个结论（虽然在理想化假设下）与我们之前的认识是很一致的，从中加深了马氏链的理解。
* t1 V9 @6 A. N4 ]# d; K1 x四、等级结构
    这个模型是用马氏链研究一个群体中各个个体等级分布变化情况，目标是研究等级分布变化规律，假设总人数不变。然后用某种途径让群体等级分布达到想要的稳定状态。
    重点在于变量的设置，以及还是状态设置、模型建立过程。  建模过后，先用“调入比例”这一现实中可控的量进行稳定控制，其中有“稳定域”的构造、分析。 然后是具体如何用调入比例，进行动态调节，实则转化为了一步步优化问题，动态调节的过程是一步接一步的，有重复循环的操作规律。这里也很好地体现了马氏链的“离散”特性，以及给编程创造了机会。
五、资金流通
    基本与等级结构一样，一系列推导最后总结出步骤，先判断稳定能否达到，若能达到，则由公式算出每年应如何投放资金。  与等级模型不同在于：各地区资金进出可正可负；所有地区资金总和可以变化。

) y6 t4 W) h  G5 m6 [* r第11章小结：
    虽然只有短短5节，但是几个模型由浅入深，循序渐进，学习中有逐渐清晰的感觉。过程的推导复杂度适中，具体问题具体分析的思想很经典。这章算是马氏链模型的基础，虽是基础但案例、思想也足够典型，是今后解决离散随机过程很有力的工具。

' X6 w9 `  C* O/ R# H

第12章 动态优化模型
, Q. G) _: H. p关键词：泛函极值 变分法 动态规划 最短路

; q. L. t: b9 ]1 e# H: G: f基本概念
& E6 `' O& x3 k    本章介绍动态优化，优化目标，虽然优化目标仍然是数值，但最优策略是一个函数。连续过程归结于求泛函的极值问题（几个模型中一直体现），方法有古典变分法、最优控制论。几个例子都是能用古典变分法解决的，而离散过程则用动态规划求解。

% A( d' O! c" c) x# Q- @! i    第一节先用“速降线”和“短程线”两个17世纪末的物理模型引出变分法基本概念，和后面要用的结果；同时介绍泛函、泛函极值概念。
    这一章的数学知识、推导比较繁杂（尤其是对于没接触过泛函等概念的学生），2、3、4、5节（生产计划制订、国民收入增长、渔船出海、赛跑速度）均是连续动态优化的典型问题，许多都是归结于泛函极值的问题。尤其是“渔船出海”，实属一个经济学的典例，这个经济策略分析中再次很好地体现了数学技巧、实际问题结合的巧妙。
    第6节多阶段最优生产计划属于离散动态优化，用动态规划求解，转化为最短路问题，当中对最短路问题的算法做出了详细解释。 分别对确定需求、随机需求的生产计划制订方法给出了推导思路。
$ @2 ~1 F# d7 |2 _' |9 i3 D
4 b% t7 Q, W' w; G5 I0 p0 z

      一点自己的感想。笔记总结得不大好，但我的物理老师说过：做比不做强！因此我只好硬着头皮小结了~  望指教！
% Y2 v4 e  {# |' ~0 J   
       自己的其他感想、学习心得，欢迎交流：
$ j8 @+ ], {1 C+ }) j0 xMCM论文精析课程小结——2012.5.20
点上希望的蜡烛——每年一度的聚会，记2012全国大学生数模竞赛
* G, k8 D4 x5 j8 g9 u+ s2013MCM, 平淡不平凡

附：感谢你认真阅读（或扫视）完这篇学习笔记性质的稿子，感谢你的兴趣，同时期待你能在建模学习中获得启发、更上一个台阶。对于短期/初期体验竞赛的同学，了解一些简单概念和思维，就像这本书中略读一些章节，再编一些经典的算法程序，是很好的敲门砖；对于长期学习建模的同学，固然要找机会夯实基础("内功")，也建议在学习过程中多思考，不仅是为了抓住知识的主干，更是为了发掘自己的兴趣，获得对自己今后读研、工作的启发。
    本人现为一大四学生，在竞赛一线活跃度肯定不如各位，但之前的9次建模课题、4次竞赛的确给我帮助很大：开阔视野、团队合作、实际技术、责任意识。 知识学了就会有用的，不管是由于一阵没用而生疏，还是一直在加深印象。我一直相信这一点，并希望各位共勉，珍惜本科的时光，给自己多一些充实(英文中用"enrich"较合适)——因为不像金钱钞票或实物，这些知识能力、包括好的身体素质，是别人带不走的。
                                                                      ——2013年12月20日


7 `+ X: ]7 o+ x（关于论坛体力：如果是刚加论坛准备长期学习，而下载体力不够的同学，可以给我发信息/回复帖子/加好友，写明大概需要多少点(如50)及下载资料类型，我可以直接转给你。  或者我记得可以用支付宝转账，好像1元对应30点；或者平时签到/分享帖子/写日志 都可以加不少(但不建议连续水回复一个帖子多次)。）
  r- G# y0 o% p5 U$ ^5 H# B0 I

poster_04.jpg (2.49 MB, 下载次数: 1649)

2014-1-8 12:38 上传

点击文件名下载附件

《数学模型（第三版）习题解答》.pdf

2012-7-19 10:57 上传

点击文件名下载附件

下载积分: 体力 -2 点

2.97 MB, 下载次数: 747, 下载积分: 体力 -2 点

《数学模型（第三版）》.pdf

2012-7-23 23:00 上传

点击文件名下载附件

下载积分: 体力 -2 点

18.98 MB, 下载次数: 1910, 下载积分: 体力 -2 点

好书，可以考虑买本来学~

优化Lingo笔记.pdf

2012-7-23 23:13 上传

点击文件名下载附件

下载积分: 体力 -2 点

1.1 MB, 下载次数: 383, 下载积分: 体力 -2 点

这个仅是一点书的截图

《LINGO和Excel在数学建模中的应用》.pdf

2012-7-23 23:10 上传

点击文件名下载附件

下载积分: 体力 -2 点

17.05 MB, 下载次数: 1420, 下载积分: 体力 -2 点

推荐！前两章！

---

作者: sdccumcm    时间: 2012-7-23 23:17
欢迎讨论啊

---

作者: sdccumcm    时间: 2012-7-24 09:18

sdccumcm 发表于 2012-7-23 23:17
欢迎讨论啊

欢迎提意见~

---

作者: sdccumcm    时间: 2012-7-25 10:40
多多回复啊~~~~~~~

---

作者: 雾柳    时间: 2012-7-25 10:56
是要多多回复

---

作者: sdccumcm    时间: 2012-7-25 12:44

雾柳 发表于 2012-7-25 10:56
是要多多回复

呵呵~~~~

---

作者: 雾柳    时间: 2012-7-25 15:31

sdccumcm 发表于 2012-7-25 12:44
2 N* O3 v# \' U4 P# a呵呵~~~~

不太好笑耶

---

作者: sdccumcm    时间: 2012-7-25 16:04

雾柳 发表于 2012-7-25 15:31
不太好笑耶

3 }& d+ w! |0 F5 j/ D4 @5 {   额……
欢迎提出宝贵意见啊，有问题直接指出哈~~~

---

作者: sdccumcm    时间: 2012-7-26 23:25
今天决定比计划提前做完总结，本来晚上已经写好，但数学中国一直上不上，换几种网也是很卡，直到较晚才上。
; m  A* Q% \$ R, a' P5 o粘贴上发表后，却发现板式很多地方不好，由于是用代码编辑的字体，所有标题都要重新设置一次。这里也想请教下各位有没有简便的方法啊（在数学中国写帖子的时候，设置字体格式，不用那个代码）。刚才反复看效果、改了10多次……

---

作者: sdccumcm    时间: 2012-7-26 23:26

sdccumcm 发表于 2012-7-26 23:25
* L2 {" x) x; v  C5 A. L( F7 j: q7 g今天决定比计划提前做完总结，本来晚上已经写好，但数学中国一直上不上，换几种网也是很卡，直到较晚才上。 ...

" J# J1 H% H9 i- M大家多多包涵！

---

作者: 牵挂only    时间: 2012-7-28 21:04
谢谢分享，正想要看这本书

---

作者: sdccumcm    时间: 2012-7-28 23:21

牵挂only 发表于 2012-7-28 21:04
谢谢分享，正想要看这本书

% l6 V: \1 g  ?6 j/ v' E1 ^有感想随时留言啊~~~

---

作者: sdccumcm    时间: 2012-7-31 23:46
多多回复呀~

---

作者: sdccumcm    时间: 2012-8-1 20:35
欢迎交流！！！！

---

作者: shaox    时间: 2012-8-2 19:04
太多了，看看~~

---

作者: WXY20100513184    时间: 2012-8-3 16:10
非常感谢！

---

作者: sdccumcm    时间: 2012-8-3 19:01

WXY20100513184 发表于 2012-8-3 16:10
7 g( g1 n, Z0 {+ M' N; K1 `非常感谢！

6 `/ Y) h( E! P! N; a. s  

---

作者: sdccumcm    时间: 2012-8-3 20:48
**啊  一个帖子被扔到垃圾站了，不错的啊

---

作者: sdccumcm    时间: 2012-8-3 20:50

sdccumcm 发表于 2012-8-3 20:48
0 I0 U$ O+ ~+ A/ ]' [**啊  一个帖子被扔到垃圾站了，不错的啊

3 F% `- {/ x8 n2 L/ ^/ F% G- j$ t, ^随遇而安

---

作者: sdccumcm    时间: 2012-8-5 12:40
建模在哪里？……

---

作者: sdccumcm    时间: 2012-8-5 12:41

sdccumcm 发表于 2012-8-5 12:40
建模在哪里？……

7 t# v0 a( e: |$ p突破400啦………………

---

作者: A_I    时间: 2012-8-5 23:32
看样子楼主很用心得看了啊

---

作者: sdccumcm    时间: 2012-8-6 00:06

A_I 发表于 2012-8-5 23:32
看样子楼主很用心得看了啊

$ L* [- ~! z% l# H8 I0 A

---

作者: sdccumcm    时间: 2012-8-9 18:31
（呵呵）~~~~

---

作者: 白曼青    时间: 2012-8-10 17:09
lingo解优化问题比matlab方便吗？

---

作者: sdccumcm    时间: 2012-8-10 21:06

白曼青 发表于 2012-8-10 17:09
! M8 M* A. g/ p( f, i! Nlingo解优化问题比matlab方便吗？

某种程度上，是的

---

作者: sdccumcm    时间: 2012-8-11 13:33
继续继续，欢迎回复！！！！！！！！！！！

---

作者: 597406728    时间: 2012-8-13 00:28
貌似很高端的样子

---

作者: sdccumcm    时间: 2012-8-13 19:53
回复个~~~~

---

作者: sdccumcm    时间: 2012-8-13 20:23
学习………………

---

作者: sdccumcm    时间: 2012-8-13 20:31
再次…………

---

作者: sdccumcm    时间: 2012-8-15 08:33
be up`~~~~~

---

作者: 生于青春    时间: 2012-8-15 23:18
好东西啊

---

作者: sdccumcm    时间: 2012-8-16 00:09

生于青春 发表于 2012-8-15 23:18
好东西啊

% y4 g" M! O8 n3 [$ i9 Q7 x谢谢！尽管写得很粗糙
希望对你有帮助

---

作者: gaoxian    时间: 2012-8-16 10:51
还有习题解答！不错，先回复后下载！！！谢谢LZ

---

作者: sdccumcm    时间: 2012-8-16 12:58

gaoxian 发表于 2012-8-16 10:51
还有习题解答！不错，先回复后下载！！！谢谢LZ

不客气，希望对你有帮助！   欢迎提意见

---

作者: sdccumcm    时间: 2012-8-20 13:05
顶起来，加油！！

---

作者: sdccumcm    时间: 2012-8-20 22:14
时隔一月 选拔结束

---

作者: sdccumcm    时间: 2012-8-21 09:12
顶起来！！！

---

作者: sdccumcm    时间: 2012-8-21 21:43
预测、效益评估……

---

作者: woaixueshumo    时间: 2012-8-27 21:37
看到都是你自己的回复 赶紧来支持啦~~~
恩 你写得特别认真啊 看得出来 你在读这本书的时候一定特别用功

---

作者: woaixueshumo    时间: 2012-8-27 21:43
你的书我也看看吧 给我推荐一下啊

---

作者: sdccumcm    时间: 2012-8-27 23:06

woaixueshumo 发表于 2012-8-27 21:43
% w$ S6 D' J4 W4 T, B' B- A/ S+ n你的书我也看看吧 给我推荐一下啊

/ H# x( K  i$ H好的~~~~~~

---

作者: jmdx2006    时间: 2012-8-29 12:24
谢谢分享，下载学习

---

作者: yuzhong_manbu    时间: 2012-8-29 17:39
好东东，参考学习。

---

作者: 小Q呜呜    时间: 2012-8-30 13:27
总结的不错，看啊看

---

作者: sdccumcm    时间: 2012-8-30 13:36

小Q呜呜 发表于 2012-8-30 13:27
总结的不错，看啊看

3 f1 F% ?- y; p4 L, Y$ [多谢支持！

---

作者: 在我辛中    时间: 2012-8-31 10:27
总结的很不错！很厉害呀！

---

作者: sdccumcm    时间: 2012-8-31 12:11

在我辛中 发表于 2012-8-31 10:27
0 @) n, N& o7 g总结的很不错！很厉害呀！

, k3 ~+ @  M& K/ a/ o; j多谢鼓励！  大家一起努力！

---

作者: sdccumcm    时间: 2012-9-4 09:48
希望快上1000浏览量啊~~~
管理员，请问可以加精华吗？

---

作者: sdccumcm    时间: 2012-9-11 16:13
加油…………

---

作者: 我身无形    时间: 2012-10-25 15:50
写的很好。。。。。楼主好强大

---

作者: 从今天开始    时间: 2012-10-25 16:24
好东西，多谢楼主了！

---

作者: Sabayon～    时间: 2012-10-25 16:39
学习了~~~~

---

作者: 恋雾迷尘    时间: 2012-10-25 16:44
要好好学习啊，谢啦

---

作者: 飘逸    时间: 2012-10-25 19:27
下来看看先，谢谢了

---

作者: sdccumcm    时间: 2012-10-25 22:06

飘逸 发表于 2012-10-25 19:27
* w& n1 \- q8 F. P1 S6 f下来看看先，谢谢了

" d+ C# D+ X' `# |! K$ e呵呵，多指教~~~

---

作者: sdccumcm    时间: 2012-10-30 13:47
加油，顶一个！      

---

作者: 别叫我蛋蛋    时间: 2012-11-9 22:59
。。。帮顶

---

作者: sdccumcm    时间: 2012-11-18 20:32
顶一下！               

---

作者: sdccumcm    时间: 2012-11-26 10:59
继续学习~            

---

作者: sfy123    时间: 2012-11-28 15:14
好厉害啊。好认真啊！！！！！

---

作者: 尘缘此间    时间: 2012-12-2 12:47
感谢！这种笔记性质的教**的很不错，希望多多推广，这样帮助到的人会更多！

---

作者: sdccumcm    时间: 2012-12-2 17:54

尘缘此间 发表于 2012-12-2 12:47
' L" T/ b; L3 i' l7 k0 n感谢！这种笔记性质的教**的很不错，希望多多推广，这样帮助到的人会更多！

( q/ i1 m/ C4 I0 x; q多谢支持，过奖了！我会继续努力

---

作者: muyitianmo    时间: 2012-12-5 12:29
下来卡看，我也是天大的额。。。

---

作者: muyitianmo    时间: 2012-12-5 12:30
刷回复，转体力

---

作者: muyitianmo    时间: 2012-12-5 12:30
学长莫怪，刷体力。。。

---

作者: sdccumcm    时间: 2012-12-5 18:30

muyitianmo 发表于 2012-12-5 12:30
, T" d" ?2 w! Q% U& u学长莫怪，刷体力。。。

   额！

---

作者: cdcxfwxt    时间: 2012-12-6 10:38
好帖子 赶紧收藏！

---

作者: sdccumcm    时间: 2012-12-6 18:58

cdcxfwxt 发表于 2012-12-6 10:38
/ {" ?, n( Z! w/ y6 X$ y- S好帖子 赶紧收藏！

: n/ P7 B! V* F1 [   多谢支持！ 欢迎提出意见，或作出补充！

---

作者: cdcxfwxt    时间: 2012-12-10 17:34
应该叫你师兄哈，我今年大一妹子。。。。
10月刚进入学校数学建模协会，12月23号就要出题通过交论文正式选拔成员了，
我从未接触过数模，尽管在论坛下了很多关于论文的资料，但还是许多不懂，
请师兄指点一下下该怎么办，你好强

---

作者: sdccumcm    时间: 2012-12-10 18:52

cdcxfwxt 发表于 2012-12-10 17:34
应该叫你师兄哈，我今年大一妹子。。。。
10月刚进入学校数学建模协会，12月23号就要出题通过交论文正式选 ...

多谢支持啊！ 希望多提些建议！
& W) K2 S8 }' M我也是一直学习中~ 今天刚做完校内赛……
9 \+ P  r, |. i# v: n我觉得时间充裕的时候 比如假期，可以集中学一本建模的书籍，《数学模型》挺好的，还有几本国外的数学建模书中或英文版也可以~
主要用得比较多的是ＭＡＴＬＡＢ，还推荐学习一下ＬＩＮＧＯ的初级编程，整数优化不错的！
0 K  n! h( g: y* I1 R2 {9 }经过一次3天的比赛，就能明白很多了！　目的还是学习，和提高能力！

---

作者: cdcxfwxt    时间: 2012-12-11 00:18

sdccumcm 发表于 2012-12-10 18:52
  H4 T7 e, n6 }% H; ~2 k; d多谢支持啊！ 希望多提些建议！
我也是一直学习中~ 今天刚做完校内赛……
* H8 e; h# O( d- f. e# n我觉得时间充裕的时候 比如假 ...

5 V" l7 u  ]7 f0 f' C我22号考试四级，23号出考试题，27号交论文，时间好赶，着急。。。。

---

作者: hgduyao    时间: 2012-12-16 23:30
学习了 多谢分享！！！

---

作者: 乐在其中    时间: 2012-12-30 22:29
感谢楼主的分享

---

作者: 唯我独只能    时间: 2012-12-31 11:04
先下下来看一下，应该用得着！谢过楼主了啊！

---

作者: 唯我独只能    时间: 2012-12-31 11:08
下载失败啊！说是失败资源，纳尼？

---

作者: 唯我独只能    时间: 2012-12-31 11:08
肉痛啊！我的体力!

---

作者: zswseu    时间: 2012-12-31 18:17
做比不做强！

---

作者: sdccumcm    时间: 2012-12-31 19:16

唯我独只能 发表于 2012-12-31 11:08
( v6 Z0 Q5 K: c! |下载失败啊！说是失败资源，纳尼？

" y" f( L+ Z. {0 U; r7 b是吗？我检查下
4 Y( d8 r# s) Z+ v: |0 R" H0 a2 N

---

作者: 懒喵    时间: 2013-1-1 19:29
谢谢楼主分享~！！！！

---

作者: asd330    时间: 2013-1-3 08:24
非常好的经验，弄得我很想去看那本书了，美赛快要开始了，还是什么经验都没有啊

---

作者: 逆流133    时间: 2013-1-17 10:37
haodongxia

---

作者: 逆流133    时间: 2013-1-17 10:37
这个写的很有用啊

---

作者: liubingg    时间: 2013-1-17 16:32

---

作者: cinla110    时间: 2013-1-19 14:46
正在看，谢谢楼主的经验分享~

---

作者: princessxj    时间: 2013-1-22 18:49

---

作者: princessxj    时间: 2013-1-22 18:51
顶

---

作者: princessxj    时间: 2013-1-22 18:51

---

作者: princessxj    时间: 2013-1-22 19:18

---

作者: princessxj    时间: 2013-1-22 19:20

---

作者: princessxj    时间: 2013-1-22 19:20

---

作者: princessxj    时间: 2013-1-22 19:21

---

作者: 向日葵的追寻    时间: 2013-1-22 19:48
宝贵整理，顶起来哦

---

作者: 旦猫猫    时间: 2013-1-23 16:19
谢谢楼主的笔记~~~

---

作者: sdccumcm    时间: 2013-1-23 16:31

旦猫猫 发表于 2013-1-23 16:19
5 r5 u& I1 K+ ]% z4 q/ Y, T5 u; O谢谢楼主的笔记~~~

不客气，多谢支持            

---

作者: cainiaoxianfei    时间: 2013-1-26 14:43
赞！！顶起！！！！！

---

作者: zcb520    时间: 2013-1-28 14:55
HAO!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

---

作者: ncepufyk    时间: 2013-1-28 16:06
挺不错的额。。。。。。。。

---

作者: dingaidi    时间: 2013-1-30 08:21
:victory赞一个   

---

欢迎光临 数学建模社区-数学中国 (http://www.madio.net/)

Powered by Discuz! X2.5