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标题: (原创笔记)《数学模型》学习笔记(姜启源老师第三版)可作预习、辅助、大纲 - 公开欢 [打印本页]

作者: sdccumcm    时间: 2012-7-19 11:00
标题: (原创笔记)《数学模型》学习笔记(姜启源老师第三版)可作预习、辅助、大纲 - 公开欢
本帖最后由 sdccumcm 于 2014-1-8 12:39 编辑 $ Q. T3 \- Q, w, D

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《数学模型(第三版)》学习笔记

& }* y$ E# w2 w7 k  g  a/ r写在开始
$ m7 r+ h4 q5 i% X2 X: s5 L& B- a      今天第一次归纳、复习,整理思路重点,从最后两章(除了“其他模型”)开始,想可能印象比较深刻。可实际开始总结才发现对于知识的理解和掌握还有很大差距,自己也是自学看书,非常希望各位提出宝贵意见,内容、学习方法经验上的都是.+ a$ E  @- E7 p* D; f
      整本书读下来感觉思路、数学都有很大拓展,总结起来有一下几个特点:
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; T1 ?" Q) B3 P, b* h5 H3 Q(一)  “实际—>模型”的建模过程很关键,本书的模型很多虽然所谓“简单”、“假设多”,但简化分析中,还真难找到比它更合适、更合理、更巧妙的建模、假设了;8 q+ F. j4 z* N/ v/ S$ P/ E4 M
(二)  模型求解之后的处理,许多地方似乎求解完毕可以结束,但却都未戛然而止,而是进一步“结果分析”、“解释”,目的不一,要看进程而定,有的促进了模型的改进,有的对数学结果做出了现实对应的解释(这一点建模过程中也经常做,就是做几步解释一下实际意义),也还有纯数学分析的,这些都是很重要的,在我看来,这本书中的许多模型、论文似乎到了“结果分析”这一步才刚刚开始,前面的求解似乎是家常便饭了;% f% Z# a2 o6 {" W0 N
(三)  用各种各样的数学工具、技巧、思想来建模的过程,这本书读下来愈发觉得线性代数、高等数学基础的重要性,同时书中也设计到了一些(虽是浅浅涉及)新的数学知识和技巧,许多我在读的过程中只是试图了解这个思想,而推导过程未能花很多时间琢磨,但即便如此,还是让我的数学知识有了很大的拓展(作为工科专业学生)。
5 U. c- [1 F. }! B6 ]! r) F% E2 G
8 |. A, m" {- m3 D5 @+ V      从上周六继续自学《数学模型》开始一周,比预期的时间长了许多,但是过程中我觉得即便如此也很难领会完整这本书的内容。最近学习任务比较多,所以两天前快看完时到现在一直未能做个小结,从今天起每天做2章的小结,既是复习总结重点,也是请诸位同学指教、提意见交流——毕竟自己领会很有限。
/ |; o$ P9 z9 M5 a* u     也可以作为未读过、准备读这本书的同学的参考~ 5 k, y+ E3 `/ W& _" h; J
                                                                                                                 ——Tony Sun   July 2012, TJU
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(目前已更新:全12章)

4 h# O$ b, f( U7 y- Z4 y9 t9 c! k" v
第1章 建立数学模型
% x' S9 \2 d: g; [: I7 d6 S1 M4 f8 @关键词:数学模型 意义 特点
    5 B; I0 I% A- C' K% F3 X
   第1章是引入的一章,对数学模型的意义来源,做了很好的解释。其实数学模型也是模型的一种,是我们用来研究问题、做实验的工具之一,只不过它比较“理论”、“摸不着”而已。但通常,数学模型有严谨的特点,而且我们可以根据建模实际需要改变模型,成本也比较低;同时数学模型手段之一计算机模拟也有很好的效果。, Z6 j  ]" r6 n2 D4 |4 x
   椅子在不平的地面上放稳、商人安全过河、预报人口增长这3个熟悉的例子,用简单的数学进行描述、建模分析,给数学模型一个最好的诠释:用数学语言描述事物、现象——往往增添了说服力。
6 e' Y# }9 E# u% d3 C. m- p5 k3 W! v* i

- Y& C& y) p$ G8 U7 O# O, j9 b
第2章 初等模型" N3 ]% N9 G# Q4 M: Q" b
关键词:初等数学 简化技巧 思想
. h, c1 D; ~$ |! d  g: G
    这一章顾名思义,是一些用“初等”数学知识建立、求解的模型,虽然数学知识比较易懂,但是其中的巧妙思想确实十分重要的。& h6 F: I8 G" ?2 L! U) E8 [4 W0 D. v6 ?
    如何把问题做恰当的简化,到简单的数学工具能够表示、求解的程度,本章做出了很好的例子,同时分析也很精彩。
- Q% u- G' ?4 W    2.1节公平席位分配,通过定义不公平程度等衡量标准,确立目标,提出Q值法。有意思的是,在考虑是否存在一个理论上公平的分配方法时,根据所提出的4个(毋庸置疑的)公理,得出的结论却是:不存在满足上述公理的分配方法。这种类似情况在本书中后面的例子也出现过。  这给我们什么启示呢?有些问题和工作,比如公平席位的分配,日常中是一定要做的,就算不能达到绝对公平也要分配,但一旦证明不存在理论上公平的分配方法时,我们还有分配的意义吗?答案不一;在这个例子中,固然是有意义的,我们自然转而寻求一个相对公平的分配方法,抑或,就是回溯查看提出的“公理”是不是那么的“公理”,看能否通过删改公理来取得更公平方案。
: `- W& s% G2 N    录像机计数器、双层玻璃功效、刹车距离等模型,均是用日常现象、基础的物理知识和巧妙简化进行的建模分析,这里每个例子中的分析,求解后的解释很重要——它们是整个模型的关键,阐述现象。
! ^  k1 y. O3 o. p+ M    2.7 实物交换——是后面经济学模型的雏形,无差别曲线的图形方法,确定这种曲线实际中要收集大量的数据;核军备竞赛一节,也是一个动态的变化过程,基本全是用曲线进行分析的——这里给我们一个思想,得出表达式后,许多时候我们只关注曲线的形状、趋势,因此作图分析是很好的方法,图中可以给我们很多信息(交点,截距,极限值……),而这些信息都一一对应着它们的实际意义;有些即使没有明显的含义,但也很可能为接下来的铺垫、预测作下铺垫。
" t) k( m& Y( ?% m7 _& q     2.10 量纲分析与无量纲化——是另一种重要的求解方法,大致来说思想就是:仅知道变量之间的制约关系(正/负相关),系数、阶数均未知,即只能得出表达式的“形式”,要我们通过“量纲齐次性”(等式两端必须保持量纲的一致)来确定具体的表达式。这是与按理论推导建模并列的另一种方法,这一节用单摆、抛射等物理问题很好地诠释了这种方法的强大。  关键:恰当地选择特征尺度,不仅可以减少独立参数的个数,还帮助我们决定舍弃哪些次要因素。物理知识和经验是关键。. L' y: p9 v+ f& n5 a6 C3 f  w5 q

1 H) C9 a* L7 y4 }( N! t! {第2章小结:
% r+ \1 }5 K6 w7 P9 `& O    本章可以总结为“初等数学知识+巧妙简化技巧+思想”,10节涉及了不同类型的问题、数学方法,很多都是本书后面章节模型的雏形、基础。
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% R. Y- b2 o/ x% k/ q; g
第3章 简单的优化模型+ t) S, D9 \0 y9 F0 u  x& o' @6 z
关键词:简单优化 微分法 建模思想

$ c& ~1 g0 v' K$ ]$ L5 c6 I# O    本章与第4章连续两章都是优化、规划的问题,可以看成一类问题——内容上也是由简单到复杂。在第3章中,主要是几个简单的优化模型,可以归结到函数极值问题来求解,直接用微分法。虽然模型、数学计算难不倒,但是还是那句——建模,求解之后结果分析、结果解释的思想,是我们要学习和引入脑中的。9 n/ n5 Q# G- G$ L" h3 D! m+ i
6 K! A( ~( [0 g" C  C. I
3.1 存贮模型% T+ g5 a( x# t* Q; S) s1 \
    分不允许、允许缺货两种讨论,中间推出一个最小费用的结果——经济订货批量公式EOQ。 对存贮量函数q(t)作图,观察规律,对结果解释。
( P( M' s6 R- c6 i9 L3.2 生猪出售时机
# `  L8 Z/ Y5 _1 P    关键点在于敏感性分析和强健性分析——这对于优化模型是否实用、有效是很重要的。: t1 a: X0 f. M! S" b' \
3.3 森林救火' ^# F% w0 C/ u, @
    亮点是对火势蔓延程度dB/dt的形式作出的数条假设,以及假设对应的实际解释。只要合理、自圆其说,就是一个好的对实际问题的简化。  r! X8 Q7 K" S) I
3.4 最优价格" q9 [7 B: R1 b1 A9 m6 }2 {" D
    主要是引出边际收入、编辑支出,以及经济学一条著名定律——最大利润在边际收入等于编辑支持时达到。
' j, A+ i/ J2 h. x. G3.5 血管分支
" L, e5 l9 `& l7 Z; d    是很有趣的一节,用数学模型研究生理问题,我们还是只关注建模、数学的层面,而对于血管系统几何形状等生理学知识不讨论过多,用合理有力的假设代之。
( }& Q. n/ j) {6 }% ^6 n% m1 Z  y3.6 消费者的选择( h; p9 [8 X6 `7 @5 }& N, p# @
    一个消费者买两种产品时,钱应该如何分配。分配比例使他得到最大的满意度的最优比例乘务消费者均衡,而建立消费者均衡模型的关键在于确定效用函数U(q1,q1)。
9 Q! X9 A; q0 k) R1 l! `. }: K3.7 冰山运输
9 g, T" E: M+ N! x* \+ L7 [    也是很有趣的问题,考虑各种因素,基于一些假设,这节研究怎样运输冰山使费用最小。其中用实际数据建立了经验公式,二是假设冰山为球形,简化了融化规律等的计算。
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1 z# e0 C# u2 \5 w9 |, Y. p# ^: J# V3 T2 q$ k5 L1 W- q7 J
第4章 数学规划模型. B8 F2 _* O; M0 z
关键词:数学规划方法 lingo/lindo软件 结果深入分析 变量个数
& H+ i' a0 ~! z1 O
    约束条件、可行域、目标函数,构成了常说的“数学规划”模型。本章揭示了数学规划的本质,和它与传统优化数学问题的区别:常理优化模型属于函数极值问题的范畴,但实际中更多的是决策变量数、约束个数较大,且最优解往往在边界上取得的问题,因此不能用传统的“微分法”求解——因此要引入“数学规划”方法。8 S3 Y8 _* `0 |. n

/ M! v7 U; ?7 Q8 j6 y    这一章内容不少,但都是一类问题,主要点有几个:
4 w- W- U. f3 ]4 S1 `6 H3 b5 c1. lingo、lindo求解的使用——运行结果中还有一些平时未留意的信息,可以作为结果分析来用,前两节叙述较多;
* s: M5 ~- n4 c& K" W& g2. 一些细节之处:把一句话用数学公式表达,它往往作为约束条件,如p102的式(19);& t& {$ m0 Z. G% E; [' H+ Z2 \& T
3. 多目标规划的处理,p109的“选课策略”——基本思想是通过加权组合形成一个新的目标,从而化为单目标规划;. z% L) z: |+ h) f) o$ p5 j
4. 同前面章节一样地,对一个问题解出结果后,问题虽然解决了,但分析并没有结束——我们要学习这种further discussion的精神,发现这个结果“恰与…相同…”之类的,不妨多问自己一句:“这是偶然的吗?”然后继续分析,得出一般的结论,这样往往能看到更多的风景,得出的结论更有含金量/启发性,而不是仅仅是解决了该个问题而已。如p109选课策略。5 o1 j, m' d9 c* ^7 y
5. 减少变量个数,简化模型、式子(简化起见,同时lingo对变量个数有限制),p115销售的例子。
+ u( e  P: I: Q; _) q; [/ Y3 s$ q6. 求最优解时,为了减少搜索范围,加快速度,可以先去一个特殊情况求出一个可行解,然后让最优解至少优于它。
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* @# F- p0 T! }6 W" Z
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第5章 微分方程模型
9 {, U! x$ W# P- b  B( g关键词:动态模型 合理假设 分析预测 控制

( @' \( N1 |/ G# D    这一章是非常经典的一章,对微分方程模型作了很好的诠释、介绍,每一个模型都有丰富的价值。对于随时间连续变化的对象或状态,当我们要 1)分析变化规律;2)预测;3)研究如何控制它的时候,就要建立相应的微分方程模型。6 V$ e, r0 N9 N: T+ B/ q
    自然地,这样的模型功能非常强大,也具有一般性,也自然地需要在简化假设上动脑筋——如何用数学语言能表述的东西来刻画一个实际动态过程。一个方程,有时就表示着一件事,这件事有可能还持续几十年——多么有趣而强大。0 N% s/ G- D' A8 {
1 [/ N/ g0 b1 f+ F
5.1 传染病模型
" {$ _0 l# E# @- p; s2 X    本节是解决“传播”、“蔓延”微分方程问题的典例,模型分三部分层层递进:SI(只分为易感染着、已感染者),SIS(已感染者可以被治愈,重新变为易感染者),SIR(治愈后具免疫力,即增加了“移出者”)。可以说从基础模型到一步步递进,是对实际传染病情况的逐渐深入、全面的考虑,而其中的分析十分重要,也是本章分析得最细的章节。其中引入了“相轨线”分析法,是很有力的工具,后面多次用到,这一节有很详细的介绍。
! u  ?: J* K% {    模型改进、建模目的性方法三者配合,是本节亮点。. M% a8 R8 u0 L& g3 m
5.2 经济增长模型

" ~; T! x% N2 f$ p; d+ F    通过建立产值与1)资金;2)劳动力之间的关系,来研究1)资金与劳动力的最佳分配,使效益最大;2)如何调节资金、劳动力增长率,使劳动生产率有效增长。
  r# d9 Q: K: j) i1 W. u+ ?/ U    本模型虽然不长,但推导出计量经济学一重要模型——Douglas生产函数。本节给出的模型推导稍繁,但结果简明,有合理解释。
: m1 M% C8 v& L* u, z5.3 正规战与游击战1 x1 y& c) G9 n# _* ]9 ~
    这一节介绍了历史上用过的、经典的预测战争结局的数学模型,有传统正规战争、稍复杂的游击战,以及混合战。重点在于建模过程:如何描述战争双方的特性,如何作假设。然后用来分析硫磺岛战役。这节很好地体现了微分方程的强大。
# s. Z+ L; p5 Y# D& J: E- {5.4 药物在体内的分布与排除% G3 [/ }5 {1 e* @# d& S) p6 s
    本节建立了房室模型,研究血药浓度的变化过程,为制订给药方案、剂量大小提供数量依据。重点在于1)模型的假设:尽管是简化,但由临床试验证明是正确的,可以接受;2)对参数的估计。* F$ f1 a3 \  t* M" Z
先由机理分析确定方程形式,再由测试数据估计参数。: C2 W- U1 B: p' d
5.5 香烟过滤嘴的作用4 L& s) k% j7 ?: v# [3 F
    看起来不易下手的一个问题,用恰当的假设,引入两个基本函数q,w,及物理学常用的守恒定律,建立出微分方程模型,从而构造动态模型。本例是经典的建模案例。, u9 H7 e, m2 K& i/ ]9 i
5.6 人口的预测和控制: S. V+ e' D! Q3 e) l9 l* @- n5 `
    本节模型与之前的区别在于:考虑年龄的分布,即除了时间外,年龄是另一个自变量。过程中重要的是数学公式中,系数、因子的实际含义要解释。
4 Z0 J( A% N* ]0 w6 a# b& t5.7 烟雾的扩散与消失* r, T8 i) r, Z7 y
    这个模型巧妙地引入了“仪器灵敏度”指标,不仅帮助建模,而且该指标本身是客观存在的,并非虚构,这样更加有说服力。
" q% u# n; d3 ?+ ?+ L  E1 M2 V5.8 万有引力定律的发现  E2 B$ {" {& d7 Z3 u$ x
    十分有意义的一节。我们初中就熟悉的牛顿万有引力定律,是由开普勒第三定律和牛顿第二定律一同推导出的,这一节再现了这个推导过程。这个模型告诉我们:正确假设+用数学演绎建模=对自然科学研究的巨大作用。我们要学习科学家前辈们如何创造性地运用数学方法,来提升我们解决实际问题的能力。
" Q2 _1 J+ i5 M9 o$ v& u  S+ z
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第6章 稳定性模型4 i" J7 S, Q) h' o6 b
关键词:稳定性理论 建而不解 平衡状态 趋势 相轨线
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    本章是建立在上一章的基础上,在微分方程基础上引入的一种重要思想/概念,那就是——对于某些问题,我们可能不关注动态过程的每个瞬时状态,而是研究稳定状态的特征,特别是时间充分长以后的状态/趋势,从而判断是否“稳定”。这时我们往往不需要“求解”微分方程(组),即“建而不解”;而是利用“微分方程稳定性理论”直接研究平衡状态稳定性即可。+ K0 \9 \2 B$ F  r

+ F6 ~3 F& N+ D*6.6 微分方程稳定性理论简介
. y1 H& n/ q: P" X4 ^   这一节应为优先阅读的一节,介绍了如何判断一阶、二阶方程的平衡点和稳定性。数学推导稍复杂(对于未接触过的同学),重要在于了解一些概念、结论,在模型实例中来进一步理解。! F4 ]! p1 Y+ @! R
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6.1 捕鱼业的持续收获
& [$ n. }) t1 c' N9 m$ Y" U    研究捕鱼业产量、效益和捕捞过度问题,如何捕捞能获得最大收益。这个问题虽然看似只需要给出一个“捕捞量”的答案就可以了,但是模型整个过程分析中还是得出了许多结论,如经济学捕捞过度、生态学捕捞过度等概念。在稳定的前提下步步深入。7 ^, ?% w* q- m8 B1 ^' R& d
6.2 军备竞赛8 i  }: K% m2 f1 o: q
    这个问题在第二章初等模型中就出现过,这里用微分方程稳定性的知识来分析。正如本节引言所说,军备竞赛因素很多,无法圆满描述,只是想告诉我们:一个复杂实际过程可以被合理简化到什么程度,得到的结果又怎样解释实际现象。
/ D6 m$ L) q; O0 c  K; Z3 P6.3 种群的相互竞争 6.4 种群的相互依存 6.5 食饵-捕食者模型
7 [! y) k, a8 R; ]5 n0 i  {6 o2 U    这三节作为一个系列,用种群竞争、依存、捕食这类生物学案例来诠释稳定性模型的应用。其中,相轨线分析法再次成为主角,它的意义在于:从图中曲线上直观地看出发展趋势,且特殊点对应的意义作出解释。1 p% q' r" w% o  t

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第7章 差分方程模型, V3 e" K1 q: H/ G3 k( M4 j7 R' h
关键词:差分方程稳定性 离散时段 差分阻滞增长 混沌

4 [- Q+ m. j. W9 `" M    将时间离散化后,就可以建立与微分方程相对应的差分方程模型。这章与第8章讨论的是确定性离散模型。实际上有些问题既可以用连续,又可以用离散,要看目的而定。离散的一个优势在于,便于计算机求解。
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7.5 差分方程简介:介绍差分方程稳定性的知识,判别稳定的条件。本章要用到的知识。
+ }  d  A0 ~/ u# e7.1 市场经济中的蛛网模型0 J7 v) N! l# S) Z8 n
    先用图形法建立市场经济的“蛛网模型”,给出趋于稳定的条件,再用差分方程建模,解释结果。本节开头的“问题前瞻、介绍”部分很经典,可作为建模论文写作的参考。
1 R) F7 ]) ]2 R6 u, \# u    本节最后对结果的解释也非常值得学习:启示我们,一些数学结果如参数前后的变大/变小,可能意味着什么,我们不要轻易放过,而是要时刻不忘解释相对应的原因。
" f/ }# s( R( S7 I1 F5 h9 x7.2 减肥计划——节食与运动4 _2 a9 y; L+ t9 ]9 F  B) F
    这是一个很生活的问题,主要讨论如何把一个“超重”的人减到目标的正常范围内(均以WTO颁布的体重指数BMI衡量)。  V, ~5 i# L  l" I" L
    我认为这个模型的两点仍然在建模本身:及如何将减肥计划中“减肥”这一件事量化,用数学的语言可以表达,写出差分方程。其中p208的“基本方程”式(1)是整个模型的基石,有了此式后面的工作就可以往上搭建了。注意到,式(1)其实是一个“建而不解”的方程。
) C7 t0 Z, f( x. b8 m$ {7 J8 a, k7 z0 e4 K    但正如节末评注中所述,实际参数的设置会更复杂,代谢消耗系数beta也因人而异、因环境而异,所以要有更多核对。但我们先要学习的还是建模这一步。
  r( ~; R! G* W! y" F; ^# A7.3 差分形式的阻滞增长模型- b  ^5 C! l5 `: e8 n
    此节是与之前用微分方程Logistic规律描述的“阻滞增长”规律最好的对比。有时,用离散化的时间研究比较方便,本节是很好的参考。(按:本人曾经做过用差分方程加修正,描述人数传播问题,个人认为很多情况用差分方程更好,也更“诚实”些,因为我们也只是想要每个时段的数量)
. }! o' N) Q3 T7 m% D+ Y    要注意的是:若用离散描述,需要说明各“时段”指代意义。推出p211的式(6)后,这个一阶分线性差分方程,也是“建而不解”,但注意:此处“不解”是指不需求通项公式,但各项的值仍要计算——用计算机递推可方便得到。我们最关心的往往是k趋向无穷时,y/x收敛情况,即平衡点稳定性的问题。这里微分、差分方程判别上有区别。
; X  P- M$ }3 r' v    P212中,通过深入讨论和213页的数据表发现,不同的参数b下收敛情况不一,然后发现了“倍周期收敛”的规律,即存在多个收敛的子序列。然后发现当n区域无穷时,不在存在任何倍周期收敛,出现混沌现象(Chaos)。
9 \1 [- y& X5 I5 U: q3 T- ?    混沌的特点为对初值极度敏感,这一点在物理课中老师也提到过,许多非线性方程均是如此,即“差之毫厘,失之千里”,蝴蝶效应。
- d5 a; d3 c8 u6 Q1 `5 a7.4 按年龄分组的种群增长. q& s. v$ g+ F
    这个模型的主要区别在于:将种群分成n个年龄组,分析各年龄组对种群总量增减的影响。这一节的数学推导稍繁。' z' b3 }. K; J' P0 T5 H( Q3 j( Z

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第8章 离散模型9 {& G8 w" S& [" I2 _0 X
关键词:层次分析 排名次 冲量过程 “分赃” 群体决策# ~! F* u" q7 R3 f
(本章是确定性离散模型的应用、方法)* U4 o; V* o8 ]3 T

/ t& r/ `8 d6 x  n. L  F5 W8.1 层次分析模型

' e1 m4 V8 c, M3 Y) _    社会经济系统分析工具。排名、评分评价,排等级都可以用层次分析模型解决,数学知识虽然不深,但是思想十分巧妙且合理,可扩展性也很好。关键在于1)“成对比较矩阵”的确定及修正,2)特征根法求权向量的原理(重要),3)1-9比较尺度(Satty等人提出),4)一致性检验。' N) p5 i  C3 ^$ b1 v, [8 I
8.2 循环比赛的名次
( h7 R! t- u! v! K    这节也是对一些排名评价“难题”给出一种经典解法:邻接矩阵+得分向量。转化为计算各级得分向量s、A最大特征根&对应特征向量s。按常理一般只会想到基于原邻接矩阵的1级得分向量,若比不出则停滞了;但若将i级乘回邻接矩阵,可以“发展”到i+1级得分向量——这个思想是本模型的关键,而且简单易用易理解。4 x4 M4 [) j% S; T3 x
    对于所谓的“下一级”得分向量定义的原理依据,或实际意义,是此思想的关键,我觉得可以接受,看上去很有道理,但未想出具体的解释,这里欢迎指教、讨论。(p246)' i' C: {2 n% D' q( E7 q  ~
8.3 社会经济系统的冲量过程
" ]8 K+ R' r' \    区别于机理分析、统计分析,冲量过程与层次分析属于“系统分析”,是近20年来发展起来的解决复杂系统的有力工具。8 k  K9 D9 j' |9 I& I6 v
    这节模型研究能源系统中,各个因素的趋势、预测问题。主要工具有:带符号加权的有向图,冲量过程(类比物理“冲量“概念)。其目的无非是研究系统的“稳定性”,以及如何“调整”到稳定。这是实际问题关注的。
0 d: ]7 ?" S" d7 j7 y8.4 效益的合理分配
* K' b1 s9 A8 ?& x& N) Z! }7 R    几方(大于3方)合作,已知不同子组合可获得不同收益,那么一起合作后,谁的功劳最大?也就是说,干完活后,如何“分赃”——这里是理性的、用数学推理的公平的“分赃”。, ]& x% I' f" R8 x6 i
本节介绍了3类方法:Shapley值,协商解等,Raiffa解。最后用一个3方分配例子对比了这3种方法。3种方法特点在p262。是客观求各因素权重的有力途径。
) V, P+ x  S$ l6 I. Q6 }2 n. ?: [8.5 存在公正的选举规则吗! I/ z  @. ^# I# z5 W1 z* Z( l
    这一节类似第2章的“公平席位”。主要讨论的是“群体决策”这一类问题。+ B! y" K5 F' \% p- g/ B
    首先是简单的选举规则。9 n% G1 \+ ~  {% p- P; a( l) D7 e
    接着介绍Arrow K的工作:提出一组公理,却证明不存在满足这组公理的选举规则,但很具有启发性。
0 y# _/ ^7 m% p$ W* [3 ~    然后是联合尺度选举规则,它是一个简单易行的规则(但是对投票情况限制了,才可能满足Arrow公理)。
2 v/ o) @" t# Q; @- k8 o8 @0 o! [    最后是一种与Arrow公理无关的规则——最小距离,这是一种类比思想,很巧妙地把公平转化为距离之和最小的最优化问题。
; W% b+ [2 l' I0 B6 y, [# {8 w0 z6 D# y- }: n: Q! N& H, y

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第9章 概率模型
. x, r, A# Y# P4 s关键词:随机模型 基础概率 生灭过程 数值解分析

7 s# U/ f& X& n6 X: J' @$ J    相对“确定性”模型来说,当随机因素的影响不可忽略时,就要建立随机模型。概率模型就是比较简单的随机模型,这一章用我们熟悉的概率分布、期望、方差等知识介绍概率模型怎样处理随机因素的。
  T# N: D# Q3 {! y" R    关键点有:
% l8 B1 C4 @' O4 Y8 S+ _1. 如何定义随机因素相关的量。针对一个实际问题,做好定义是开始工作的根本。
. @, u5 b8 f! d( T& {! u% b2. 随机概率模型一般从离散角度(一个个时段)下手,但求解中为了需要可能会转化为连续(如p274的求和转化为积分)。9 D( M" O* C, ]6 u# j% c
3. 要灵活根据实际问题,决定哪些参数应设为定值,哪些参数会变(如9.4轧钢问题,重量服从正态分布中,均方差应认为是已知的定值,而均值是可以调整的)。" l1 }8 v$ _8 M
4. 一般的“生灭过程”参考9.5的随机人口模型——相比之前的人口模型,这个更加一般,考虑的因素更多,更接近实际。6 p0 p: {9 H; ?" S
5. 有些模型无法解析求解,然而数值计算的结果已满足我们对问题进行分析的需要(9.6预订票策略)。& g/ E2 s6 c; ]: a4 B
. W9 H7 `/ U. B5 r& }' G' U! z" R' r) ?
5 q) I0 f; m- z2 Q$ {( t' I
第10章 统计回归模型9 u# W% u  @6 h( `" U( o' x( {
关键词:数据拟合 MATLAB统计 残差分析 自相关 逐步回归

  N# ^1 x9 l1 h0 l0 ~4 `$ W    对于有些内部规律复杂、无法分析内在机理的问题,我们建模、拟合的通常做法就是搜集大量的数据,用统计方法建立模型——统计回归模型。
0 I8 V: g, {, q% v    关键点有:; a0 S* L# u! F
1. 做散点图,大致判断函数趋势(比如有明显的线性增长),确定方程形式,待定系数。* _! M+ U+ E# }$ f( o6 y. Z4 t
2. 用MATLAB统计工具箱regress拟合,得出结果;重点:如何由MATLAB输出结果下结论(如置信区间不要包含零点,R^2、F)。
. h# V9 t8 R* J3 v  g$ @2 o' l5 D$ @3. (考虑实际问题制约)适当引入变量简化问题,如10.1中引入价格差(p297最后一段说明)。
; u! [$ J/ ?- N+ q' m9 T4. 利用好回归变量的预测(置信)区间。, x7 Z' E" l5 @: w( d
5. 改进回归模型:逐渐考虑回归变量之间的交互作用——在方程中引入二次项、交叉项。若MATLAB拟合输出信息表明有改进,则说明模型更符合实际。还可加上作图对比前后模型(p300)。( P4 L( c. k$ f! z, D* Q# n: y
6. 残差分析(p305,但这页我未看懂具体做法,待交流),及分析得出的结论,我们应该怎样改进模型。) w( ~4 W, S- S: c8 [( X% \! {
7. p307评注内容:0-1变量法、残差分析法、异常值应剔除。$ U! D& h8 U6 B, ^; i
8. 线性化(p309),及非线性MATLAB求解(p310);p315最后两段。) R5 s8 x* e  A% C0 u' o
9. 自相关的考虑(10.4节):若存在自相关性(具有滞后性,即前期对后期有影响的时间序列),普通回归模型将失去意义。我们必须先检测是否存在自相关(D-W检验、广义差分法),同时注意若高阶自相关,则必须改进直至不存在自相关为止。
6 k: E) O% l# {3 B10. 逐步回归:因素较多时,排除次要因素,用来选择影响因素显著的变量。. {$ }( h" [8 t6 D8 A
# K0 f1 q. x2 }7 ~$ b7 L5 q
5 Y% u" S! h% ]+ M) Y! C4 O
第11章 马氏链模型
2 y; }; k3 \: ^6 C) `关键词:离散随机过程 无后效性 转移概率 状态选取
) |) d2 D4 Z: K0 d. t. r
基本概念$ L# w2 z+ `! ]; p. t
    这一章介绍了处理离散随机过程的重要工具——马氏链模型,及若干个应用。总体从浅到深,阐述了马氏链的主要思想。% |' `- F) J9 ]+ t
1. 无后效性/Markov性: 系统在每个时期所处的状态时随机的,这个时期到下个时期状态按照一定概率进行转移,且下个时期状态只取决于 1)这个时期状态 2)转移概率,与以前各时期状态无关。9 h+ \) i: L( X3 w
2. 马氏链(Markov Chain)模型通常描述: 已知现在,将来与历史无关,具有无后效性的,时间状态均离散的随即转移过程。  Z" i2 h, }5 Q% H; I2 F
3. 一些确定性系统的状态转移问题也能用马氏链处理。- o- G1 Q  q- |/ Y" _" `2 `
( @/ T9 t! f- Y# R! e
一、健康与疾病( W, y( h9 ?9 r  V9 w* `# \( N
    主要介绍马氏链基本概念、要素: 系统的状态,状态概率,转移概率,马氏链基本方程,状态概率向量,转移概率矩阵。本章讨论时齐的(转移概率与时段n无关)马氏链。$ q* `* I" M6 z+ G$ q+ D
    同时介绍2种主要类型——: A( z) b8 ]2 [! a+ r$ @+ T) A
    1)正则链:从任意状态出发,经过有限次转移都能达到另外的任意状态(如何判断是正则链、相应定理);
9 U$ O2 ~9 T6 Q# e    2)吸收链:首先引入吸收状态,顾名思义吧,就是某个状态的转移概率=1,即进了这个状态就出不来了,被“吸收”掉。  吸收链是(至少)存在一个吸收状态,使马氏链从每个费吸收状态出发,能有限次到某个吸收状态。! Z6 t( y5 B, A
二、钢琴销售的存贮策略
6 M$ Y5 d1 O, E4 F$ y' ^    动态随机存贮。一个简化的存贮模型,关键是从中理解状态变量、需求量、转移矩阵的设置和求解。 判断转移矩阵P为正则链后,用公式求出稳态概率分布w,就是达到稳态后的情况,然后用全概率公式算出失去销售机会的可能性。 这个模型虽然简单,但却是动态存储马氏链的浅显易懂的好例子,其中结合实际问题具体分析是最值得学习的。5 y8 k' x' R& z0 z) z3 ]
三、基因遗传
8 ?3 b6 w4 j  q7 M    用马氏链模型研究遗传过程,关键是建模的过程——即选取系统的状态,这在“随机交配”和“近亲繁殖”中需用不同的设法。  随机交配过程推导的结果是 (p^2, 2pq, q^2) 分布将保持下去,即遗传学中的Hardy-Weinberg平稳定律;然而,近亲繁殖中,得到的转移矩阵发现是一个“吸收链”——即如果近亲结婚的话,若干代繁殖终将变成全是优种/全是劣种,并保持下去。这两个结论(虽然在理想化假设下)与我们之前的认识是很一致的,从中加深了马氏链的理解。
* t1 V9 @6 A. N4 ]# d; K1 x四、等级结构. G: @5 y" m8 @& K/ k
    这个模型是用马氏链研究一个群体中各个个体等级分布变化情况,目标是研究等级分布变化规律,假设总人数不变。然后用某种途径让群体等级分布达到想要的稳定状态。- b$ d, |; {% X7 L! b( N' f
    重点在于变量的设置,以及还是状态设置、模型建立过程。  建模过后,先用“调入比例”这一现实中可控的量进行稳定控制,其中有“稳定域”的构造、分析。 然后是具体如何用调入比例,进行动态调节,实则转化为了一步步优化问题,动态调节的过程是一步接一步的,有重复循环的操作规律。这里也很好地体现了马氏链的“离散”特性,以及给编程创造了机会。% h, W- Y5 V: ?: Z4 B( K
五、资金流通% o% M% R4 `; L- w
    基本与等级结构一样,一系列推导最后总结出步骤,先判断稳定能否达到,若能达到,则由公式算出每年应如何投放资金。  与等级模型不同在于:各地区资金进出可正可负;所有地区资金总和可以变化。* Z0 a" G% d, C8 O6 y0 T7 Y

) y6 t4 W) h  G5 m6 [* r第11章小结:' ^( Z0 i: e9 C' v6 \
    虽然只有短短5节,但是几个模型由浅入深,循序渐进,学习中有逐渐清晰的感觉。过程的推导复杂度适中,具体问题具体分析的思想很经典。这章算是马氏链模型的基础,虽是基础但案例、思想也足够典型,是今后解决离散随机过程很有力的工具。% s: v) K* A4 i' A% _+ X& [

' X6 w9 `  C* O/ R# H
第12章 动态优化模型
, Q. G) _: H. p关键词:泛函极值 变分法 动态规划 最短路

; q. L. t: b9 ]1 e# H: G: f基本概念
& E6 `' O& x3 k    本章介绍动态优化,优化目标,虽然优化目标仍然是数值,但最优策略是一个函数。连续过程归结于求泛函的极值问题(几个模型中一直体现),方法有古典变分法、最优控制论。几个例子都是能用古典变分法解决的,而离散过程则用动态规划求解。. @. f' b& r# x! s, c) o

% A( d' O! c" c) x# Q- @! i    第一节先用“速降线”和“短程线”两个17世纪末的物理模型引出变分法基本概念,和后面要用的结果;同时介绍泛函、泛函极值概念。; d, S4 d1 n; r
    这一章的数学知识、推导比较繁杂(尤其是对于没接触过泛函等概念的学生),2、3、4、5节(生产计划制订、国民收入增长、渔船出海、赛跑速度)均是连续动态优化的典型问题,许多都是归结于泛函极值的问题。尤其是“渔船出海”,实属一个经济学的典例,这个经济策略分析中再次很好地体现了数学技巧、实际问题结合的巧妙。0 y) M. W& q. V% k3 G
    第6节多阶段最优生产计划属于离散动态优化,用动态规划求解,转化为最短路问题,当中对最短路问题的算法做出了详细解释。 分别对确定需求、随机需求的生产计划制订方法给出了推导思路。
$ @2 ~1 F# d7 |2 _' |9 i3 D
4 b% t7 Q, W' w; G5 I0 p0 z# O2 T  j/ @5 k: O- f9 W( ~$ i
: T( n2 p' ^: [7 Q; g6 [4 Z
      一点自己的感想。笔记总结得不大好,但我的物理老师说过:做比不做强!因此我只好硬着头皮小结了~  望指教!
% Y2 v4 e  {# |' ~0 J   ( x' G  a) f7 z3 D- S; e) e4 S, ]# ?
       自己的其他感想、学习心得,
欢迎交流
$ j8 @+ ], {1 C+ }) j0 xMCM论文精析课程小结——2012.5.207 ^7 N6 D7 P( k3 P: s# A0 m
点上希望的蜡烛——每年一度的聚会,记2012全国大学生数模竞赛
* G, k8 D4 x5 j8 g9 u+ s2013MCM, 平淡不平凡
! E' _; s' h1 I, \7 \" ~: q
+ @. ?- Z# u- ~2 x! ^2 {; ^
附:感谢你认真阅读(或扫视)完这篇学习笔记性质的稿子,感谢你的兴趣,同时期待你能在建模学习中获得启发、更上一个台阶。对于短期/初期体验竞赛的同学,了解一些简单概念和思维,就像这本书中略读一些章节,再编一些经典的算法程序,是很好的敲门砖;对于长期学习建模的同学,固然要找机会夯实基础("内功"),也建议在学习过程中多思考,不仅是为了抓住知识的主干,更是为了发掘自己的兴趣,获得对自己今后读研、工作的启发。/ p! s5 l! E% s! }( q
    本人现为一大四学生,在竞赛一线活跃度肯定不如各位,但之前的9次建模课题、4次竞赛的确给我帮助很大:开阔视野、团队合作、实际技术、责任意识。 知识学了就会有用的,不管是由于一阵没用而生疏,还是一直在加深印象。我一直相信这一点,并希望各位共勉,珍惜本科的时光,给自己多一些充实(英文中用"enrich"较合适)——因为不像金钱钞票或实物,这些知识能力、包括好的身体素质,是别人带不走的。% X! t0 v; _1 i
                                                                      ——2013年12月20日
- \  N  E. g& F1 K. [8 X
* A6 z  F1 u% z9 I2 m

7 `+ X: ]7 o+ x关于论坛体力:如果是刚加论坛准备长期学习,而下载体力不够的同学,可以给我发信息/回复帖子/加好友,写明大概需要多少点(如50)及下载资料类型,我可以直接转给你。  或者我记得可以用支付宝转账,好像1元对应30点;或者平时签到/分享帖子/写日志 都可以加不少(但不建议连续水回复一个帖子多次)。)

  r- G# y0 o% p5 U$ ^5 H# B0 I. F" z! X4 X  O. y4 q

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《数学模型(第三版)习题解答》.pdf

2.97 MB, 下载次数: 747, 下载积分: 体力 -2 点

《数学模型(第三版)》.pdf

18.98 MB, 下载次数: 1910, 下载积分: 体力 -2 点

好书,可以考虑买本来学~

优化Lingo笔记.pdf

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这个仅是一点书的截图

《LINGO和Excel在数学建模中的应用》.pdf

17.05 MB, 下载次数: 1420, 下载积分: 体力 -2 点

推荐!前两章!


作者: sdccumcm    时间: 2012-7-23 23:17
欢迎讨论啊
作者: sdccumcm    时间: 2012-7-24 09:18
sdccumcm 发表于 2012-7-23 23:17 " {$ J8 O% x- \0 B3 v
欢迎讨论啊
9 ?; y# \( b4 Q+ _; d/ B
欢迎提意见~
作者: sdccumcm    时间: 2012-7-25 10:40
多多回复啊~~~~~~~
作者: 雾柳    时间: 2012-7-25 10:56
是要多多回复
作者: sdccumcm    时间: 2012-7-25 12:44
雾柳 发表于 2012-7-25 10:56 & w" e! r7 e4 T! Y* b8 h
是要多多回复
" Q8 w+ T5 n+ D( `2 x5 w) u+ X0 u
呵呵~~~~
作者: 雾柳    时间: 2012-7-25 15:31
sdccumcm 发表于 2012-7-25 12:44
2 N* O3 v# \' U4 P# a呵呵~~~~
+ E1 Z. a8 v- H: \/ s( X8 f" @% N
不太好笑耶
作者: sdccumcm    时间: 2012-7-25 16:04
雾柳 发表于 2012-7-25 15:31 7 w0 E) g) F1 }- Y! T$ a
不太好笑耶

3 }& d+ w! |0 F5 j/ D4 @5 {   额……$ I0 Q1 b' ?0 r7 Q& c* K
欢迎提出宝贵意见啊,有问题直接指出哈~~~
作者: sdccumcm    时间: 2012-7-26 23:25
今天决定比计划提前做完总结,本来晚上已经写好,但数学中国一直上不上,换几种网也是很卡,直到较晚才上。
; m  A* Q% \$ R, a' P5 o粘贴上发表后,却发现板式很多地方不好,由于是用代码编辑的字体,所有标题都要重新设置一次。这里也想请教下各位有没有简便的方法啊(在数学中国写帖子的时候,设置字体格式,不用那个代码)。刚才反复看效果、改了10多次……
作者: sdccumcm    时间: 2012-7-26 23:26
sdccumcm 发表于 2012-7-26 23:25
* L2 {" x) x; v  C5 A. L( F7 j: q7 g今天决定比计划提前做完总结,本来晚上已经写好,但数学中国一直上不上,换几种网也是很卡,直到较晚才上。 ...

" J# J1 H% H9 i- M大家多多包涵!
作者: 牵挂only    时间: 2012-7-28 21:04
谢谢分享,正想要看这本书
作者: sdccumcm    时间: 2012-7-28 23:21
牵挂only 发表于 2012-7-28 21:04 * ^3 `; j8 r% Z6 ?
谢谢分享,正想要看这本书

% l6 V: \1 g  ?6 j/ v' E1 ^有感想随时留言啊~~~
作者: sdccumcm    时间: 2012-7-31 23:46
多多回复呀~
作者: sdccumcm    时间: 2012-8-1 20:35
欢迎交流!!!!
作者: shaox    时间: 2012-8-2 19:04
太多了,看看~~
作者: WXY20100513184    时间: 2012-8-3 16:10
非常感谢!
作者: sdccumcm    时间: 2012-8-3 19:01
WXY20100513184 发表于 2012-8-3 16:10
7 g( g1 n, Z0 {+ M' N; K1 `非常感谢!

6 `/ Y) h( E! P! N; a. s  
作者: sdccumcm    时间: 2012-8-3 20:48
**啊  一个帖子被扔到垃圾站了,不错的啊
作者: sdccumcm    时间: 2012-8-3 20:50
sdccumcm 发表于 2012-8-3 20:48
0 I0 U$ O+ ~+ A/ ]' [**啊  一个帖子被扔到垃圾站了,不错的啊

3 F% `- {/ x8 n2 L/ ^/ F% G- j$ t, ^随遇而安
作者: sdccumcm    时间: 2012-8-5 12:40
建模在哪里?……
作者: sdccumcm    时间: 2012-8-5 12:41
sdccumcm 发表于 2012-8-5 12:40 ! W# L. E/ J/ @1 }4 Q4 {( \
建模在哪里?……

7 t# v0 a( e: |$ p突破400啦………………
作者: A_I    时间: 2012-8-5 23:32
看样子楼主很用心得看了啊
作者: sdccumcm    时间: 2012-8-6 00:06
A_I 发表于 2012-8-5 23:32 * P1 T# N$ W; [9 r
看样子楼主很用心得看了啊

$ L* [- ~! z% l# H8 I0 A
作者: sdccumcm    时间: 2012-8-9 18:31
(呵呵)~~~~
作者: 白曼青    时间: 2012-8-10 17:09
lingo解优化问题比matlab方便吗?
作者: sdccumcm    时间: 2012-8-10 21:06
白曼青 发表于 2012-8-10 17:09
! M8 M* A. g/ p( f, i! Nlingo解优化问题比matlab方便吗?
" ?" p8 P; z" y* C9 `
某种程度上,是的
作者: sdccumcm    时间: 2012-8-11 13:33
继续继续,欢迎回复!!!!!!!!!!!
作者: 597406728    时间: 2012-8-13 00:28
貌似很高端的样子
作者: sdccumcm    时间: 2012-8-13 19:53
回复个~~~~
作者: sdccumcm    时间: 2012-8-13 20:23
学习………………
作者: sdccumcm    时间: 2012-8-13 20:31
再次…………
作者: sdccumcm    时间: 2012-8-15 08:33
be up`~~~~~
作者: 生于青春    时间: 2012-8-15 23:18
好东西啊
作者: sdccumcm    时间: 2012-8-16 00:09
生于青春 发表于 2012-8-15 23:18 + t  b/ i. z4 `' E. m! c4 ]3 ]$ k0 x
好东西啊

% y4 g" M! O8 n3 [$ i9 Q7 x谢谢!尽管写得很粗糙4 I; Y# ]: @% R' Y$ J/ s) N' \8 `
希望对你有帮助
作者: gaoxian    时间: 2012-8-16 10:51
还有习题解答!不错,先回复后下载!!!谢谢LZ
作者: sdccumcm    时间: 2012-8-16 12:58
gaoxian 发表于 2012-8-16 10:51 : m, p  M- @- j3 ^% B. k
还有习题解答!不错,先回复后下载!!!谢谢LZ
# m9 F( a- F8 S9 ]. c% i# Q3 e0 ^
不客气,希望对你有帮助!   欢迎提意见
作者: sdccumcm    时间: 2012-8-20 13:05
顶起来,加油!!
作者: sdccumcm    时间: 2012-8-20 22:14
时隔一月 选拔结束
作者: sdccumcm    时间: 2012-8-21 09:12
顶起来!!!
作者: sdccumcm    时间: 2012-8-21 21:43
预测、效益评估……
作者: woaixueshumo    时间: 2012-8-27 21:37
看到都是你自己的回复 赶紧来支持啦~~~4 {5 z6 G2 ]& z0 t6 \* u4 v
恩 你写得特别认真啊 看得出来 你在读这本书的时候一定特别用功
作者: woaixueshumo    时间: 2012-8-27 21:43
你的书我也看看吧 给我推荐一下啊
作者: sdccumcm    时间: 2012-8-27 23:06
woaixueshumo 发表于 2012-8-27 21:43
% w$ S6 D' J4 W4 T, B' B- A/ S+ n你的书我也看看吧 给我推荐一下啊

/ H# x( K  i$ H好的~~~~~~
作者: jmdx2006    时间: 2012-8-29 12:24
谢谢分享,下载学习
作者: yuzhong_manbu    时间: 2012-8-29 17:39
好东东,参考学习。
作者: 小Q呜呜    时间: 2012-8-30 13:27
总结的不错,看啊看
作者: sdccumcm    时间: 2012-8-30 13:36
小Q呜呜 发表于 2012-8-30 13:27 3 l" i/ U, G: I+ Y6 i4 u
总结的不错,看啊看

3 f1 F% ?- y; p4 L, Y$ [多谢支持!
作者: 在我辛中    时间: 2012-8-31 10:27
总结的很不错!很厉害呀!
作者: sdccumcm    时间: 2012-8-31 12:11
在我辛中 发表于 2012-8-31 10:27
0 @) n, N& o7 g总结的很不错!很厉害呀!

, k3 ~+ @  M& K/ a/ o; j多谢鼓励!  大家一起努力!
作者: sdccumcm    时间: 2012-9-4 09:48
希望快上1000浏览量啊~~~* H# O, {8 y2 s
管理员,请问可以加精华吗?
作者: sdccumcm    时间: 2012-9-11 16:13
加油…………
作者: 我身无形    时间: 2012-10-25 15:50
写的很好。。。。。楼主好强大
作者: 从今天开始    时间: 2012-10-25 16:24
好东西,多谢楼主了!
作者: Sabayon~    时间: 2012-10-25 16:39
学习了~~~~
作者: 恋雾迷尘    时间: 2012-10-25 16:44
要好好学习啊,谢啦
作者: 飘逸    时间: 2012-10-25 19:27
下来看看先,谢谢了
作者: sdccumcm    时间: 2012-10-25 22:06
飘逸 发表于 2012-10-25 19:27
* w& n1 \- q8 F. P1 S6 f下来看看先,谢谢了

" d+ C# D+ X' `# |! K$ e呵呵,多指教~~~
作者: sdccumcm    时间: 2012-10-30 13:47
加油,顶一个!      
作者: 别叫我蛋蛋    时间: 2012-11-9 22:59
。。。帮顶
作者: sdccumcm    时间: 2012-11-18 20:32
顶一下!               
作者: sdccumcm    时间: 2012-11-26 10:59
继续学习~            
作者: sfy123    时间: 2012-11-28 15:14
好厉害啊。好认真啊!!!!!
作者: 尘缘此间    时间: 2012-12-2 12:47
感谢!这种笔记性质的教**的很不错,希望多多推广,这样帮助到的人会更多!
作者: sdccumcm    时间: 2012-12-2 17:54
本帖最后由 sdccumcm 于 2012-12-2 17:55 编辑 1 O5 t7 b4 ?( \% [9 k  D2 A
尘缘此间 发表于 2012-12-2 12:47
' L" T/ b; L3 i' l7 k0 n感谢!这种笔记性质的教**的很不错,希望多多推广,这样帮助到的人会更多!
5 Q: p$ b. A# Q

( q/ i1 m/ C4 I0 x; q多谢支持,过奖了!我会继续努力
作者: muyitianmo    时间: 2012-12-5 12:29
下来卡看,我也是天大的额。。。
作者: muyitianmo    时间: 2012-12-5 12:30
刷回复,转体力
作者: muyitianmo    时间: 2012-12-5 12:30
学长莫怪,刷体力。。。
作者: sdccumcm    时间: 2012-12-5 18:30
muyitianmo 发表于 2012-12-5 12:30
, T" d" ?2 w! Q% U& u学长莫怪,刷体力。。。
# r2 m1 _7 C+ O2 ~# x" v  A
   额!
作者: cdcxfwxt    时间: 2012-12-6 10:38
好帖子 赶紧收藏!
作者: sdccumcm    时间: 2012-12-6 18:58
本帖最后由 sdccumcm 于 2012-12-6 18:59 编辑 " W0 L1 X4 ?. ?  F
cdcxfwxt 发表于 2012-12-6 10:38
/ {" ?, n( Z! w/ y6 X$ y- S好帖子 赶紧收藏!
1 H' U; a& e: e. n

: n/ P7 B! V* F1 [   多谢支持! 欢迎提出意见,或作出补充!
作者: cdcxfwxt    时间: 2012-12-10 17:34
应该叫你师兄哈,我今年大一妹子。。。。6 n% p, R) D' Y- w
10月刚进入学校数学建模协会,12月23号就要出题通过交论文正式选拔成员了,. I& j( C! l( g& N( d. w  u
我从未接触过数模,尽管在论坛下了很多关于论文的资料,但还是许多不懂,- P8 j& K4 g/ }% S, \* v
请师兄指点一下下该怎么办,你好强
作者: sdccumcm    时间: 2012-12-10 18:52
cdcxfwxt 发表于 2012-12-10 17:34 : @- F% N7 d+ ?: D4 W4 l( r
应该叫你师兄哈,我今年大一妹子。。。。; o& V6 N4 i. g0 X6 [9 ~  Z$ \
10月刚进入学校数学建模协会,12月23号就要出题通过交论文正式选 ...
1 k1 @7 @# X  Q6 A9 S; C
多谢支持啊! 希望多提些建议!
& W) K2 S8 }' M我也是一直学习中~ 今天刚做完校内赛……
9 \+ P  r, |. i# v: n我觉得时间充裕的时候 比如假期,可以集中学一本建模的书籍,《数学模型》挺好的,还有几本国外的数学建模书中或英文版也可以~5 O! J/ r: Q4 O0 m8 I2 L- \
主要用得比较多的是MATLAB,还推荐学习一下LINGO的初级编程,整数优化不错的!
0 K  n! h( g: y* I1 R2 {9 }经过一次3天的比赛,就能明白很多了! 目的还是学习,和提高能力!

作者: cdcxfwxt    时间: 2012-12-11 00:18
sdccumcm 发表于 2012-12-10 18:52
  H4 T7 e, n6 }% H; ~2 k; d多谢支持啊! 希望多提些建议!$ V4 j9 H6 O0 I; @3 b
我也是一直学习中~ 今天刚做完校内赛……
* H8 e; h# O( d- f. e# n我觉得时间充裕的时候 比如假 ...

5 V" l7 u  ]7 f0 f' C我22号考试四级,23号出考试题,27号交论文,时间好赶,着急。。。。
作者: hgduyao    时间: 2012-12-16 23:30
学习了 多谢分享!!!
作者: 乐在其中    时间: 2012-12-30 22:29
感谢楼主的分享
作者: 唯我独只能    时间: 2012-12-31 11:04
先下下来看一下,应该用得着!谢过楼主了啊!
作者: 唯我独只能    时间: 2012-12-31 11:08
下载失败啊!说是失败资源,纳尼?
作者: 唯我独只能    时间: 2012-12-31 11:08
肉痛啊!我的体力!
作者: zswseu    时间: 2012-12-31 18:17
做比不做强!
作者: sdccumcm    时间: 2012-12-31 19:16
唯我独只能 发表于 2012-12-31 11:08
( v6 Z0 Q5 K: c! |下载失败啊!说是失败资源,纳尼?

" y" f( L+ Z. {0 U; r7 b是吗?我检查下
4 Y( d8 r# s) Z+ v: |0 R" H0 a2 N
作者: 懒喵    时间: 2013-1-1 19:29
谢谢楼主分享~!!!!
作者: asd330    时间: 2013-1-3 08:24
非常好的经验,弄得我很想去看那本书了,美赛快要开始了,还是什么经验都没有啊
作者: 逆流133    时间: 2013-1-17 10:37
haodongxia
作者: 逆流133    时间: 2013-1-17 10:37
这个写的很有用啊
作者: liubingg    时间: 2013-1-17 16:32

作者: cinla110    时间: 2013-1-19 14:46
正在看,谢谢楼主的经验分享~
作者: princessxj    时间: 2013-1-22 18:49

作者: princessxj    时间: 2013-1-22 18:51

作者: princessxj    时间: 2013-1-22 18:51

作者: princessxj    时间: 2013-1-22 19:18

作者: princessxj    时间: 2013-1-22 19:20

作者: princessxj    时间: 2013-1-22 19:20

作者: princessxj    时间: 2013-1-22 19:21

作者: 向日葵的追寻    时间: 2013-1-22 19:48
宝贵整理,顶起来哦
作者: 旦猫猫    时间: 2013-1-23 16:19
谢谢楼主的笔记~~~
作者: sdccumcm    时间: 2013-1-23 16:31
旦猫猫 发表于 2013-1-23 16:19
5 r5 u& I1 K+ ]% z4 q/ Y, T5 u; O谢谢楼主的笔记~~~
" G, I- ~+ E* ~# ^. K  s" Y5 z
不客气,多谢支持            
作者: cainiaoxianfei    时间: 2013-1-26 14:43
赞!!顶起!!!!!
作者: zcb520    时间: 2013-1-28 14:55
HAO!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
作者: ncepufyk    时间: 2013-1-28 16:06
挺不错的额。。。。。。。。
作者: dingaidi    时间: 2013-1-30 08:21
:victory赞一个   




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