中考数学应用题(各类应用题汇总练习)

重光兰衣

中考数学应用题(各类应用题汇总练习)
列方程(组)解应用题是中考的必考内容，必是中考的热点考题之一，列方程(组)解应用题的关键与难点是如何找到能够 表示题目全部含义的相等关系，所谓“能表示全部含义”就是指在相等关系中，题目所给出的全部条件(包括所求的量)都要 给予充分利用，不能漏掉，但也不能把同一条件重复使用，应用题中的相等关系通常有两种，一种是通过题目的一些关键词 语表现出来的明显的相等关系，如“多” 、 “少” 、 “增加” 、 “减少” 、 “快” 、 “慢”等，另一种是题目中没有明显给 出而题意中又包含着的隐含相等关系，这也是中考的重点和难点，此时需全面深入的理解题意，结合日常生活常识和自然科 学知识才能做到． 解应用题的一般步骤： 解应用题的一般步骤可以归结为： “审、设、列、解、验、答” ． 1、 “审”是指读懂题目，弄清题意，明确题目中的已知量，未知量，以及它们之间的关系，审题时也可以利用图示法， 列表法来帮助理解题意． 2、 “设”是指设元，也就是未知数．包括设直接未知数和设间接未知数以及设辅助未知数(较难的题目)． 3、 “列”就是列方程，这是非常重要的关键步骤，一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等关系，然后列代数式 表示相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程． 4、 “解”就是解方程，求出未知数的值． 5、 “验”就是验解，即检验方程的解能否保证实际问题有意义． 6、 “答”就是写出答案(包括单位名称)． 应用题类型： 近年全国各地的中考题中涉及的应用题类型主要有：行程问题，工程问题，增产率问题，百分比浓度问题，和差倍分问 题，与函数综合类问题，市场经济问题等． 几种常见类型和等量关系如下： 1、行程问题： 基本量之间的关系：路程=速度?时间，即： s ? vt ． 常见等量关系： (1)相遇问题：甲走的路程+乙走的路程=原来甲、乙相距的路程． (2)追及问题(设甲速度快)： ①同时不同地： 甲用的时间＝乙用的时间； 甲走的路程－乙走的路程＝原来甲、乙相距的路程． ②同地不同时： 甲用的时间＝乙用的时间－时间差； 甲走的路程＝乙走的路程． 2、工程问题： 基本量之间的关系：工作量=工作效率?工作时间． 常见等量关系：甲的工作量＋乙的工作量＝甲、乙合作的工作总量． 3、增长率问题： 基本量之间的关系：现产量=原产量?(1+增长率)． 4、百分比浓度问题： 基本量之间的关系：溶质=溶液?浓度． 5、水中航行问题： 基本量之间的关系：顺流速度＝船在静水中速度＋水流速度； 逆流速度＝船在静水中速度－水流速度． 6、市场经济问题： 基本量之间的关系：商品利润=售价－进价； 商品利润率=利润÷进价； 利息=本金?利率?期数； 本息和=本金+本金?利率?期数． 一元一次方程方程应用题归类分析 列方程解应用题，是初中数学的重要内容之一。许多实际问题都归结为解一种方程或方程组，所以列出方程或方程组解 应用题是数学联系实际，解决实际问题的一个重要方面；下面老师就从以下几个方面分门别类的对常见的数学问题加以阐述， 希望对同学们有所帮助. 1. 和、差、倍、分问题： （1）倍数关系：通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长率??”来体现。 （2）多少关系：通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余??”来体现。 例 1.根据第五次人口普查统计数据，截止到 2000 年 11 月 1 日 0 时，全国每 10 万人中具有小学文化程度的人口为 35701 人，比 1990 年 7 月 1 日减少了 3.66%，1990 年 6 月底每 10 万人中约有多少人具有小学文化程度？ 分析：等量关系为：

?1 ? 3.66%? ? 90年6月底有的人数 ? 2000年11月1日人数

1

解：设 1990 年 6 月底每 10 万人中约有 x 人具有小学文化程度

(1 ? 3.66%) x ? 35701

答：略. 2. 等积变形问题： “等积变形”是以形状改变而体积不变为前提。常用等量关系为： ①形状面积变了，周长没变； ②原料体积＝成品体积。

x ? 37057

. 玻璃杯中的水的高度下降多少 mm？（结果保留整数 ? ? 314 ） 分析：等量关系为：圆柱形玻璃杯体积＝长方体铁盒的体积 下降的高度就是倒出水的高度 解：设玻璃杯中的水高下降 xmm

例 2. 用直径为 90mm 的圆柱形玻璃杯（已装满水）向一个由底面积为 125 ? 125mm 内高为 81mm 的长方体铁盒倒水时，
2

? 90 ? ? ? ? ?x ? 125 ? 125 ? 81 ? 2? ?x ? 625 625 x? ? 199 ?
3. 劳力调配问题： 这类问题要搞清人数的变化，常见题型有： （1）既有调入又有调出； （2）只有调入没有调出，调入部分变化，其余不变； （3）只有调出没有调入，调出部分变化，其余不变。 例 3. 机械厂加工车间有 85 名工人， 平均每人每天加工大齿轮 16 个或小齿轮 10 个， 已知 2 个大齿轮与 3 个小齿轮配成一 套，问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？ 分析：列表法。 每人每天 人数 数量 大齿轮 16 个 x人 16x 小齿轮 10 个 85 ? x 人 10 85 ? x 等量关系：小齿轮数量的 2 倍＝大齿轮数量的 3 倍

2

?

?

?

?

解：设分别安排 x 名、

3(16 x) ? 2[10(85 ? x)] 48 x ? 1700 ? 20 x

?85 ? x? 名工人加工大、小齿轮

68 x ? 1700 x ? 25 ? 85 ? x ? 60人
4. 比例分配问题： 这类问题的一般思路为：设其中一份为 x，利用已知的比，写出相应的代数式。 常用等量关系：各部分之和＝总量。 例 4. 三个正整数的比为 1：2：4，它们的和是 84，那么这三个数中最大的数是几？ 解：设一份为 x，则三个数分别为 x，2x，4x 分析：等量关系：三个数的和是 84

x ? 2 x ? 4 x ? 84 x ? 12
5. 数字问题 （1）要搞清楚数的表示方法：一个两位数的，十位数字是 a，个位数字为 b（其中 a、b 均为整数，且 1≤a≤9， 0 ≤b≤9， ）则这个两位数表示为：10a+b。 （2）数字问题中一些表示：两个连续整数之间的关系，较大的比较小的大 1；偶数用 2N 表示，连续的偶数用 2n+2 或 2n—2 表示；奇数用 2n+1 或 2n—1 表示。 例 5. 一个两位数，个位上的数是十位上的数的 2 倍，如果把十位与个位上的数对调，那么所得的两位数比原两位数 大 36，求原来的两位数 等量关系：原两位数+36=对调后新两位数 解：设十位上的数字 X，则个位上的数是 2x， 10?2x+x=（10x+2x）+36 解得 x=4，2x=8. 答：略. 2

6. 工程问题： 工程问题中的三个量及其关系为：工作总量=工作效率?工作时间 经常在题目中未给出工作总量时，设工作总量为单位 1。 例 6. 一件工程，甲独做需 15 天完成，乙独做需 12 天完成，现先由甲、乙合作 3 天后，甲有其他任务，剩下工程由乙 单独完成，问乙还要几天才能完成全部工程？ 分析设工程总量为单位 1，等量关系为：甲完成工作量+乙完成工作量=工作总量。 1 1 x 1 1 x 解：设乙还需 x 天完成全部工程，设工作总量为单位 1，由题意得，( + )?3+ =1， 解这个方程， + + =1 15 12 12 5 4 12 33 3 12+15+5x=60 5x=33 ∴ x= =6 5 5 答：略. 7. 行程问题： （1）行程问题中的三个基本量及其关系： 路程=速度?时间。 （2）基本类型有 ① 相遇问题；② 追及问题；常见的还有：相背而行；行船问题；环形跑道问题。 （3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，一般情况下问题就能迎刃而解。并且还常 常借助画草图来分析，理解行程问题。 例 7. 甲、乙两站相距 480 公里，一列慢车从甲站开出，每小时行 90 公里，一列快车从乙站开出，每小时行 140 公里。 （1）慢车先开出 1 小时，快车再开。两车相向而行。问快车开出多少小时后两车相遇？ （2）两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距 600 公里？ （3）两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距 600 公里？ （4）两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？ （5）慢车开出 1 小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时追上慢车？ 此题关键是要理解清楚相向、相背、同向等的含义，弄清行驶过程。故可结合图形分析。 （1）分析：相遇问题，画图表示为：

甲
等量关系是：慢车走的路程+快车走的路程=480 公里。 解：设快车开出 x 小时后两车相遇，由题意得，140x+90(x+1)=480 解这个方程，230x=390 16 ∴ x=1 23 答：略. 分析：相背而行，画图表示为：

乙

600 甲 乙

等量关系是：两车所走的路程和+480 公里=600 公里。 解：设 x 小时后两车相距 600 公里， 由题意得，(140+90)x+480=600 解这个方程，230x=120 12 ∴ x= 23 答：略. （3）分析：等量关系为：快车所走路程－慢车所走路程+480 公里=600 公里。 解：设 x 小时后两车相距 600 公里，由题意得，(140－90)x+480=600 ∴ x=2.4 答：略. 分析：追及问题，画图表示为：

50x=120

甲

乙

等量关系为：快车的路程=慢车走的路程+480 公里。 解：设 x 小时后快车追上慢车。 由题意得，140x=90x+480 解这个方程，50x=480 ∴ x=9.6 答：略. 分析：追及问题，等量关系为：快车的路程=慢车走的路程+480 公里。 3

解：设快车开出 x 小时后追上慢车。由题意得，140x=90(x+1)+480 50x=570 解得， x=11.4 答：略. 8. 利润赢亏问题 （1）销售问题中常出现的量有：进价、售价、标价、利润等 （2）有关关系式： 商品利润=商品售价—商品进价=商品标价?折扣率—商品进价 商品利润率=商品利润/商品进价 商品售价=商品标价?折扣率 例 8. 一家商店将某种服装按进价提高 40%后标价，又以 8 折优惠卖出，结果每件仍获利 15 元，这种服装每件的进价 是多少？ 分析：探究题目中隐含的条件是关键，可直接设出成本为 X 元 进价 折扣率 标价 优惠价 利润 x元 8折 （1+40%）x 元 80%（1+40%）x 15 元

等量关系： （利润=折扣后价格—进价）折扣后价格－进价=15 解：设进价为 X 元，80%X（1+40%）—X=15，X=125 答：略. 9. 储蓄问题 ⑴ 顾客存入银行的钱叫做本金，银行付给顾客的酬金叫利息，本金和利息合称本息和，存入银行的时间叫做期数， 利息与本金的比叫做利率。利息的 20%付利息税 ⑵ 利息=本金?利率?期数 本息和=本金+利息 利息税=利息?税率（20%） 例 9. 某同学把 250 元钱存入银行，整存整取，存期为半年。半年后共得本息和 252.7 元，求银行半年期的年利率是 多少？（不计利息税） 分析：等量关系：本息和=本金?（1+利率） 解：设半年期的实际利率为 x， 250（1+x）=252.7， x=0.0108 所以年利率为 0.0108?2=0.0216 ◆规律方法应用 1． “今有鸡、兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何” ．题目大意：在现有鸡、兔在同一个笼子里，上 边数有 35 个头，下边数有 94 只脚，求鸡、兔各有多少只． 解：设有 x 只鸡，y 只兔子，由题意得

? x ? y ? 35, ? x ? 23, 解得 ? ? ?2 x ? 4 y ? 94, ? y ? 12.
2． 《希腊文集》中有一些用童话形式写成的数学题．比如驴和骡子驮货物这道题，就曾经被大数学家欧拉改编过，题目 是这样的：驴和骡子驮着货物并排走在路上，驴不住地埋怨自己驮的货物太重，压得受不了．骡子对驴说： “你发什 么牢骚啊！我驮的货物比你重，假若你的货物给我一口袋，我驮上的货就比你驮的重一倍，而我若给你一口袋，咱俩 驮的才一样多． ”那么驴和骡子各驮几口袋货物？你能用方程组来解这个问题吗？ 解：设驴子驮 x 袋，骡子驮 y 袋， 根据题意，得 ?

? y ? 1 ? 2( x ? 1), ? x ? 5, 解得 ? ? y ? 1 ? x ? 1. ? y ? 7.

3．戴着红凉帽的若干女生与戴着白凉帽的若干男生同租一游船在公园划船，一女生说： “我看到船上红、白两种帽子一 样多． ”一男生说： “我看到的红帽子是白帽子的 2 倍” ．请问：该船上男、女生各几人？ 解：设女生 x 人，男生 y 人，由题意得

? y ? x ? 1, ? x ? 4, 解得 ? ? ?2( y ? 1) ? x, ? y ? 3.
4

4．有一头狮子和一只老虎在平原上决斗，争夺王位，?最后一项是进行百米来回赛跑（合计 200m） ，谁赢谁为王．已知 每跨一步， 老虎为 3m， 狮子为 2m， ?这种步幅到最后不变， 若狮子每跨 3 步， 老虎只跨 2 步， 那么这场比赛结果如何？ 解：∵老虎跨 2 步 6m，狮子跨 3 步 6m，在折返点老虎多跨一步，∴狮子胜． 5．某公司的门票价格规定如下表所列，某校七年级（1）（2）两个班共 104 人去游公园，其中（1）班人数较少，不到 ， 50 人， （2）班人数较多，有 50 多人．经估算，如果两班都以班为单位分别购票，则一共应付 1 240 元；如果两班联 合起来，作为一个团体购票，?则可以节省不少钱，则两班各有多少名学生？ 购票人数 票 解：设七年级（1）班有 x 名学生，七年级（2）班有 y 名学生， 根据题意可列 ? ◆中考真题实战 6． （吉林）随着我国人口增长速度的减慢，小学入学儿童数量每年按逐渐减少的趋势发展，某地区 2003 年和 2004 年小 学入学儿童人数之比为 8：7，且 2003?年入学人数的 2 倍比 2004 年入学人数的 3 倍少 1 500?人，?某人估计 2005? 年入学儿童人数将超过 2300 人，请你通过计算，判断他的估计是否符合当前的变化趋势． 解：设 2003 年入学儿童人数为 x 人，2004 年入学儿童人数为 y 人， 则可列 ? 价 1~50 人 13 元/人 51~100 人 11 元/人 100 人以上 9 元/人

? x ? y ? 104, ? x ? 48, 解这个方程组,得 ? ?13x ? 11y ? 1 240. ? y ? 56.

?7 x ? 8 y, ? x ? 2 400, 解得 ? ?2 x ? 3 y ? 1500, ? y ? 2100.

∵2 300>2 100， ∴他的估计不符合当前入学儿童逐渐减少的趋势 一元一次不等式组及其应用 1． （2004，湖北省）如图所示，一筐橘子分给若干个儿童，如果每人分 4 个，?则剩下 9 个；如果每人分 6 个，则最后一 个儿童分得的橘子数少于 3 个，问共有几个儿童，?分了多少个橘子？． 1.设共有 x 个儿童，则共有（4x+9）个橘子，依题意，得 0≤4x+9-6（x-1）<3 解这个不等式组，得 6<x≤7.5． 所以 4x+9=4?7+9=37． 因为 x 为整数，所以 x 取 7．

故共有 7 个儿童，分了 37 个橘子．

2． （2005，江苏省）七（2）班有 50 名学生，老师安排每人制作一件 A 型和 B 型的陶艺品，学校现有甲种制作材料 36kg， 乙种制作材料 29kg，制作 A，B 两种型号的陶艺品用料情况如下表： 需甲种材料 1 件 A 型陶艺品 0.9kg 需乙种材料 0.3kg 5

1 件 B 型陶艺品 （1）设制作 B 型陶艺品 x 件，求 x 的取值范围；

0.4kg

1kg

（2）请你根据学校现有材料，分别写出七（2）班制作 A 型和 B 型陶艺品的件数． 2． （1）由题意得

?0.9(50 ? x) ? 0.4 x ? 36 ① ? ?0.3(50 ? x) ? x ? 29 ②
由①得 x≥18，由②得 x≤20， 所以 x 的取值范围是 18≤x≤20（x 为正整数） ． （2）制作 A 型和 B 型陶艺品的件数为 ①制作 A 型陶艺品 32 件，制作 B 型陶艺品 18 件； ②制作 A 型陶艺品 31 件，制作 B 型陶艺品 19 件； ③制作 A 型陶艺品 30 件，制作 B 型陶艺品 20 件． 3． （2008，青岛）2008 年 8 月，北京奥运会帆船比赛在青岛国际帆船中心举行，?观看帆船比赛的船票分为两种：A 种船 票 600/张，B 种船票 120/张．?某旅行社要为一个旅行团代购部分船票，在购票费不超过 5000 元的情况下，购买 A， B 两种船票共 15 张， 要求 A 种船票的数量不少于 B 种船票数量的一半， 若设购买 A 种船票 x 张， 请你解答下列问题： （1）共有几种符合题意的购票方案？写出解答过程； （2）根据计算判断：哪种购票方案更省钱？ 3． （1）由题意知 B 种票有（15-x）张．

? 15 ? x , ?x ? 根据题意得 ? 2 ?600 x ? 120(15 ? x) ? 5000, ?
解得 5≤x≤

20 ． 3
∴满足条件的 x 为 5 或 6． ∴共有两种购票方案：

∵x 为正整数，

方案一：A 种票 5 张，B 种票 10 张；

方案二：A 种票 6 张，B 种票 9 张．

（2）方案一购票费用为 600?5 元+120?10 元=4200 元； 方案二购票费用为 600?6 元+120?9 元=4680（元） ． ∵4200 元<4680 元，∴方案一更省钱． 4． （2006，青岛） “五一”黄金周期间，某学校计划组织 385 名师生租车旅游，现知道出租公司有 42 座和 60 座两种客车， 42 座客车的租金每辆为 320 元，60?座客车的租金每辆为 460 元． （1）若学校单独租用这两种车辆各需多少钱？ （2）若学校同时租用这两种客车 8 辆（可以坐不满） ，?而且要比单独租用一种车辆节省租金．请你帮助学校选择一 6

种最节省的租车方案． 4． （1）385÷42≈9．2 385÷60≈6．4， ∴单独租用 42 座客车需 10 辆，租金为 320?10=3200 元． ∴单独租用 60 座客车需 7 辆，租金为 460?7=3220 元．

（2）设租用 42 座客车 x 辆，则 60 座客车（8-x）辆，由题意得：

?42 x ? 60(8 ? x) ? 385, ? ?320 x ? 460(8 ? x) ? 3200.
∵x 取整数，∴x=4 或 5．

解之得 3

3 7

≤x≤5

5 ． 18

当 x=4 时，租金为 320?4+460?（8-4）=3120 元； 当 x=5 时，租金为 320?5+460?（8-5）=2980 元． 答：租用 42 座客车 5 辆，60 座客车 3 辆时，租金最少． 说明：若学生列第二个不等式时将“≤”号写成“<”号，也对． 5． （2005，深圳）某工程，甲工程队单独做 40 天完成，若乙工程队单独做 30 天后，?甲，乙两工程队再合作 20 天完成． （1）求乙工程队单独做需要多少天完成？ （2）将工程分两部分，甲做其中的一部分用了 x 天，乙做另一部分用了 y 天，其中 x，y 均为正整数，且 x<15，y<70， 求 x，y． 5．设乙工程队单独做需要 x 天完成． 则 30?

1 x

+20（

1 1 + 40 x

）=1，解之得 x=100．

经检验，x=100 是所列方程的解，所以乙工程队单独做需要 100 天完成． （2）甲做其中一部分用了 x 天，乙做另一部分用了 y 天， 所以

x y 5 + =1，即：y=10040 100 2

x，又 x<15，y<70，

5 ? ?100 ? x ? 70, 所以 ? ，解之得 12<x<15， 2 ? x ? 15 . ?

所以 x=13 或 14，又 y 也是为正整数，所以 x=14，y=65．

6． （2005，苏州）苏州地处太湖之滨，有丰富的水产养殖资源，水产养殖户李大爷准备进行大闸蟹与河虾的混合养殖， 他了解到如下信息： ①每亩水面的年租金为 500 元，水面需按整数亩出租； ②每亩水面可在年初混合投放 4kg 蟹苗和 20kg 虾苗； ③每公斤蟹苗的价格为 75 元，其饲养费用为 525 元，当年可获 1400 元收益； ④每公斤虾苗的价格为 15 元，其饲养费用为 85 元，当年可获 160 元收益； （1）若租用水面 n 亩，则年租金共需______元； （2） 水产养殖的成本包括水面年租金， 苗种费用和饲养费用， ?求每亩水面蟹虾混合养殖的年利润 （利润=收益-成本） ； （3）李大爷现有资金 25000 元，他准备再向银行贷不超过 25000 元的款，?用于蟹虾混合养殖，已知银行贷款的年利 率为 8%，试问李大爷应该租多少亩水面，?并向银行贷款多少元，可使年利润超过 35000 元． 7

6． （1）500n． （2）每亩的成本=500+20?（15+85）+4?（75+525）=4900 每亩的利润=20?160+4?1400-4900=3900（元） ． （3）设应该租 n 亩水面，向银行贷款 x 元，则 4900n=25000+x，即 x=4900n-25000． ① 根据题意，有

? x ? 25000 ? ?(1400 ? 4 ? 160 ? 20)n ? (2500 ? 1.08 x) ?? 35000 ?
将①代入②，得 4900n-25000≤25000 即 n≤

① ② ③

50000 ≈10.2 4900 33000 ≈9.4，∴n=10（亩） ， 3508

将①代入③，得 3508n≥33000， 即 n≥

x=4900?10-25000=24000（元） ． 答：李大爷应该租 10 亩水面，并向银行贷款 24000 元． 中考一元二次方程应用题例析 列一元二次方程求解应用题是中考命题热点之一，其主要类型有以下两种： 一、有关增长率问题 求解增长率问题的关键是正确理解增长率的含义．一般地，如果某种量原来是 a ，每次以相同的增长率（或减少率）
n n ，经过 n 次后的量便是 a(1 ? x) （或 a(1 ? x) ） ． x 增长（或减少）

例 1（2006 年湖北黄冈市）市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格。某种药品经过连续两次降价 后，由每盒 200 元下调至 128 元，求这种药品平均每次降价的百分率是多少？ 解
2

设这种药品平均降价的百分率是 x．
2

由题意，有 200(1﹣x) =128， 则(1﹣x) =0.64 ∴1﹣x=+0.8， ∴x1=0.2=20%， x2=1.8(不合题意，舍去)， 答：这种药品平均每次降价 20% 二、有关图形面积问题 例 2(2006 年广东省)将一条长为 20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形． (1)要使这两个正方形的面积之和等于 17cm ，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少? (2)两个正方形的面积之和可能等于 12cm 吗? 若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由． （1）解：设剪成两段后其中一段为 xcm，则另一段为（20-x）cm 由题意得： (
2 2

x 2 20 ? x 2 ) ?( ) ? 17 4 4

解得： x1

? 16 ， x2 ? 4
答： （略）

当 x1 ? 16 时，20-x=4 （2）不能

当 x2 ? 4 时，20-x=16

x 2 20 ? x 2 ) ?( ) ? 12 4 4 2 2 整理得： x ? 20 x ? 104 ? 0 ∵ △= b ? 4ac ? ?16 ? 0
理由是： ( 8

∴此方程无解 即不能剪成两段使得面积和为 12cm
2
2

例 3(2006 年辽宁) 如图 1，在宽为 20m，长为 32m 的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分） ，余下的部分种上草 坪．要使草坪的面积为 540m ，求道路的宽． （部分参考数据： 32 ? 1024 ， 52 ? 2704 ， 48 ? 2304 ）
2 2 2

解法（1） ：由题意转化为图 2，设道路宽为 x 米（没画出图形不扣分） 根据题意， 可列出方程为

? 20 ? x??32 ? x? ? 540

整理得 x 解得 x1

2

? 52 x ? 100 ? 0
图1 图2

， ? 50 （舍去） x2 ? 2

答：道路宽为 2 米

解法（2） ：由题意转化为图 3，设道路宽为 x 米，根据题意列方程得：

20 ? 32 ? ? 20 ? 32? x ? x2 ? 540
整理得： x 解得： x1
2

? 52 x ? 100 ? 0

? 2 ， x2 ? 50 （舍去）
图3

答：道路宽应是 2 米 三、有关利润问题 例 4 (2006 年南京市) 西瓜经营户以 2 元/千克的价格购进一批小型西瓜，以 3 元/千克的价格出售，每天可售出 200 千 克．为了促销，该经营户决定降价销售．经调查发现，这种小型西瓜每降价 0.1 元/千克，每天可多售出 40 千克．另外， 每天的房租等固定成本共 24 元．该经营户要想每天盈利 200 元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元? 解：设应将每千克小型西瓜的售价降低 x 元， 根据题意得： (3 ? 2 ? x)(200 ? 解这个方程得： x1

40 x ) ? 24 ? 200 0.1

? 0.2

x2 ? 0.3

答：应 将 每千 克小 型西 瓜的售 价 降低 0 . 2 或 0 . 3 元 一次函数应用题中的“数形结合”

数形结合思想在一次函数中的应用是中考命题的一个热点，解一次函数应用问题时，如果把数与形结合起来考虑， 即把问题的数量关系转化为图象的性质或者把图象的性质转化为数量关系，就可以使复杂的问题简单化，抽象的问题具 体化．本文选取几例，说明数形结合思想在一次函数实际问题中的应用，供复习时参考 一、从“数”到“形”的思想应用 例1 一辆速度为 90 千米/小时汽车由赣州匀速驶往南昌，下列图像中能大致反映汽车行驶路程 s（千米）和行驶时

9

间 t（小时）的关系的是(

)

分析： 根据题意得，汽车行驶路程 s（千米）和行驶时间 t（小时）的关系式是 s=60t,所以行驶路程 s 和行驶时间 t 成正比例函数关系，因为路程与时间都不能为负数，所以行驶路程 s 和行驶时间 t 之间的函数图象应该是在第一象限 的一条射线，故应选 D． 评注：解从“数”到“形”的问题时，应先找出两个已知变量之间的函数关系，然后根据函数关系式作出函数的大 致图象，从而归纳出函数的图象特征． 二、从“形”到“数”的思想应用 例 2 为了鼓励小强勤做家务，培养他的劳动意 识，小强每月的费用都 费从父母那里获取 得（即下月他可获得） 像如图所示． 为多少元；父母是如何

是根据上月他的家务劳动时间所得奖励加上基本生活 的．若设小强每月的家务劳动时间为 x 小时，该月可 的总费为 y 元，则 y（元）和 x（小时）之间的函数图 （1）根据图像，请你写出小强每月的基本生活费 奖励小强家务劳动的？ （2）写出当 0≤x≤20 时，相对应的 y 与 x 之间的函数关系式； （3）若小强 5 月份希望有 250 元费用，则小强 4 月份需做家务多少时间？

分析： （1）根据函数图象的信息可知，小强每月的基本生活费为 150 元，父母的奖励方法是：如果小强每月做家务 的时间不超过 20 小时，每小时获奖励 2.5 元；如果小强每月做家务的时间超过 20 小时， 那么 20 小时每小时按 2.5 元 奖励,超过部分按每小时奖励 4 元奖励； （2）根据函数图象知，当 0≤x≤20 时，它是一个一次函数图象，即设 y 与 x 之 间的函数关系式为 y=kx+b.因为点（0，150）（20，200）在函数 y=kx+b 上,所以函数关系式为 y=2.5x+150； ， （3）根据函 数图象知， x>20 时， 当 它也是一个一次函数图象， 即设 y 与 x 之间的函数关系式为 y=k 1 x+b 1 .因为点(20,200),(30,240) 在函数 y=k 1 x+b 1 上,所以函数关系式为 y=4x+120,当 y=250 时, 4x+120=250,解得 x=32.5． 评注：解从“数”到“形”的问题时，应注意观察函数图象的形状特征，充分挖掘图象中的已知条件，确定函数的 解析式，从而利用函数的图象性质来解． 三、“数形结合”思想的综合运用 例3 某校部分住校生， 放学后到学校 锅炉房打水， 每人接水 因故障关闭 一个放水 计，且不发生泼洒，锅 数图象如图． 10

2升，他们先同时打开两个放水笼头，后来 笼头．假设前后两人接水间隔时间忽略不 炉内的余水量y(升)与接水时间x(分)的函

请结合图象，回答下列问题： （1）根据图中信息，请你写出一个结论； （2）前 15 位同学接水结束共需要几分钟？ （3）小敏说：“今天我们寝室的 8 位同学去锅炉房连续接完水恰好用了 3 分钟．”你说可能吗？请说明理由． 分析： （1）根据函数的图象信息可知，锅炉内原有水96升；接水2分钟以后锅炉内的余水量为80升；接水4分钟以后 锅炉内的余水量为72升等等． （2）根据函数图象知，当0≤x≤2时，它是一个一次函数图象， 设y与x之间的函数关系式为y=kx+b. 因为点（0，96）（2，80）在函数y=kx+b上, ， 所以函数关系式为y=-8x+96； 当x>2时，它也是一个一次函数图象， 设y与x之间的函数关系式为y=k 1 x+b 1 . 因为点(2,80),(4,72)在函数y=k 1 x+b 1 上, 所以函数关系式为y=-4x+88, 前15位同学接水后的余水量为96-15?2=66， 当y=66时，代入y=-4x+88中，解得x=5.5． （3）①若小敏他们是一开始接水的，则接水时间为8?2÷8=2（分钟） ，8位同学接完水只要2分钟，与接完水时间恰 好用了3分钟不相符； ② 若 小 敏 他 们 是 在 若 干 位 同 学 接 完 水 后 开 始 接 水 的 ， 设 这 8 为 同 学 从 t 分 钟 开 始 接 水 ， 当 0<t≤2 时 , 则 8(2-t)+4

?3 ? (2 ? t )? =8?2,解得t=1, 所以(2-t)+ ?3 ? (2 ? t )? =3(分钟).符合;
当t>2时,则8?2÷4=4(分钟),与接水时间3分钟不符, 所以小敏的说法是有可能的.即从1分钟开始8位同学连续接完水恰好用了8分钟． 评注：解“数形”结合的问题时，应注意运用“由数想形，以形助数”的解题策略，充分挖掘题目中的已知条件，

从而创造性地解决问题． 分式应用题 4． （2009 年桂林市、百色市） （本题满分 8 分）在我市某一城市美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标．经测算： 甲队单独完成这项工程需要 60 天；若 由甲队先做 20 天，剩下的工程由甲、乙合做 24 天可完成． （1）乙队单独完成这项工程需要多少天？ （2）甲队施工一天，需付工程款 3.5 万元，乙队施工一天需付工程款 2 万元．若该工程计划在 70 天内完成，在不超 过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成该工程省钱？还是由甲乙两队全程合作完成该工程省钱？ 关键词】分式方程 【答案】解： （1）设乙队单独完成需 x 天 根据题意，得

1 1 1 ? 20 ? ( ? ) ? 24 ? 1 60 x 60
y 天，则有 (

解这个方程，得 x =90 ∴乙队单独完成需 90 天

经检验， x =90 是原方程的解 （2）设甲、乙合作完成需

1 1 ? )y ?1 60 90

解得

y ? 36 （天）

甲单独完成需付工程款为 60?3.5=210（万元）

乙单独完成超过计划天数不符题意（若不写此行不扣分） ．

甲、乙合作完成需付工程款为 36（3.5+2）=198（万元） 答：在不超过计划天数的前提下，由甲、乙合作完成最省钱． 5.某电脑公司经销甲种型号电脑， 受经济危机影响， 电脑价格不断下降． 今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价 1000 11

元，如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为 10 万元，今年销售额只有 8 万元． （1）今年三月份甲种电脑每台售价多少元？ （2）为了增加收入，电脑公司决定再经销乙种型号电脑．已知甲种电脑每台进价为 3500 元，乙种电脑每台进价为 3000 元，公司预计用不多于 5 万元且不少于 4.8 万元的资金购进这两种电脑共 15 台，有几种进货方案？ （3）如果乙种电脑每台售价为 3800 元，为打开乙种电脑的销路，公司决定每售出一台乙种电脑，返还顾客现金 a 元，要使（2）中所有方案获利相同， a 值应是多少？此时，哪种方案对公司更有利？ 【关键词】分式方程、一次函数与一元一次不等式（组） 【答案】解：(1)设今年三月份甲种电脑每台售价 x 元

100000 80000 ? x ? 1000 x 解得: x ? 4000 x ? 4000 是原方程的根, 经检验:
所以甲种电脑今年三月份每台售价 4000 元. (2)设购进甲种电脑 x 台, 解得 (3)

48000? 3500x ? 3000 15 ? x) ? 50000 (

6 ? x ? 10 设总获利为 W

因为 x 的正整数解为 6,7,8,9,10, 所以共有 5 种进货方案 元,

W ? (4000? 3500 x ? (3800? 3000? a)(15 ? x) ) ? (a ? 300) x ? 12000? 15a
当a

? 300 时,

(2)中所有方案获利相同.

此时, 购买甲种电脑 6 台,乙种电脑 9 台时对公司更有利. 7.(2009 年达州)某学生食堂存煤 45 吨，用了 5 天后，由于改进设备，平均每天耗煤量降低为原来的一半，结果多烧了 10 天. （1）求改进设备后平均每天耗煤多少吨？ （2）试将该题内容改编为与我们日常生活、学习有关的问题，使所列的方程相同或相似（不必求解）. 【关键词】分式方程的应用 【答案】21.解： （1） 设改进设备后平均每天耗煤 x 吨，根据题意，得： 45x+10=45－10xx+5 解得 x=1 ? 5 经检验，x=1 ? 5 符合题意且使分式方程有意义 答：改进设备后平均每天耗煤 1 ? 5 吨 （2）略（只要所编应用题的方程与原题的方程相同或相似均可得分） 8.（2009 年湖北十堰市）已知：a+b=3，ab=2，求下列各式的值： （1）a b+ab
2 2

（2）a +b

2

2

【关键词】因式分解、简单的二元二次方程组的解法 【答案】解法①： （1） a
2

b ? ab2 ? ab(a ? b) ? 2 ? 3 ? 6
2

（2） ∵ (a ? b) ∴a
2

? a 2 ? 2ab ? b 2

? b 2 ? (a ? b) 2 ? 2ab ? 32 ? 2 ? 2 ? 5

解法②： 由题意得 ?

?a ? b ? 3 ?ab ? 2

解得： ?

?a1 ? 2 ?b1 ? 1

?a 2 ? 1 ? ?b2 ? 2

当 a ? 2, b ? 1 时， a 2 b ? ab2 ? 4 ? 2 ? 6, a 2 ? b 2 ? 4 ? 1 ? 5 当 a ? 1, b ? 2 时， a 2 b ? ab2 ? 2 ? 4 ? 6, a 2 ? b 2 ? 1 ? 4 ? 5 12

说明： （1）第二种解法只求出一种情形的给 4 分； （2）其它解法请参照上述评分说明给分． 9.（2009 年湖北十堰市）某工厂准备加工 600 个零件，在加工了 100 个零件后，采取了新技术，使每天的工作效率是原 来的 2 倍，结果共用 7 天完成了任务，求该厂原来每天加工多少个零件？ 【关键词】分式方程及 增根 【答案】解：设该厂原来每天加工 x 个零件， 由题意得： 件。 10． （2009 年山东青岛市）北京奥运会开幕前，某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销，就用 32000 元购进了一批 这种运动服，上市后很快脱销，商场又用 68000 元购进第二批这种运动服，所购 数量是第一批购进数量的 2 倍，但每套 进价多了 10 元． （1）该商场两次共购进这种运动服多少套？ （2）如果这两 批运动服每套的售价相同，且全部售完后总利润率不低于 20%，那么每套售价至少是多少元？（利润率

100 500 ? ?7 x 2x

解得

x=50

经检验：x=50 是原分式方程的解

答：该厂原来每天加工 50 个零

?

利润 ?100% ） 成本

【关键词】分式方程及增根、不等式（组）的简单应用 【答案】解： （1）设商场第一次购进 x 套运动服，由题意得：

68000 32000 ? ? 10 ，解这个方程，得 x ? 200 ．经检验， x ? 200 是所列方程的根． 2x x 2 x ? x ? 2 ? 200 ? 200 ? 600 ． 所以商场两次共购进这种运动服 600 套．
（2）设每套运动服的售价为

y 元，由题意得：

600 y ? 32000 ? 68000 ≥ 20% ， 32000 ? 68000
解这个不等式，得

y ≥ 200 ，

所以每套运动服的售价至少是 200 元． 11.（2009 年新疆乌鲁木齐市）解方程 【关键词】分式方程及增根 【答案】解：方程两边同乘以 x ? 2 ，得 3 ? ( x ? 3) ?

3 x?3 ? ? 1． x?2 2? x
x ? 2 ，即 2 x ? 8 ，解得 x ? 4 ． 4 分

? 4 时， x ? 2 ? 0 ， ∴原方程的解是 x ? 4 ．
检验： x 检验：x=1 时，x－2≠0，所以 1 是原分式方程的解. 18． （2009 年哈尔滨）跃壮五金商店准备从宁云机械厂购进甲、乙两种零件进行销售．若每个甲种零件的进价比每个乙 种零件的进价少 2 元，且用 80 元购进甲种零件的数量与用 100 元购进乙种零件的数量相同． （1）求每个甲种零件、每个乙种零件的进价分别为多少元？ （2）若该五金商店本次购进甲种零件的数量比购进乙种零件的数量的 3 倍还少 5 个，购进两种零件的总数量不超过 95 个，该五金商店每个甲种零件的销售价格为 12 元，每个乙种零件的销售价格为 15 元，则将本次购进的甲、乙两种零 件全部售出后，可使销售两种零件的总利润（利润＝售价－进价）超过 371 元，通过计算求出跃壮五金商店本次从宁云 机械厂购进甲、乙两种零件有几种方案？请你设计出来． 【答案】 （1）可列分式方程求解，但要注意检验，否则扣分； （2）依据题意列出 不等式组，注意不等号中是否有等于， 根据未知数都为整数，再结合不等式组的解集，确定未知数的具体数值，有几个值，即有几种方案. 解： （1）设每个乙种零件进价为 x 元，则每个甲种零件进价为 ( x ? 2) 元．由题意得 13

80 100 ? ， x?2 x
（2）设购进乙种零件

解得 x

? 10 ．检验：当 x ? 10 时， x( x ? 2) ? 0 ，

? x ? 10 是原分式方程的解． 10 ? 2 ? 8 （元）答：每个甲种零件的进价为 8 元，每个乙种零件的进价为 10 元．
y 个，则购进甲种零件 (3 y ? 5) 个

由题意得 ? 种方案．

?3 y ? 5 ? y ≤ 95， 解得 23 ? y ≤ 25 ． ? y 为整数，? y ? 24 或 25 ．? 共有 2 ?(12 ? 8)(3 y ? 5) ? (15 ? 10) y ? 371

分别是： 方案一：购进甲种零件 67 个，乙种零件 24 个； 方案二：购进甲种零件 70 个，乙种零件 25 个． 19．(2009 年南充)在达成铁路复线工程中，某路段需要铺轨．先由甲工程队独做 2 天后，再由乙工程队独做 3 天刚好完 成这项任务．已知乙工程队单独完成这项任务比甲工程队单独完成这项任务多用 2 天，求甲、乙工程队单独完成这项任 务各需要多少天？ 【关键词】列分式方程解决实际问题 【答案】解：设甲工程队单独完成任务需 x 天，则乙工程队单独完成任务需 ( x ? 2) 天， 依题意得

2 3 ? ? 1． x x?2

化为整式方程得

x 2 ? 3x ? 4 ? 0

解得x

? ?1 或 x ? 4 ．

检验：当 x 但x

? 4 和 x ? ?1 时， x( x ? 2) ? 0 ， ? x ? 4 和 x ? ?1 都是原分式方程的解．
． ? 乙单独完成任务需要 x ? 2 ? 6 （天）

? ?1 不符合实际意义，故 x ? ?1 舍去；

答：甲、乙工程队单独完成任务分别需要 4 天、6 天． 21.（2009 年莆田）面对全球金融危机的挑战，我国政府毅然启动内需，改善民生．国务院决定从 2009 年 2 月 1 日起， “家电下乡”在全国范围内实施，农民购买人选产品，政府按原价购买总额的 13%给予补贴返还．某村委会组织部分农 ．．．．． ．． ． 民到商场购买人选的同一型号的冰箱、电视机两种家电，已知购买冰箱的数量是电视机的 2 倍，且按原价购买冰箱总额 为 40000 元、电视机总额为 15000 元．根据“家电下乡”优惠政策，每台冰箱补贴返还的金额比每台电视机补贴返还的 金额多 65 元，求冰箱、电视机各购买多少台？ （1）设购买电视机 x 台，依题意填充下列表格： 项目 购买数量（台） 家电种类 冰箱 电视机 原价购买总额 （元） 40 000 政府补贴返还 比例 13% 13% 补贴返还总金 额（元） 每台补贴返还 金额（元）

x

15 000

（2）列出方程（组）并解答． （1）每个空格填对得 1 分，满分 5 分．

2x

40 000

13%

40 000 ?13% 或 5200
15 000?13%或 1950

x
（2）解:依题意得

15 000

13%

40000 ?13% 5200 2600 或 或 2x 2x x 15000 ?13% 1950 或 x x

40000 ?13% 15000 ? 13% ? 65 － 2x x 解得 x ? 10 经检验 x ? 10 是原分式方程的解 ? 2 x ? 20．
答:冰箱、电视机分别购买 20 台、10 台 10 分 23. (2009 年甘肃定西)去年 5 月 12 日，四川省汶川县发生了里氏 8.0 级大地震，兰州某中学师生自愿捐款，已知第一天捐款 4800 元，第二天捐款 6000 元，第二天捐款人数比第一天捐款人数多 50 人，且两天人均捐款数相等，那么两天共参加捐款的 人数是多少？人均捐款多少元？ 14

【关键词】用分式方程解决实际问题 【答案】 解法 1：设第一天捐款 x 人，则第二天捐款（x+50）人， 由题意列方程

4800 x

=

6000 x ? 50

．

解得 x =200． 检验：当 x =200 时，x（x+50）≠0， ∴ x =200 是原方程的解．

两天捐款人数 x+（x+50）=450， 人均捐款

4800 x

=24（元） ．

答：两天共参加捐款的有 450 人，人均捐款 24 元．

说明：只要求对两天捐款人数为 450， 人均捐款为 24 元，不答不扣分． 解法 2：设人均捐款 x 元， 由题意列方程

6000 4800 － x x

＝50 ．

解得 x =24．