2014第55届国际数学奥林匹克(IMO)真题官方中文版(全6题完整高清版)

madio

第一天

第1题

设a0<a1<a2<…是一个无穷正整数列,

证明:存在唯一的整数n≥1使得:an<a0+a1+…+ann≤an+1

第2题

设n≥2是一个整数.考虑由n2个单位正方形组成的n×n棋盘.一种放置n个棋子“车”的方案被称为是和平的.如果每一行和每一列上都恰好有一个“车”.求最大的正整数k,使得对任何一种和平放置n个“车”的方案,都存在一个k×k的正方形,它的k2个单位正方形里都没有“车”.

第3题

在凸四边形ABCD中∠ABC=∠CDA=90°.点H是A向BD引的垂线的垂足.点S和点T分别在边AB和边AD上,使得H在三角形SCT内部,且:∠CHS−∠CSB=90°,∠THC−∠DTC=90°

证明:直线BD和三角形TSH的外接圆相切.

第二天

第4题
点P和Q在锐角三角形ABC的边BC上,满足∠PAB=∠BCA且∠CAQ=∠ABC.点M和N分别在直线AP和AQ上,使得P是AM的中点,Q是CN的中点.
证明:直线BM和CN的交点在三角形ABC的外接圆上.

第5题
对每一个正整数n,开普敦银行都发行面值为1n的硬币.给定总额不超过99+12的有限多个这样的硬币(面值不必两两不同),证明可以把他们分为至多100组,使得每一组中硬币面值之和最多是1.

第6题
平面上的一族直线被称为是处于一般位置的,如果其中没有两条直线平行,没有三条直线共点.一族处于一般位置的直线把平面分割成若干区域,我们把其中面积有限的区域称为这族直线的有限区域.

证明: 对于充分大的n和任意处于一般位置的n条直线,我们都可以把其中至少n√条直线染成蓝色,使得每一个有限区域的边界都不全是蓝色的.

注:如果你的答卷上证明的是cn√(而不是n√),那么将会根据常数c的值给分.

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平凡之不凡

牛

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谢谢楼主的分享

dsk1209

看一下。拿资料。谢谢大神，多多传资料哦！