你真的清楚学生的理解方式吗

百年孤独

问题提出

记得儿子刚上一年级在做5与6的大小比较时，他居然很肯定地说：“5比6大”。我第一反应是他的口误，让他再说一遍，可是他仍然坚持已见。我非常纳闷：儿子一向很机灵，在幼儿园的口算表现也不错，怎么上一年级了，连5和6的大小都分不清呢？这其中一定有原因，我得好好听听他的想法。他伸出了5个指头，又让我伸出6个指头，说道：“这是5，这是6。5小，6大，这不就是5比6大吗？”原来儿子的“5比6大”，是指5与6比，6大的意思。儿子是分得清5与6的大小关系的，只是表述不对，或者说他的表述方式不同于我们成人的表述方式而已。
无独有偶，几年前在教学六年级有关分数的实际问题时，一次单元测试中有这样一道判断题：“一袋大米，第一天吃去1/2，第二天吃去剩下的1/2，刚好把这袋大米吃完。”记得自己刚工作时看到这样的判断，压根就没把它当会事，甚至认为学生就是不学分数的意义，也能将它判为错，可事实上，历年来总有不少学生认为这个表述是对的。为什么这样一些在我们成人看来极其简单的问题，学生就偏偏会答错呢？讲评时我责怪学生审题不清，并辅以线段图提醒学生前后两个单位“1”的量不同，可仍然有学生重复之前的错误。
课后班上有一位成绩很优秀的学生拿着这道题来反问我为什么这个判断是错的。看来他并没有接受我讲评时的思路。这道题真的那么难理解吗？我只好让他说说这个判断对的理由。他的解释十分简单，第一天吃去1/2，另一份是剩下的1/2，第二天把剩下的1/2吃了，当然是刚好吃完。听到他的解释，我才知道学生出错的真正原因。带着发现的惊喜，我又给学生重新讲评了这道题。自此，学生再也没有出现过类似的错误。
这两次经历给我的感触很深：很多时候我们只关心学生的理解能力，而忽视了学生普遍习惯的理解方式，甚至将学生发生的错误统统归结为理解能力的差异，从而导致教学过程的貌合神离。
这里提到的理解能力与理解方式之间的区别，可以用下面一道题加以说明：一只鸡重量的2/3等于一只鸭重量的1/2，求鸡与鸭的重量之比。如果学生认为鸡的重量∶鸭的重量＝2/3∶1/2＝4∶3，这样的错误就不是理解方式的错误，而是理解能力的问题。上文中提到的两种错误就与学生的理解能力无关，完全是不同的理解方式引起的。当然学生的很多错误往往是理解方式的偏差与理解能力不足共同作用的结果。
虽然理解方式所引起的错误不是数学教学的主要矛盾，但笔者在教育教学杂志上很少看到这方面的研究。本文拟对此作些粗浅的探讨。
实践思考

1.学生特有理解方式的具体表现。
学生特有的、有别于成人的理解方式，并不是个别现象，其中有对文字的理解不到位的，也有对事物的认识不全面的等情况。笔者以点带面作一简单列举：
⑴判断题：把单位“1”分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。
虽然教师在教学中，反复强调平均分的重要性，但是学生遇到这样的判断题，总有人认为是对的。在他们看来，“分成”在没有强调的情况下，很自然地就默认为是“平均分”了。
⑵填空题：4÷5＝（　）÷10＝（　）÷15＝12/（  ）。
学生的答案让我们匪夷所思：4÷5＝（0.8）÷10＝（0.08）÷15＝12/（  ）,原来他把第一、第二个括号里要填的数理解成是前一道算式的结果，而最后一个括号是在分母的位置，当然就无从下手了。如果我们在讲评时，仅仅是围绕分数的基本性质、商不变的规律，那么学生在下次遇到这类问题时，很有可能犯同样的错误。
⑶判断题：平行四边形不是轴对称图形。
确有一部分学生认为这句话是错的，但他并没有把一般平行四边形当成轴对称图形来理解，而是认为长方形、正方形也属于平行四边形，它们是轴对称图形，所以他们认为正确的表述应是平行四边形有的是轴对称图形，有的不是轴对称图形。
⑷判断题：甲数除以乙数，等于甲数乘乙数的倒数。
习惯上这道题应判为错，因为它没有突出乙数不是0（这在教科书中的结语有明确的表述）。但学生有他的理解：甲数除以乙数是前提，既然可以除，乙数就不应该是0，乘乙数的倒数是结论，判断的对象应是结论，所以没有错。
（5）填空题：晚上9:00用24小时计时法表示是（      ）。
教师反复讲21:00就表示晚上9:00，但学生不写“晚上21:00”不放心。
（6）选择题：将含盐率为10%的盐水，放在太阳底下蒸发掉10克水，现在的盐水含盐率是（　 ）。选项：①比10%高　②比10%低　③还等于10%　④不能确定
部分学生错误地认为在水的蒸发过程中，盐也会被同时蒸发掉。
2.如何正确处理学生特有的理解方式。
（1）教师应尽可能地将学生因理解方式引起的错误与其他原因引起的错误区别开来。
学生因理解方式引起的错误往往与其他原因引起的错误搅和在一起。教师要想真正地将因为理解方式引起的错误区别出来，必须确立民主、平等、和谐的师生关系。在学生发生错误时，教师不能先入为主地认为学生一定是没学懂所造成的，也不要经验主义，一言堂地将正确解法按部就班地讲一遍了事，而应该真诚地听取有错误学生的真实想法，真正使学生敢说、愿说。这里试举一例：列年来学生在计算圆锥的体积时总有不在少数的同学忘乘1/3。或许不少教师认为学生只是审题不清造成的，但学生为什么在涉及圆锥体积计算时审题不清的比例远远高于其他类型的题呢？这个问题或许很多教师并没有细想过。我经过仔细观察发现，学生审题时，“圆柱、圆锥”这类形状信息往往被当作次要内容一带而过，而把关注的重点放在底面半径和高这样一些具体数据信息上，拿到题就找数据。如果学生不改变这种审题习惯，忘乘1/3的现象就不可能真正杜绝。所以我采取两种策略：一是在命题时，适当地以图形代替文字描述，利用无关注意强化形状信息；纯文字描述题要求学生在审题时一定要把圆锥（或圆柱）用笔圈出来。这之后，学生类似的错误果然就减少了很多。如果教师不了解学生出错的真正原因，仅仅是重复要求学生不要忘乘1/3，很难取得实质性的效果。
听取学生想法既可以在课堂上完成，也可以在课后完成。但我认为课后交流是一个更好的渠道。多年的教学经验告诉我，学生在课后与教师交流，表达更真实、更自信。特别要指出的是教师不仅要关心那些优秀学生所出现的与众不同的理解方式，更要关心普通学生甚至后进学生的独特理解方式。只有真正理解了学生的真实思维，教学才可能有的放矢，对症下药。
2.科学严谨表达，尽可能减少学生因理解方式原因而产生的错误。
学生产生不同于成人的理解方式，既有生活经验不足、相关知识匮乏的原因，也有教师表达不严谨使学生产生歧义的因素。这里也可以举一个例子：至少请多少名同学参加生日晚会，才有可能两个人的生日是在同一个月？很多同学的答案就是2人，而正确答案是13人。造成错误的原因就是对问题的不同理解方式上。学生理解的至少是有这种可能性的至少，而命题人的至少是确保不少于两人生日在同一个月的前提下的至少，但问题的本身却并没有突出这层含义，所以产生错误的原因不全在学生。
如何做到科学严谨地表述问题呢？问题语言应反复斟酌，尽可能用浅显明白的文字进行表述。例如，判断题：甲数的1/2于乙数的23，甲数比乙数大。这道题的数量关系并不复杂，但有一个知识点会缠绕学生：甲数、乙数会不会同时为0？习惯性地理解一个数的几分之几不包含0，但这样的问题很难与学生讲清楚，同时价值也不大，所以我们在表述时，不妨就告诉学生甲数、乙数不为0，使学生将注意力集中在数量关系的分析，而不是细枝末节的小问题。
同时，我们还可以改一改传统的数学题型。例如，将判断题改为改错题，学生通过改错充分暴露思维的过程。如果是理解方式上出现差异，教师不仅能在第一时间发现，更可以做到对症下药。
3.关注学生独特的理解方式，应成为数学教师的一种职业习惯。
学生特有的理解方式有显著的年龄特征，且具有一定的普遍性，是一种重要的教学资源。这样的教学资源主要靠教师自己在平时的教学实践中慢慢积累，很难间接获得。这就要求我们教师随时关注学生的理解方式，发现学生的理解比较特别时，要一“听”（倾听学生的想法），二“想”（站在学生的层面去想），三“解”（有针对性地帮助学生理解）。同时，还可以把一些典型的理解方式加以记录和整理，真正把关注学生理解方式作为自己的一种职业习惯，做一个真正了解学生的老师。
记得一位数学教育家曾经说过，数学对于一般人来说确实很难，一方面是数学抽象的自身特点所决定的，但另一方面也不排除人为地将数学复杂化了，这是不可取的。让我们共同关注学生独特的理解方式，更好地为学生的数学学习服务。