浅谈转化思想在初中数学中的应用

zhangtt123

浅谈转化思想在初中数学中的应用

关键词：浅淡   转化思想   初中数学   应用

   

内容摘要：在解决初中数学问题时，我们若不善于灵活思考，活学活用，发散思维，或者一个劲儿钻牛角尖，那么有的数学问题就难以解决。然而如果我们在思考问题时，善于利用转化思想，很多问题的解决方法，确实简洁可行，令人拍案叫绝。本文就近年在教学中所接触到的，利用转化思想解决数学问题的点滴思考，作些粗浅的讨论。

数学思想方法是指对数学知识和方法形成的规律性的理性认识，是解决数学问题的根本策略。数学思想方法揭示概念、原理、规律的本质，是沟通基础知识与能力的桥梁，是数学知识的重要组成部分。在整个初中数学常见的思想方法有整体思想、转化思想、分类讨论思想、数形结合思想、方程思想、函数思想等。其中，我认为转化思想是一种比较重要，且使用范围最广的思想方法。如解方程中的消元，三元转化为二元，二元转化为一元，二次方程转化为一次方程解决，几何图形中圆的问题通常利用添加辅助线转化为四边形或三角形的问题解决，四边形的证明又常连接对角线转化为三角形问题解决等等。然而在解决这些问题时，若不注意归纳和总结，往往下笔千言离题万里，或者对这些习题一筹莫展。但是若能发散思维，转化思考方向，问题即可迎刃而解。

所谓转化思想，顾名思义即是在解决数学问题时，如果对当前的问题感到生疏困惑，可以把它进行变换，使之化繁为简，化难为易，化生疏为熟悉，从而使问题得以解决的思想方法。它是初中数学中很重要的解题方法之一，也是科学研究的一种重要方法，还是中考试题中常出现的一种考题。那么在初中数学中有哪些常见的问题可以用转化思想解决呢？现就此作如下简述，还望各位专家读者给予指导。

第一、转化思想在运算问题中的应用

数学运算是数学学习中最基本的能力之一，在许多数学问题中，若一味就计算而计算，不懂得将数学知识融会贯通，不会避繁就简，换个角度思考问题，往往会走许多弯路，得不偿失。此时，若利用转化思想将其稍作变换，会得到出其不意的效果。

如：已知x=1- ，y=1+，求x2+y2-xy-2x+2y的值。若直接带入计算，非常繁琐，容易出错。在这里我们如能利用添“0”的方法，将所求代数式转化为两个完全平方，

写成解：原式=x2-2x+1+y2+2y+1-2+xy

=(x-1)2+(y+1)2-2+xy

=(1- -1)2+(1+ +1)2-2+(1- )(1+ )

=(- )2+(2+ )2-2+1-2

=2+4+4 +2-2+1-2

=5+4

通过这一转化使较为复杂的求值问题迎刃而解。

第二、转化思想在解方程中的应用

初中数学内容的一元一次方程，二元一次方程，三元一次方程，分式方程和一元二次方程。在解二元一次方程和三元一次方程时，都是将方程通过加减消元或者代入消元法，将方程中的未知数逐一消去，最终转化为一元一次方程来解。解一元二次方程也是通过降次将二次方程转化为一次方程求解，无不体现出转化思想在解方程中的重要作用。不仅如此，转化思想还为我们解一些较为复杂的方程提供便捷。

如：解方程2（x-1）2-5(x-1)+2=0。如果把方程展开后再解，显然比较繁琐，解答过程容易出错。若能仔细观察方程特点，方程中含有两个（x-1），将（x-1）设为y,原方程可转化为含有y的简单一元二次方程。

解：设（x-1）=y,则有2y2-5y+2=0

解得y1=    y2=2

即（x-1）=   或（x-1）=2

所以x1=     x2=3

又如：解方程 ，如果按照解分式方程的一般方法，先去分母化为整式方程解答，解答过程非常繁琐，若先把方程移项得

，

两边分别通分并化简，得

去分母得

解这个整式方程得 ，经检验 是原分式方程得解。

第三、转化思想在函数问题中的应用

函数是初中数学中体现数形结合的重要知识点，所以在解决函数问题时，既要运用代数知识中的方程，在关于函数图像的问题中，几乎都要借助图像进行分析、研究，在讨论函数值的大小时，还应用不等式或者不等式组，相互转化。

例如：求一次函数y=3x+2与二次函数y=x2+3x图像的交点坐标。

按照常规思维学生很容易想到，已知一次函数和二次函数的解析式，可在平面直角坐标系中画出函数图像来求解，但由于作图存在误差，得出的结果可能会不准确。如能换个角度来思考，函数图像交点坐标满足函数关系式，则交点坐标的有序数对值，即是y=3x+2与y=x2+3x组成的方程组的解，于是将此问题转化为解方程x2+3x=3x+2，解之得x1=- ，x2= ,于是y1=-3 +2,y2=3 +2。从而准确求出函数图像的交点坐标为（- ，-3 +2）和（，3 +2）。

第四、转化思想在几何问题中的应用

几何图形是初中数学中最具变化性的数学问题，其中的点、线、面，三角形、四边形、圆形相互联系，点组成线，线组成形，三角形组成四边形，圆中研究的又是三角形和多边形，知识交错联系，变化无穷，所以有“几何几何，闷死脑壳；老师难教，学生难学”的谣传。虽然，这只是一些对几何知识不理解的学习者的一面之词，但也从一定层面道出了几何知识的复杂性。由此看来，在解决几何问题的过程中，就更有必要强调化繁为简，化难为易，化生疏为熟悉的转化思想。

例如：如图，在四边形ABCD中，∠B=900，AB=3，BC=4,CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。很显然，这是一个不规则的四边形，直接求四边形面积很难求解，但若仔细观察不难发现，连接AC后就把问题转化为两个直角三角形，从而轻松求出四边形的面积为36。即是将不规则图形转化为规则图形解决几何问题，在几何图形中类似情况，不胜列举。

第五、转化思想在实际问题中的应用

数学来源于生活，又为生活服务，因此，很多生活中的实际问题，都可用数学知识来解决，而这些问题往往都是比较综合的数学问题，我们在解决这些问题时常常用到方程、函数、几何图形的知识内容，有时图形的问题需要转化为方程解决，有时在解方程时又要结合图形来分析，总之均要在数与式，方程与不等式，函数、几何图形之间相互转化。

例如:某旅游商品经销店,欲购进A、B两种纪念品，若用380元购进A种纪念品7件，B种纪念品8件；也可以用380元购进A种纪念品10件，B种纪念品6件。

（1）求A、B两种纪念品的进价分别为多少？

（2）若该商店每销售1件A种纪念品可获利5元，每销售1件B种纪念品可获利7元，该商店准备用不超过900元购进A、B两种纪念品40件，且这两种纪念品全部售出后总获利不低于216元，问应该怎样进货，才能使总获利最大，最大为多少？

（１）问由题意可知，列方程组即可求解得A、B两种纪念品的进价分别为20元和30元。然而第二问,求怎样进货才能获得最大利润是多少，读完题目后都能想到列不等式组求出购买A、B两种纪念品的取值范围，如果按照常规思维，应在这一取值范围内，分别计算出每一组数值获得的利润，比较后即可。这样计算显然较为繁琐，但若能联系函数求最值，此题即可轻松求解。

即：设商店准备购进A种纪念品m件，则购进B种纪念品（40-m）件，由题意可得20a+30(40-a)≤900 5a+7(40-a)≥216，联立解之得：30≤a≤32，又因为总利润为w=5a+7(40-a)=-2a+280是a的一次函数，且w随a的增大而减小，所以当a=30时，w最大为-2×30+280=220。即当商店进A种纪念品30件，B种纪念品10件时才能获得最大利润为220元。

综上所述，转化思想是初中数学中一种重要而应用广泛的思想方法，它在解决初中数学问题中至关重要，无论是数与式的计算，解方程（组）或不等式（组），函数问题的解决，还是几何图形的求值和证明，都有着化难为易、化繁为简的重要作用。当然在解决初中数学问题时，转化思想除了上述列举的应用之外，转化思想在化简求值，因式分解等问题的应用都十分广泛，在此就不一一列举，愿我们学习者都能用好数学中的转化思想。