初中数学知识点汇总（二）

重光兰衣

初中知识点汇总

专题三 函数考点3.1 位置与坐标1、平面直角坐标系　　在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。　　其中，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点O（即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。　　为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。　　注意：x轴和y轴上的点，不属于任何象限。　　2、点的坐标的概念　　点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有"，"分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标点的坐标：设点P是坐标平面内的任一点，由点P向轴作垂线，垂足对应着轴上的一个实数；由点P向轴作垂线，垂足对应着轴上一个实数，则点P的坐标就是()，其中叫点P的横坐标，叫做点P的纵坐标．说明：点的坐标的定义实际上给出了求点的坐标的一种非常重要的方法，要注意横坐标与纵坐标的顺序不能颠倒．　3、不同位置的点的坐标的特征﹝1﹞、各象限内点的坐标的特征点P(x,y)在第一象限　　点P(x,y)在第二象限　　点P(x,y)在第三象限　　点P(x,y)在第四象限　　﹝2﹞、坐标轴上的点的特征　　点P(x,y)在x轴上，x为任意实数　　点P(x,y)在y轴上，y为任意实数　　点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上x，y同时为零，即点P坐标为（0，0）　　﹝3﹞、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征　　点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上x与y相等　　点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上x与y互为相反数　　﹝4﹞、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征　　位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。　　位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。　　﹝5﹞、关于x轴、y轴或远点对称的点的坐标的特征点关于x轴的对称点是．点关于y轴的对称点是．点关于原点的对称点是．　　﹝6﹞、点到坐标轴及原点的距离　　点P(x,y)到坐标轴及原点的距离：　　点P(x,y)到x轴的距离等于　　点P(x,y)到y轴的距离等于　　点P(x,y)到原点的距离等于☆．﹝7﹞ (1)若PQ∥x轴，则．．           (2)若PQ∥y轴，则．☆﹝8﹞．若，，当是线段AB的中点时*﹝9﹞.若，，则﹝10﹞．坐标平面内的点和有序实数对(x，y)之间建立了一一对应关系．　　考点3.2   函数的表示函数的概念1．常量与变量：在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量；在某一变化过程中保持数值不变的量叫做常量．2．函数：在某一变化过程中的两个变量x和y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值和它对应，那么y就叫做x的函数，其中x做自变量，y是因变量．(1)自变量取值范围的确定①整式函数自变量的取值范围是全体实数．②分式函数自变量的取值范围是使分母不为0的实数．③二次根式函数自变量的取值范嗣是使被开方数是非负数的实数，若涉及实际问题的函数，除满足上述要求外还要使实际问题有意义．(2)函数值：对于自变量在取值范围内的一个值所求得的函数的对应值．3．函数常用的表示方法：解析法、列表法、图象法．由函数的解析式作函数的图象，一般步骤是：列表、描点、连线．　　考点3.3  一次函数1、正比例函数和一次函数的概念　　一般地，如果（k，b是常数，k0），那么y叫做x的一次函数。　　特别地，当一次函数中的b为0时，（k为常数，k0）。这时，y叫做x的正比例函数。☆说明：直线位置与常数的关系(1)决定直线的倾斜角(直线向上的方向与x轴的正方向所形成的夹角的大小)．①倾斜角为锐角．②直线过点(0，b)且平行于x轴的直线．③倾斜角为钝角．(2)b决定直线与y轴交点的位置．①b>0直线与y轴交点在x轴的上方．②b=0直线过原点．③b<0直线与y轴交点在x轴的下方；(3)如图l，(4)如图2，(5)设直线上有两点，，则　　2、一次函数的图像　　所有一次函数的图像都是一条直线函数解析式自变量取值范围图象增减性正比例函数全体实数①当k>0时，y随x增大而增大；②当k><0时，y随x增大而减小。一次函数全体实数3、 一次函数、正比例函数图像的主要特征：　　一次函数的图像是经过点（0，b）的直线；正比例函数的图像是经过原点（0，0）的直线。k的符号b的符号函数图像图像特征k>0b>0y0           x　　图像经过一、二、三象限，y随x的增大而增大。b<0y0           x　　图像经过一、三、四象限，y随x的增大而增大。k<0b>0y0           x图像经过一、二、四象限，y随x的增大而减小b<0y0          x图像经过二、三、四象限，y随x的增大而减小。注：当b=0时，一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例。　　4、正比例函数的性质　　一般地，正比例函数有下列性质：　　（1）当k>0时，图像经过第一、三象限，y随x的增大而增大；　　（2）当k<0时，图像经过第二、四象限，y随x的增大而减小。　　5、一次函数的性质　　一般地，一次函数有下列性质：　　（1）当k>0时，y随x的增大而增大　　（2）当k<0时，y随x的增大而减小　　6、正比例函数和一次函数解析式的确定　　确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式（k0）中的常数k。确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式（k0）中的常数k和b。解这类问题的一般方法是待定系数法。斜率： b为直线在y轴上的截距①直线的斜截式方程，简称斜截式: y＝kx＋b(k≠0)②由直线上两点确定的直线的两点式方程，简称两点式:③由直线在轴和轴上的截距确定的直线的截距式方程，简称截距式：④设两条直线分别为，：  ：  若，则有且。   若⑤点P（x0，y0）到直线y=kx+b(即：kx-y+b=0) 的距离:　　考点3.4、反比例函数　　1、反比例函数的概念　　一般地，函数（k是常数，k0）叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写成的形式。自变量x的取值范围是x0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。　　2、反比例函数的图像　　反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量x0，函数y0，所以，它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。　　3、反比例函数的性质反比例函数k的符号k>0k<0图像yO             xyO              x性质①x的取值范围是x0，y的取值范围是y0；②当k>0时，函数图像的两个分支分别　在第一、三象限。在每个象限内，y　随x 的增大而减小。①x的取值范围是x0，y的取值范围是y0；②当k<0时，函数图像的两个分支分别　在第二、四象限。在每个象限内，y　随x 的增大而增大。　　4、反比例函数解析式的确定　　确定及诶是的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。5、的几何意义　　设是反比例函数图象上任一点，过点P作轴、轴的垂线，垂足为A，则（1）△OPA的面积．（2）矩形OAPB的面积。这就是系数的几何意义．并且无论P怎样移动，△OPA的面积和矩形OAPB的面积都保持不变。　　矩形PCEF面积=，平行四边形PDEA面积=　　　　　　　　　　考点3.5、   二次函数二次函数的概念和图像1、二次函数的概念　　一般地，如果，那么y叫做x 的二次函数。　　叫做二次函数的一般式。　　2、二次函数的图像　　二次函数的图像是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。　　抛物线的主要特征：　　①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。　　3、二次函数图像的画法　　五点法：　　（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴　　（2）求抛物线与坐标轴的交点：　　当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。　　当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D。由C、M、D三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A、B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。　　4、二次函数的解析式    （10~16分）　　二次函数的解析式有三种形式：　　（1）一般式：　　（2）顶点式：　　（3）当抛物线与x轴有交点时，即对应二次好方程有实根和存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式。如果没有交点，则不能这样表示。注意：抛物线位置由决定．　(1)决定抛物线的开口方向①开口向上．②开口向下．　(2)决定抛物线与y轴交点的位置．①图象与y轴交点在x轴上方．②图象过原点．③图象与y轴交点在x轴下方．　(3)决定抛物线对称轴的位置(对称轴：)①同号对称轴在y轴左侧．②对称轴是y轴．③异号对称轴在y轴右侧．　(4)顶点坐标．　(5)决定抛物线与x轴的交点情况．、　①△>0抛物线与x轴有两个不同交点．　②△=0抛物线与x轴有唯一的公共点(相切)．　③△<0抛物线与x轴无公共点．　(6)二次函数是否具有最大、最小值由a判断．　　①当a>0时，抛物线有最低点，函数有最小值．　　②当a<0时，抛物线有最高点，函数有最大值．（7）的符号的判定：　　表达式，请代值，对应y值定正负；　　对称轴，用处多，三种式子相约；　　轴两侧判，左同右异中为0；　　1的两侧判，左同右异中为0；　　-1两侧判，左异右同中为0.　（8）函数图象的平移：左右平移变x，左+右－；上下平移变常数项，上+下-；平移结果先知道，反向平移是诀窍；平移方式不知道，通过顶点来寻找。　（9）对称：关于x轴对称的解析式为，关于y轴对称的解析式为，关于原点轴对称的解析式为，在顶点处翻折后的解析式为（a相反，定点坐标不变）。　（10）结论：①二次函数(与x轴只有一个交点二次函数的顶点在x轴上Δ=0；②二次函数(的顶点在y轴上二次函数的图象关于y轴对称；③二次函数(经过原点，则。　（11）二次函数的解析式：①一般式：(，用于已知三点。②顶点式：，用于已知顶点坐标或最值或对称轴。（3）交点式：，其中、是二次函数与x轴的两个交点的横坐标。若已知对称轴和在x轴上的截距，也可用此式。5、二次函数的最值    （10分）　　如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当时，。　　如果自变量的取值范围是，那么，首先要看是否在自变量取值范围内，若在此范围内，则当x=时，；若不在此范围内，则需要考虑函数在范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当时，，当时，；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当时，，当时，。6、二次函数的性质二次函数的性质函数二次函数图像a>0a<0y0                   xy0      x性质（1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；（2）对称轴是x=，顶点坐标是（，）；（3）在对称轴的左侧，即当x<时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x>时，y随x的增大而增大，简记左减右增；（4）抛物线有最低点，当x=时，y有最小值，（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；（2）对称轴是x=，顶点坐标是（，）；（3）在对称轴的左侧，即当x<时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当x>时，y随x的增大而减小，简记左增右减；（4）抛物线有最高点，当x=时，y有最大值，　　7、二次函数中，的含义：　　表示开口方向：>0时，抛物线开口向上　　                <0时，抛物线开口向下　　与对称轴有关：对称轴为x=　　表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，）　　8、二次函数与一元二次方程的关系　　一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标。　　因此一元二次方程中的，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点。　　当>0时，图像与x轴有两个交点；　　当=0时，图像与x轴有一个交点；　　当<0时，图像与x轴没有交点。　　补充：　　1、两点间距离公式（当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法）　　                                                                  y　　如图：点A坐标为（x1，y1）点B坐标为（x2，y2）　　则AB间的距离，即线段AB的长度为            A　　0 x1　　                                                              B　　　　　　　　2、函数平移规律（中考试题中，只占3分，但掌握这个知识点，对提高答题速度有很大帮助，可以大大节省做题的时间）　　左加右减、上加下减开口方向对称轴直线直线直线顶点坐标()增减性当时，在对称轴左侧，y随着x的增大而减少；在对称轴右侧，y随着x的增大而增大；当时，在对称轴左侧，y随着x的增大而增大；在对称轴右侧，y随着x的增大而减少；最值当，当，当，求用代入法　　考点3.6、   二次函数的应用题考点3.7、   用函数观念看方程与不等式方程思想数学思想             函数思想转化思想数形结合分类讨论y ＝0  一元一次方程   kx﹢b ＝0    直线与x轴交点y＞0                  kx﹢b ＞0    x轴上方部分y＜0  一元一次不等式  kx﹢b ＜0    x轴下方部分二元一次方程组  解是坐标  坐标是解y＝0一元二次方程  ＝0   与x轴交点y＞0                ＞0   x轴上方部分y＜0一元二次不等式 ＜0  x轴下方部分解是横坐标  横坐标是解专题四 空间图形与证明考点4.1  点 线 面 相交线 平行线和视图直线、射线和线段1、几何图形　　从实物中抽象出来的各种图形，包括立体图形和平面图形。　　立体图形：有些几何图形的各个部分不都在同一平面内，它们是立体图形。　　平面图形：有些几何图形的各个部分都在同一平面内，它们是平面图形。　　2、点、线、面、体　　（1）几何图形的组成　　点：线和线相交的地方是点，它是几何图形中最基本的图形。　　线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线。　　面：包围着体的是面，分为平面和曲面。　　体：几何体也简称体。　　（2）点动成线，线动成面，面动成体。　　3、直线的概念　　一根拉得很紧的线，就给我们以直线的形象，直线是直的，并且是向两方无限延伸的。　　4、射线的概念　　直线上一点和它一旁的部分叫做射线。这个点叫做射线的端点。　　5、线段的概念　　直线上两个点和它们之间的部分叫做线段。这两个点叫做线段的端点。　　6、点、直线、射线和线段的表示　　在几何里，我们常用字母表示图形。　　一个点可以用一个大写字母表示。　　一条直线可以用一个小写字母表示。　　一条射线可以用端点和射线上另一点来表示。　　一条线段可用它的端点的两个大写字母来表示。　　注意：　　（1）表示点、直线、射线、线段时，都要在字母前面注明点、直线、射线、线段。　　（2）直线和射线无长度，线段有长度。　　（3）直线无端点，射线有一个端点，线段有两个端点。　　（4）点和直线的位置关系有线面两种：　　①点在直线上，或者说直线经过这个点。　　②点在直线外，或者说直线不经过这个点。　　7、直线的性质　　（1）直线公理：经过两个点有一条直线，并且只有一条直线。它可以简单地说成：过两点有且只有一条直线。　　（2）过一点的直线有无数条。　　（3）直线是是向两方面无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小。　　（4）直线上有无穷多个点。　　（5）两条不同的直线至多有一个公共点。　　8、线段的性质　　（1）线段公理：所有连接两点的线中，线段最短。也可简单说成：两点之间线段最短。　　（2）连接两点的线段的长度，叫做这两点的距离。　　（3）线段的中点到两端点的距离相等。　　（4）线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的。　　9、线段垂直平分线的性质定理及逆定理　　垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。　　线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。　　逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。　　　　角　　10、角的相关概念　　有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。　　当角的两边在一条直线上时，组成的角叫做平角。　　平角的一半叫做直角；小于直角的角叫做锐角；大于直角且小于平角的角叫做钝角。　　如果两个角的和是一个直角，那么这两个角叫做互为余角，其中一个角叫做另一个角的余角。　　如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫做互为补角，其中一个角叫做另一个角的补角。　　11、角的表示　　角可以用大写英文字母、阿拉伯数字或小写的希腊字母表示，具体的有一下四种表示方法：　　①用数字表示单独的角，如∠1，∠2，∠3等。　　②用小写的希腊字母表示单独的一个角，如∠α，∠β，∠γ，∠θ等。　　③用一个大写英文字母表示一个独立（在一个顶点处只有一个角）的角，如∠B，∠C等。　　④用三个大写英文字母表示任一个角，如∠BAD，∠BAE，∠CAE等。　　注意：用三个大写英文字母表示角时，一定要把顶点字母写在中间，边上的字母写在两侧。　　12、角的度量　　角的度量有如下规定：把一个平角180等分，每一份就是1度的角，单位是度，用"°"表示，1度记作"1°"，n度记作"n°"。　　把1°的角60等分，每一份叫做1分的角，1分记作"1'"。　　把1' 的角60等分，每一份叫做1秒的角，1秒记作"1""。　　1°=60'=60"　　13、角的性质　　（1）角的大小与边的长短无关，只与构成角的两条射线的幅度大小有关。　　（2）角的大小可以度量，可以比较　　（3）角可以参与运算。　　15、角的平分线及其性质　　一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。　　角的平分线有下面的性质定理：　　（1）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。　　（2）到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。　相交线　　16、相交线中的角　　两条直线相交，可以得到四个角，我们把两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点但没有公共边的两个角叫做对顶角。我们把两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角叫做临补角。　　临补角互补，对顶角相等。　　直线AB，CD与EF相交（或者说两条直线AB，CD被第三条直线EF所截），构成八个角。其中∠1与∠5这两个角分别在AB，CD的上方，并且在EF的同侧，像这样位置相同的一对角叫做同位角；∠3与∠5这两个角都在AB，CD之间，并且在EF的异侧，像这样位置的两个角叫做内错角；∠3与∠6在直线AB，CD之间，并侧在EF的同侧，像这样位置的两个角叫做同旁内角。　　17、垂线　　两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。　　直线AB，CD互相垂直，记作"AB⊥CD"（或"CD⊥AB")，读作"AB垂直于CD"（或"CD垂直于AB"）。　　垂线的性质：　　性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。　　性质2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。简称：垂线段最短。　　平行线    （3~8分）18、平行线的概念　　在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线。平行用符号"∥"表示，如"AB∥CD"，读作"AB平行于CD"。　　同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交或平行。　　注意：　　（1）平行线是无限延伸的，无论怎样延伸也不相交。　　（2）当遇到线段、射线平行时，指的是线段、射线所在的直线平行。　　19、平行线公理及其推论　　平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。　　推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。　　20、平行线的判定　　平行线的判定公理：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行。简称：同位角相等，两直线平行。　　平行线的两条判定定理：　　（1）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么两直线平行。简称：内错角相等，两直线平行。　　（2）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么两直线平行。简称：同旁内角互补，两直线平行。　　补充平行线的判定方法：　　（1）平行于同一条直线的两直线平行。　　（2）垂直于同一条直线的两直线平行。　　（3）平行线的定义。　　21、平行线的性质　　（1）两直线平行，同位角相等。　　（2）两直线平行，内错角相等。　　（3）两直线平行，同旁内角互补。　　命题、定理、证明22、命题的概念　　判断一件事情的语句，叫做命题。　　理解：命题的定义包括两层含义：　　（1）命题必须是个完整的句子；　　（2）这个句子必须对某件事情做出判断。　　　　命题的分类（按正确、错误与否分）　　       真命题（正确的命题）　　命题　　       假命题（错误的命题）　　所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题。　　所谓错误的命题就是：如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题。公理　　人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理。　　定理　　用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。　　证明　　判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。　　证明的一般步骤　　（1）根据题意，画出图形。　　（2）根据题设、结论、结合图形，写出已知、求证。　　（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。　　投影与视图23、投影　　投影的定义：用光线照射物体，在地面上或墙壁上得到的影子，叫做物体的投影。　　平行投影：由平行光线（如太阳光线）形成的投影称为平行投影。　　中心投影：由同一点发出的光线所形成的投影称为中心投影。　　24、视图　　当我们从某一角度观察一个实物时，所看到的图像叫做物体的一个视图。物体的三视图特指主视图、俯视图、左视图。　　主视图：在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图。　　俯视图：在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图。　　左视图：在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图，有时也叫做侧视图。考点4.2、三角形及全等三角形知识结构1、三角形的概念　　由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。　　2、三角形中的主要线段　　（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。　　（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。　　（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。　　3、三角形的稳定性　　三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。三角形的这个性质在生产生活中应用很广，需要稳定的东西一般都制成三角形的形状。　　4、三角形的特性与表示　　　　　　三角形有下面三个特性：　　（1）三角形有三条线段　　（2）三条线段不在同一直线上    三角形是封闭图形　　（3）首尾顺次相接　　三角形用符号""表示，顶点是A、B、C的三角形记作"ABC"，读作"三角形ABC"。　　5、三角形的分类　　三角形按边的关系分类如下：　　         不等边三角形　　三角形                   底和腰不相等的等腰三角形　　         等腰三角形　　                         等边三角形　　三角形按角的关系分类如下：　　         直角三角形（有一个角为直角的三角形）　　三角形                锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）　　         斜三角形　　                      钝角三角形（有一个角为钝角的三角形）　　把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。它是两条直角边相等的直角三角形。　　6、三角形的三边关系定理及推论　　（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。　　推论：三角形的两边之差小于第三边。　　（2）三角形三边关系定理及推论的作用：　　①判断三条已知线段能否组成三角形　　②当已知两边时，可确定第三边的范围。　　③证明线段不等关系。　　7、三角形的内角和定理及推论　　三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。　　推论：　　①直角三角形的两个锐角互余。　　②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。　　③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。　　注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。　　8、三角形的面积    三角形的面积=×底×高　　全等三角形1、全等三角形的概念　　能够完全重合的两个图形叫做全等形。　　能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。两个三角形全等时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。夹边就是三角形中相邻两角的公共边，夹角就是三角形中有公共端点的两边所成的角。　　2、全等三角形的表示和性质　　全等用符号"≌"表示，读作"全等于"。如△ABC≌△DEF，读作"三角形ABC全等于三角形DEF"。　　注：记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。　　3、三角形全等的判定　　三角形全等的判定定理：　　（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成"边角边"或"SAS"）　　（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成"角边角"或"ASA"）　　（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成"边边边"或"SSS"）。　　直角三角形全等的判定：　　对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成"斜边、直角边"或"HL"）　　4、全等变换　　只改变图形的位置，二不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。　　全等变换包括一下三种：　　（1）平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。　　（2）对称变换：将图形沿某直线翻折180°，这种变换叫做对称变换。　　（3）旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换。考点4.3 等腰三角形1、等腰三角形的性质　　（1）等腰三角形的性质定理及推论：　　定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）　　推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。　　推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°。　　（2）等腰三角形的其他性质：　　①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°　　②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。　　③等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则<a　　④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A，底角为∠B、∠C，则∠A=180°-2∠B，∠B=∠C=　　2、等腰三角形的判定　　等腰三角形的判定定理及推论：　　定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。　　推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形　　推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。　　推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。　　　　　　　　等腰三角形的性质与判定等腰三角形性质等腰三角形判定中线1、等腰三角形底边上的中线垂直底边，平分顶角；2、等腰三角形两腰上的中线相等，并且它们的交点与底边两端点距离相等。1、两边上中线相等的三角形是等腰三角形；2、如果一个三角形的一边中线垂直这条边（平分这个边的对角），那么这个三角形是等腰三角形角平分线1、等腰三角形顶角平分线垂直平分底边；2、等腰三角形两底角平分线相等，并且它们的交点到底边两端点的距离相等。1、如果三角形的顶角平分线垂直于这个角的对边（平分对边），那么这个三角形是等腰三角形；2、三角形中两个角的平分线相等，那么这个三角形是等腰三角形。高线1、等腰三角形底边上的高平分顶角、平分底边；2、等腰三角形两腰上的高相等，并且它们的交点和底边两端点距离相等。1、如果一个三角形一边上的高平分这条边（平分这条边的对角），那么这个三角形是等腰三角形；2、有两条高相等的三角形是等腰三角形。角等边对等角等角对等边边底的一半<腰长<周长的一半两边相等的三角形是等腰三角形　　4、三角形中的中位线　　连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。　　（1）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。　　（2）要会区别三角形中线与中位线。　　三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。　　三角形中位线定理的作用：　　位置关系：可以证明两条直线平行。　　数量关系：可以证明线段的倍分关系。　　常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：　　结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。　　结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。　　结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。　　结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。　　结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。　　注意：重要辅助线　　⑴中点配中点构成中位线;⑵加倍中线;⑶添加辅助平行线证明方法　　⑴直接证法：综合法、分析法　　⑵间接证法-反证法：①反设②归谬③结论　　⑶证线段相等、角相等常通过证三角形全等　　⑷证线段倍分关系：加倍法、折半法　　⑸证线段和差关系：延结法、截余法　　⑹证面积关系：将面积表示出来考点4.4  直角三角形1、有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形。　　直角三角形可用Rt△表示，如直角三角形ABC写作Rt△ABC。　　直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：2、性质　　性质1:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方　　性质2:在直角三角形中，两个锐角互余　　性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。（即直角三角形的外心位于斜边的中点，外接圆半径R＝C/2）。　　性质4:直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。　　性质5: 射影定理　　在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项　　∠ACB=90°　　　　　　　　　　CD⊥AB　　　　（４）ABCD=ACBC(可用面积来证明）　　(5)直角三角形的外接圆的半径R=1/2BC,　　(6)直角三角形的内切圆的半径r=1/2(AB+AC-BC)(公式一)；　　                          r=AB*AC/(AB+BC+CA)(公式二)　　性质6:在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；　　在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°。3、判定方法：　　判定1：有一个角为90°的三角形是直角三角形。　　判定2：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形。　　判定3：　勾股定理的逆定理　　如果三角形的三边长a，b，c有关系，那么这个三角形是直角三角形。　   判定4：若一个三角形30°内角所对的边是某一边的一半，那么这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形。　　判定5：两个锐角互余的三角形是直角三角形。　　判定6：在直角三角形中，60度内角所对的直角边等于斜边的 根号3/2　　判定7：在证明直角三角形全等的时候 可以利用HL 两个三角形的斜边长对应相等 以及一个直角边对应相等 可判断两直角