初中数学无理数的定义知识点

浅夏110

初中数学无理数的定义知识点（一）

知识点总结

1.无理数的定义

无理数是指实数范围内不能表示成两个整数之比的数。简单的说，无理数就是10进制下的无限不循环小数。

初一数学阶段接触到的无理数主要有无限不循环小数、开方开不尽的数、含有圆周率π的代数式。

2.有理数和无理数的区别

实数分为有理数和无理数。有理数和无理数主要区别有两点：

1）把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数或无限循环小数，比如4=4.0；4/5=0.8；1/3=0.3…而无理数只能写成无限不循环小数，比如√2=1.4142，π=3.1415926，根据这一点，人们把无理数定义为无限不循环小数．

2）所有的有理数都可以写成两个整数之比，而无理数却不能写成两个整数之比．根据这一点，有人建议给无理数摘掉“无理”的帽子，把有理数改叫“比数”，把无理数改叫“非比数”.

精选问题

【例题1】

原命题：“两个无理数之积，一定是无理数”。

否命题：＂至少有一个数不是无理数的两数之积，一定不是无理数＂。

否定：　＂两个无理数积，不一定是无理数＂。

或＂至少存在两个无理数之积，不是无理数＂。

否命题中＂一定不是＂能否换成＂不一定是＂？为什么？

【例题2】

下列语句正确的是：

A有理数与数轴上的点一一对应

B两个无理数的和一定是无理数

C两个无理数的商不一定是无理数

D任何实数都有倒数

【例题3】

1.两个无理数的和与积都是有理数，这两个无理数可以是

2.如果两个不是互为相反数的无理数的和是有理数，则这两个数可以是

初中数学无理数的定义知识点（二）

无理数概念

无理数是无限不循环小数。如圆周率、√2(根号2)等。

有理数是由所有分数，整数组成，它们都可以化成有限小数，或无限循环小数。如22/7等。

实数(real number)分为有理数和无理数(irrational number)。

有理数可分为整数(正整数、0、负整数)和分数(正分数、负分数); 也可分为正有理数(正整数、正分数)，0，负有理数(负整数、负分数)。

除了无限不循环小数以外的实数统称有理数。

无理数与有理数的区别区别1

把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成整数、小数或无限循环小数，比如4=4.0， 4/5=0.8， 1/3=0.33333……。而无理数只能写成无限不循环小数，比如√2=1.414213562…………。根据这一点,人们把无理数定义为无限不循环小数。

区别2

无理数不能写成两整数之比。

利用有理数和无理数的主要区别，可以证明√2是无理数。

证明：假设√2。”他闻听此言，便摔掉柴禾南渡地中海到泰勒斯门下去求学。毕达哥拉斯本来就极聪明，经泰勒一指点，许多数学难题在他的手下便迎刃而解。其中，他证明了三角形的内角和等于180度;能算出你若要用瓷砖铺地，则只有用正三角、正四角、正六角三种正多角砖才能刚好将地铺满;还证明了世界上只有五种正多面体，即：正4、6、8、12、20面体。他还发现了奇数、偶数、三角数、四角数、完全数、友数，直到毕达哥拉斯数。然而他最伟大的成就是发现了后来以他的名字命名的毕达哥拉斯定理(勾股弦定理)，即：直角三角形两直角边为边长的正方形的面积之和等于以斜边为边长的正方形的面积。据说，这是当时毕达哥拉斯在寺庙里见工匠们用方砖铺地，经常要计算面积，于是便发明了此法。

毕达哥拉斯将数学知识运用得纯熟之后，觉得不能只满足于用来算，有理数并没有布满数轴上的点，在数轴上存在着不能用有理数表示的“孔隙”。而这种“孔隙”经后人证明简直多得“不可胜数”。于是，古希腊人把有理数视为连续衔接的那种算术连续统的设想彻底地破灭了。不可公度量的发现连同芝诺悖论一同被称为数学史上的第一次数学危机，对以后2000多年数学的发展产生了深远的影响，促使人们从依靠直觉、经验而转向依靠证明，推动了公理几何学和逻辑学的发展，并且孕育了微积分思想萌芽。

不可约的本质是什么?长期以来众说纷纭，得不到正确的解释，两个不可通约的比值也一直认为是不可理喻的数。15世纪意大利著名画家达.芬奇称之为“无理的数”，17世纪德国天文学家开普勒称之为“不可名状”的数。

然而真理毕竟是淹没不了的，毕氏学派抹杀真理才是“无理”。人们为了纪念希帕索斯这位为真理而献身的可敬学者，就把不可通约的量取名“无理数”——这就是无理数的由来。