【数学中国原创】2014MCM 赛题评注与解析

2014-2-20 22:44| 发布者: magic2728| 查看: 406| 评论: 61|原作者: magic2728

摘要: 大家好，我是数学中国的版主magic2728，很高兴在这个充满梦想的论坛又和大家见面！距离2014美赛结束有一段时间了，许多同学经历了体力，血汗与困难的考验，完成比赛，在此再次祝贺各个交上论文的参赛队伍，你们是最棒 ...

大家好，我是数学中国的版主magic2728，很高兴在这个充满梦想的论坛又和大家见面！距离2014美赛结束有一段时间了，许多同学经历了体力，血汗与困难的考验，完成比赛，在此再次祝贺各个交上论文的参赛队伍，你们是最棒的！数学中国与大家并肩作战，支持大家到底！

离比赛结果出来大概还有一个多月的时间，大家一定都期待那个证书了，和所有的参赛者一样，非常能够理解各位期待结果的心情，也非常期待大家有好的成绩能够晒出来和大家分享！

但我一直有个观点，作为比赛，作为考试，它的结果只是参考性的，一个建模题目所涵盖的内容，往往是一个研究生3~5年的课题，甚至是某个学科的高度浓缩的精华，而我们交上去的成果往往在短则1分钟，多则20分钟内的时间内被给与评判。结果可以参考，但大家的文章到底达到怎样的水平，能够多大程度上体现我们的科研能力，团队精神，以及在某个具体学科内你的独到见解，是值得我们自己花时间考量的，这也是我们借助这项赛事自身水平提高的重要途径。下面我就今年的两道题目作一简要评述，望有益于大家。

在我之前给大家做过的美赛迅速破题攻略公益讲座中，曾经提到解析题目信息的方法，题中的信息分为以下几种：

topic： backgroundknowledge & problem

condition： restrictivecondition & implication

question： specific model& mission

（在此不展开介绍了）

从这几种题目类型中，我们可以挖掘出题目的类型（优化，预测，评价）也可以清晰地确定思路，即我到底要做什么来回答题目怎样的问题？

上题，并依据以上分析方法标注：

PROBLEMA: The Keep-Right-Except-To-Pass Rule （bk1: a kind of rule to be introduced）

In countries wheredriving automobiles on the right is the rule(that is, USA, China and most other countries except for Great Britain,Australia, and some former British colonies), multi-lane freeways oftenemploy a rule that requires drivers to drive in the right-most laneunless they are passing another vehicle, in which case they move one lane tothe left, pass, and return to their former travel lane. （bk1': full explanation of the rule）
Build and analyze a mathematical model to analyze the performance ofthis rule (spm1: a model to simulate the rule is askedto constructed) in light and heavytraffic (rsc1: traffic flow is the 1stparameter to be considered).

You may wish toexamine tradeoffs between traffic flow and safety(rsc2: 2 sub-objectives has been come up with, also indicates that it is amulti-objective optimization problem), the role of under- or over-posted speed limits (that is, speedlimits that are too low or too high) (rsc2: speed limitis the 2nd parameter), and/or otherfactors (imp1: some other parameters should be considered and adjusted)that may not be explicitly called out in this problem statement.

Is this ruleeffective in promoting better traffic flow? (mss1: givethe simulation result of the 'keep right' rule) If not, suggest andanalyze alternatives （mss1': result of otherrules） (to include possiblyno rule of this kind at all) (rsc3: the no-rule must beconsidered the same with the 'keep right' rule) that might promotegreater traffic flow, safety, and/or other factors that you deem important (imp2: some sub-objectives that may be added in the whole).

In countries wheredriving automobiles on the left is the norm,argue whether or not your solution can be carried over with a simple change oforientation, or would additional requirements be needed (rsc4: the 'keep left' rule also should be considered).

Lastly, the rule asstated above relies upon human judgment for compliance. If vehicletransportation on the same roadway was fully under thecontrol of an intelligent system – either part of the road network orimbedded in the design of all vehicles using the roadway – to what extent wouldthis change the results of your earlieranalysis? (mss2: tell the change of the intelligentsystem to the simulation results)

此题整体上来说比较中规中矩，是个典型的优化问题，当然难点也是很常见的目标函数的搭建部分最为繁琐，而决策变量和目标也不像国赛那样都明确提出了，或多或少设置了一些障碍，考察既有侧重点同时又有全面性，是一道难得的好题，淡一点都不是难题，用建模中比较常规的方法和思路就可以解决，熟练掌握的话也能够找到不少创新点作为亮点在论文中提出，下面根据上面的评注给出思路。

作为优化问题，我们一共要解决以下几个问题：

1. 决策变量：毫无疑问就是所谓的rules，题目中提到的keepright和 keep left，以及no rule 都是必须提到的，而且题目还暗示我们找新的规则来试验是否有更好的结果，所以，我们到底采用哪些rule，怎样设计这些rule，里面蕴含了怎样的建模思想，都是我们值得注意甚至是出彩之处；

2. 决策目标：题目中间明确提到了trafficflow 和safety 两个目标，而且在imp2里提到我们还应该找到其他认为重要的目标作为总决策目标的的子目标，那么把这些子目标合为一体就是我们的总决策目标了，方法步骤一般为加权重、得评价方案的处理流程，举重若轻，非常清晰，简明；

3. 目标函数：这里的目标函数比较抽象，不像我们之前理解的自变量是数量，对应关系是解析式的函数，这里是建模比赛中常见的一种函数形式：仿真系统，或者叫做输入输出系统，相信电信，自动化，仪器科学的同学们应该有所了解这层意思。也就是说，我把自变量输进去（这里就是这些rules），程序跑完，结果就是决策目标的值，这个程序，就是这个函数的表达形式；当然，这个仿真系统的构建方法有很多，比较常见的有排队论，元胞自动机，流量模拟等等，这些都是我们应该耳熟能详的建模技术；

4. 求最值，得出结论：在某一参数下，得出若干rules的目标函数值，比较大小即得哪个方案最好的结论；

5. 本题最大的一个特色在于参数众多，一般来说参数是在建模中自然遇到的量，然而此题中明确提出了参数traffic flow 和speed limits，车道数量也是显然的参数等等，这些都是做灵敏度分析的素材，所以，本题的灵敏度分析部分应该是一大考察点，优秀的论文应该覆盖题目中提到的参数的灵敏度分析，并有其他在程序中用到参数的灵敏度的分析；

6. 最后题目提到了所谓的智能系统的引入，这个是明摆着的一个鲁棒性分析的点，也就是说，当实际条件变化时，你的仿真系统还能不能用，对结果有没有影响，故我们的鲁棒性分析部分一定要覆盖这个点，至于针对对于问题其他假设的鲁棒性分析，可以再有一两个作为补充。

综上所述，在本文的写作中，只要充分体现了以上六个方面的问题，做出了完整的回答，就是一篇完善的文章，说明你的审题和分析问题的能力已经足够好了，达到了参加建模比赛的目的，亲爱的同学们，有时间三人如果还能相聚的话，不妨对照以上问题看看自己的论文是否完成了以上问题，并且感受一下这样清晰的分析带给大家的思维震撼，相信会大有裨益的，数学中国陪伴大家利用数模走的更远，关于B题的分析，我会在今后的文章中继续为大家带来，欢迎持续关注！