大家好，我是magic2728，应站长要求，下面就今年认证杯第一阶段的赛题作出点评，仅代表我的个人意见，希望能够对参赛的各个队伍有所帮助，更欢迎大家能一起交流讨论。 文章中用到我在数学中国课程中常用的信息标注法和函数建模法，不影响阅读，也欢迎同学们关注magic2728在数学中国开设的课程，助各位在建模学习之路上一臂之力。A. 绳结 给绳索打结是人们在日常生活中常用的技能。对登山、航海、垂钓、野外生存等专门用途,结绳更是必不可少的技能之一。针对不同用途,有多种绳结的编制方法。（bk1）最简单的绳结,有时称为单结,死结或反手结,英文称为 Overhand Knot, 是最常用的绳结之一,在各种复杂绳结中也是经常出现的基本元素。（bk2） 这种绳结有两种打法,在三维空间中分别是对方的镜像。（bk2’） 这种结有一个特点,如果用于捆扎物体,由于无法彻底拉紧,所以很容易松脱,无法单独使用。但如果能够彻底拉紧,对较软和细的绳子而言,相当难以解开。所以用于捆扎物体时,可以连打两次单结,并将第二个结彻底拉紧,这就构成一个难以自动松开的结。最常见的系鞋带方法,在本质上就是连打两次单结。为了便于解开,所以在打第二次结的时候需要把鞋带折成双股。（bk2’’） 第一阶段问题: 1. 在连打两次单结的时候,两次使用相同的打法还是互为镜像,得到的结果是不同的。结的结构不同,是否容易自动松脱的性质可能也有区别。这可以来判断系紧的鞋带是否容易自动松开。（imp1）请你建立合理的数学模型,分析这两种打法中,哪种更容易自动松脱。（spm1） 2. 一般的经验表明,绳索的直径、软硬和表面的摩擦力等机械性能都会影响打的绳结是否容易自动松脱。（imp1）请你建立合理的数学模型,向大家解释在不同的打结方法下,绳索的机械性能与绳结是否容易自动松脱之间的关系。（spm2） 本题属于物理类问题，机理明确，应该摒弃统计而从纯机理分析的角度去描述“打绳结”这一物理过程，其实是将绳头穿过还未形成绳结时的各种不稳定绳圈的过程，再加以组合，以形成一个固定结构。当然，这只是拓扑结构，还应当更多地考察题目中提到的和松脱有关的因素，并对着题目的目标求解。 题目背景介绍了结的基本要素反手结，并提出了镜像关系的概念，是指三维几何体之间和重合相对的一种关系，比如左手和右手就是镜像关系而非可以重合的，并集中把问题重点放在用绳结来捆绑而不松脱这一点上，是背景的进一步细化，需要构建的函数关系为：是打结情况和挣脱难度之间的关系。 自变量：打结方式W（等价双反手结S或镜像双反手结M），捆绑力Fx； 因变量：挣脱力Fy; 参数：绳子性质（直径D， 截面弹性系数k，表面摩擦因数u） 函数关系：Fy = f（W， Fx， (D, k, u））打结方式W决定绳结结构，在一定捆绑力Fx下作用在特定性质绳子上，得到确定的形态，进而可得挣脱力Fy,完整跟踪整个打结和松绑过程即可，是纯机理分析。 第一问，可以理解为基于此函数的评价模型，求W = S / M ，给定其他变量均为参数时，Fy的大小。如果同学们直观尝试下，对一般的绳子，会发事实是现等价绳结显然更容易脱出，松脱都是需要克服两圈绳子带来的摩擦力，而镜像关系的绳子挣脱力方向由于绳子结构关系无法平行拉出方向，故要挣脱力要大些。 第二问，其实是第一问的灵敏度分析，可以给定不同（D, k， u）值分别计算给定Fx时，W为两种方式时的大小关系变化情况，应该能分析出绳子不同，关系会发生变化，分析其中的规律，甚至还可以进一步对Fx作此问的灵敏度分析。分析Fx对不同打结方式稳定性的影响。 本质上，该问题是一个绳结优化问题，题目中仅仅提出两个方式W作为自变量取值，由于自变量离散而仅有2个，最值求取变成了两个数的大小关系比较。但是绳子性质和捆绑力是连续变化的参数，对他们的分析为灵敏度分析，放在第二问作为一个完整的问题。 期待大家的好模型，好结果！ |
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