2015年高教社杯全国大学生数学建模竞赛赛题解析——大象老师

2015-9-14 20:05| 发布者: 大象装冰箱| 查看: 2669| 评论: 3|原作者: 大象装冰箱

摘要: 2015年高教社杯全国大学生数学建模竞赛赛题解析 ——大象装冰箱（大象老师）三天的时间过的真得很快，一转眼就过去了，回想三天前，大象老师拿到赛题的那一刻，就知道这是我的菜。我今 ...

2015年高教社杯全国大学生数学建模竞赛赛题解析

——大象装冰箱（大象老师）

三天的时间过的真得很快，一转眼就过去了，回想三天前，大象老师拿到赛题的那一刻，就知道这是我的菜。我今年也有幸指导了几支参赛队伍，如果今年听过我的课程《2015历年国赛优秀论文解析》的同学，可能会好一些，为什么这么说，下面我给大家分析下今年的赛题，供大家参考。
仅是个人一家之言，不对的地方，还请见谅，仅供探讨。

今年国赛的两个题目，A题太阳影子定位和 B题“互联网+”时代的出租车资源配置，两个赛题继续沿用了国赛数学建模的风格，与现实生活贴近，题目的整体难度不大，但三天时间却难坏了作比赛的同学们。

如何选题：先大体来看下今年的赛题，拿到赛题后如何选题。
A题太阳影子定位是个建方程和求方程的问题，有点类似于2014年的A题嫦娥登月，2014年的B题平板折叠桌，感觉有些熟悉，最起码不突兀，入手还是很容易的，同时也会想到以前大象老师讲过的2003A题 SARS预测及控制中的房室模型，2005年A题中的第二问一维水质模型，感觉信心又多了几分。微分方程模型本身并不难，难在能在浮躁的三天里，冷静下来，仔细的分析题目中所给的信息，设定合理的假设，求解方程。所以，A题整体比较传统，有大体的答案，考察的就是构建方程和求解方程的能力，对于数学功底扎实，爱解应用题的同学来说，做这道题挺不错的。
B题 “互联网+”时代的出租车资源配置，一看到出租车，就想到了大象老师以前讲过的2001年国赛A题公交车调度问题，上下班高峰和空闲，和出租车有些类似；2006年A题，出版社的资源配置，资源配置型问题，选取指标；2001年A题，三维血管重建，都是图片数据提取与分析；2007年B题，乘公交看奥运，根据不同的需求建立多目标线性规划模型；2013年B题，碎纸片的拼接问题，图像处理，以及利用最短路建立匹配模型；问题的第二问是综合评价问题，最后要给出量化结果；第三问，模型改进与优化，看自己的发挥了；所以，B题是传统中透着点俏皮，这个题目有点意思。
赛题的思路：A题 太阳影子定位
读题：
“如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面”，
第一句就给我们指明了此题的主要任务：通过视频数据分析的方法，确定视频中所表示的拍摄地点和拍摄日期，这是整个题目的最终任务，完成了这个任务，这个题目也就解完了，那么关键词是什么呢？“视频数据分析”，是关键词，最后肯定要用到视频处理方面的知识。
“太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。”
第二句，进一步解释了上一句，想要分析视频中物体的太阳影子变化，确定拍摄地点和日期，需要用到太阳影子定位技术，这里有个一个突破口，是太阳影子定位，那么我们查找资料的方向就要与太阳影子有关，最好是能定位的。
所以通过分析题目中的第一段话，我们就知道了这个题目让我们干什么？处理视频，得到想要的数据，利用太阳影子，确定拍摄时间和地点。搜索文献方面，搜索与太阳影子有关的文献（其实文献少的可怜），但有一点，可以给我们启发，建筑物采光也用到了太阳影子，所以不妨搜索一些关于建筑物采光方面的文献，对理解题意或者求解有很大的帮助。
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着重标出的文献就是很好的一篇文献，第一问就是用里面的方程来求解的，很简单也容易理解。
问题的分析和求解
问题一：
“1.建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并应用你们建立的模型画出2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场（北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒）3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。”
建立影子长度关于各个参数的变化规律，这个没什么好说的，上面列举的几篇参考文献里有详细的叙述，与太阳高度角、方位角等5个参量有关系，方程也是现成的，可以稍作转化就能代进去求解，没有任何难度，可以说，就是送分的；但大家在表述的时候，变化曲线一定要绘制出来，并标明其变化规律，什么时间影子最短，什么时间影子最长，各是多少，把规律表明，只绘图，没有说清楚规律的，分数也就没有了；
问题二
“2.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点。将你们的模型应用于附件1的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点。”
也许这才是A题难点的开始，问题二的提出，很多同学在考虑经度和纬度的问题，因为第一问模型中，大部分的同学只用到了纬度，没有用到经度，（如果没有记错的话），所以，即使是你把附件1中的影子长度算出来，回代第一问的模型，也只能算出纬度，而得不到经度，所以这就难住很多同学，不知道怎么做了。
其实我们换个思路，第一问是一个一维的问题，只是考虑长度，直接有公式求解就行，其实里面也告诉我们很多信息（是地理方面的，自己找哦）；而第二问从一维变成了二维问题，加入了坐标，形成了一个曲线，有了轨迹，这时我们可以借助的是时间，因为附件1中明显给出了时间，时间和地点是有一定联系的，可以利用时间来求地点，并对地点就行筛选；以这个思路做下去，既能利用了问题一求解的优势，又为问题三及今后的求解做了准备，只是真正做起来确实比较难，因为方程的变量都是参数，求解起来确实很麻烦，matlab的功底需求功底较高；
问题三
“3. 根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点和日期。将你们的模型分别应用于附件2和附件3的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点与日期。”
问题三还是坐标，只是没有了时间，从二维问题升到了三维，做问题三的一个思路就是先求时间，在求出时间的基础上，再利用问题二的方法求地点，慢慢降维；这里需要注意两点：
第一、所求的时间和地点其实是有关系的，它们间是有一定规律的，根据地球围绕太阳公转及地球自转我们可以知道（文献上说的），所以我们可以利用这点对求的结果进行筛选和甄别；
第二、问题三给了我们附件2与附件3，如果仅解这一个问题的话，一个附件就足够了，但题目中给了两个附件，说明，它们有各自的特殊性，很明显，我们发现，附件2中的X轴坐标全为负，附件3中全为正，说明，影子是在不同的象限里面的，都是中午12点以后，但影子不同，那我们就可以利用这方面找找突破口了。
问题四
“4．附件4为一根直杆在太阳下的影子变化的视频，并且已通过某种方式估计出直杆的高度为2米。请建立确定视频拍摄地点的数学模型，并应用你们的模型给出若干个可能的拍摄地点。”
问题四主要是视频数据提取，也就是我们刚开始说的视频数据分析，可以将视频按帧取图，然后把图导入到matlab中，先把图像划分为几个板块，注意划分的时候一定把影子顶点划分到一个块里，然后把这个块单独取出来，建立对块里的图像作二值化处理，建立灰度矩阵，就能很容易的求出影子顶点的坐标了，那么轨迹也就出来，后续的解题也就不是问题了。

匆匆的解读了上面A题的四个问题，不知道对大家有没有帮助，其实A题可以做的很大，只是模型我们解不出来，只能简化和优化了，希望做A题的同学能取得好成绩。

赛题思路： B题 “互联网+”时代的出租车资源配置
B题是一个爽歪歪的题目，刚开始很难入手，没有数据，大家一直在为数据发愁，其实，一旦你找到的一些数据，那么这个题也就不是问题了。
我们来分析下题目：
“有多家公司依托移动互联网建立了打车软件服务平台，实现了乘客与出租车司机之间的信息互通，同时推出了多种出租车的补贴方案。”
打车服务软件很容易理解，我们首先想到的是嘀嘀打车或者快的打车等服务软件，那么这样的打车软件服务平台有什么作用呢？实现了乘客和司机间的信息互通，能更好的提高匹配程度，如果再推出多种出租车的补贴方案，匹配程度将进一步提高，从而解决打车难（这个结论是根据题目猜想的）。其实这个题目的考察的是大家读题解题、模型建立及其量化功底。

首先解决如何查找数据的问题
第一步，可以查找出租车公司的网站，尤其是大城市的出租车公司是很出名的，例如北京的出租车公司，里面会记录出租车的数量、分布等数据，这些对我们分析问题是非常有帮助的。
第二步，查找博士或硕士论文，博士和硕士论文的篇幅比较长，里面会含有一些计算所用的数据，我们可以引用里面的数据，摘出来供我们计算使用（这不是抄袭，数据是可以共用的），但要注明出处，因为很多论文都是关于出租车、嘀嘀、快的打车的，虽然数据量不是很大，但足够我们解题使用了。在查到数据后，B题反而是任由你发挥的题目了。
第一问

(1)试建立合理的指标，并分析不同时空出租车资源的“供求匹配”程度。

这一问是让我们找出合理指标，以指标为基础，分析不同时间、不同地点，出租车和乘客的供求匹配程度。
既然是供求匹配，那就是供与求的问题，首先想到的就是2006年国赛A题出版社的资源配置问题，关键是如何找到合理指标。这里可以通过分别分析乘客（等待时间短、费用最省、舒适度等）和司机的需求（空载率小、乘车地点、乘客的货物或形体等），找到其相对应的指标，建立指标体系，可以用的方法有很多，聚类分析、主成分分析等等，只要能找到合理指标就行。
那么接下来就是资源的“供求匹配”，如何看待不同时空下的供求匹配问题？
一个建议就是分不同的时间（上下班高峰、正常待客时间、晚上的闲置时间）和不同的地点（居民区、商业区、工业区）分别建立模型进行分析，模型不限，可以是目标规划类，也可以是方程类，只要能对指标进行量化，并得出具体的匹配程度即可。
另一个建议是往大一点分析，借助2006年A题的思想，供求匹配程度分为供求比例匹配和供求质量（满意度）匹配；供求比例匹配可以具体某一个城市，分析出租车和司机的“万人拥有量”、“里程利用率”、“车辆满载率”等指标来衡量供求比例匹配程度；以“候车时间”、“候车地点”、“驾驶技能”、“计价方式”四大指标来衡量供求质量（满意度）匹配程度；此时可以引入权重，利用图论中的最短距离来衡量匹配度，从而求得量化后的匹配程度。当然其中亦可以插入第一个建议里的空间和时间关系，来丰富模型。
问题二

(2)分析各公司的出租车补贴方案是否对“缓解打车难”有帮助？

第二问是个评价问题，如果说第一问是通过模型构建打车服务平台，找到其内部之间的联系，那么第二问就是通过补贴方案，提高“供求匹配”程度，也就是缓解打车难的问题；具体的方法可以列举嘀嘀和快的等打车公司的补贴方案，并对其指标进行量化处理，可以在问题一种模型的基础上，进行量化分析，建立评价函数，得到其使用补贴方案后，各方案的匹配程度，对比没有补贴方案之前的匹配程度，例如，匹配程度增加了多少个百分点等等，从而得到各补贴方案的优缺点和各补贴方案对匹配度的影响程度。同时，为第三问的求解做好准备。
第三问

(3)如果要创建一个新的打车软件服务平台，你们将设计什么样的补贴方案，并论证其合理性。

简直是爽呆了，在问题一和问题二的基础上，可以补充完善已有的打车软件服务平台，或者自己创建新的平台；例如，沿用传统的出租车，引入新的快车（以最小乘车时间为目标）、顺风车（以节省乘车费用为目标）、专车（以乘车舒适度为目标）、加入温馨服务（针对老人、小孩、孕妇、大宗货物等）、超远距离乘车（预约乘车）等，并分别对各个服务配套补贴方案，因为添加了更多的指标，所以有必要对模型进行补充完善，得到匹配度（此处的匹配度应该是三问中最高的）。最重要的，也是需要做的就是对整个平台和补贴方案，论证其方案的合理性和模型的稳定性，因为补贴方案不是无限制补贴的，需要进行优化和改进，此处也是对整个模型的进一步升华，可以多用些数学方面的灵敏性分析或者检验之类的方法，把模型做的科学一点。
总结
B题考查的是对整个题意的把握，要做到收放自如，题目在考查模型的同时，也在考查学生的缜密思维。论文首先要做到的就是条理清晰，让评阅人一眼就能抓住论文的核心，三个问题相辅相成，连贯统一，方法科学。亮点在于方法的科学运用和由定性到定量的量化计算，可以多放结构图、框架图、思路图、计算表格等，越是这样定性的问题，如果能定量分析，评委是非常喜欢的，有图有表有公式，那获奖就不是问题了。切记，不要进行大量的文字分析赘述，反复说一些大家都知道的结论，这样的试卷是不会获得评委认同的。题目要求的是让我们深层的挖掘内部的联系，定量的分析评价，认识到这一点很重要。

以上就是我对今年国赛AB题的一些简单的分析，如果有说的不对的地方，还请大家理解，鉴于比赛期间不能讨论，也只能在赛后发表下建议了，希望大家谅解。
不论做的好与不好，都已经过去了，希望大家整理心情，安心上课，大学正常的学习生活才是最重要的。如果有时间了，强化下数学建模的功底，迎接2016年的美国大学数学建模竞赛和2016年的国赛。
不服，咱们来年再战！大象老师等着大家！
最后，预祝大家取得好成绩！
感谢大家对我的关注和对我的支持！谢谢！

大象装冰箱
2015年9月14日星期一晚19:00

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